PS6 Etude fonction Calcul approche integrale

Terminale S Problème de synthèse n° 6
Etude d'une fonction - Calcul approchée d'une intégrale
1
f est la fonction définie sur [0 ;1] par f(x) = -x² ln x
1 + x si x ≠ 0 et f(0) = 0.
Le problème a pour objet, dans la partie A, d’étudier la fonction f et dans la partie B, de calculer une valeur
approchée de J =
⌡
⌠
0
1
f(t) dt.
Partie A : étude de f
On note C la courbe représentative de f dans un repère orthogonal (O ;
→
i ;
→
j ) (unités graphiques : 10 cm sur
l’axe des abscisses et 20 cm sur l’axe des ordonnées.)
I. Etude d’une fonction auxiliaire
u est la fonction définie sur ]0 ;1] par u(x) = 1 + x
2 + x + ln x.
1) Etudier les variations de u.
2) En déduire que l’équation u(x) = 0 a une solution unique β dans ]0 ;1[ telle que 0,54 < β < 0,55.
II Etude de f
1) a) Démontrer que f est continue sur [0 ;1].
b) Etudier la dérivabilité de f en 0.
2) Calculer f’(x) pour tout réel x > 0et vérifier que f’(x) et –u(x) ont le même signe.
3) a) Dresser le tableau de variations de f.
b) Construire C en précisant les tangentes en 0 et 1.
Partie B
La continuité assure l’existence de l’intégrale J. On ne cherchera pas à calculer une primitive de f.
I. Etude d’une intégrale auxiliaire
n est un entier naturel, n ≥ 1.
On note g
n
la fonction définie sur [0 ;1] par :
g
n
(t) = -t
n
ln t si t > 0 et g
n
(0) = 0.
1) Vérifier que g
n
est continue sur [0 ;1].
2) On note G
n
la fonction définie sur [0 ;1] par :
G
n
(t) =
- t
n+1
ln t
n+1 + t
n+1
(n + 1)² si t > 0
G
n
(0) = 0

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a) Démontrer que G
n
est une primitive de g
n
sur [0 ;1].
b) En déduire J
n
=
⌡
⌠
0
1
g
n
(t) dt
II Etude de J
1) t est un réel et n est un entier n ≥ 1.
a) Calculer P
n
(t) = (1 + t)(1 – t + t² + … + (-1)
n-1
t
n-1
).
b) En déduire que pour tout réel t ≠ -1 :
1
1 + t = 1 – t + t² + … (-1)
n-1
t
n-1
+ (-1)
n
t
n
1 + t
c) Démontrer que pour tout t dans [0 ;1] :
f(t) = g
2
(t) – g
3
(t) + … + (-1)
n-1
g
n+1
(t) + (-1)
n
g
n+2
(t)
1 + t ,
puis que :
J = J
2
– J
3
+ J
4
+ … + (-1)
n-1
J
n+1
+ (-1)
n
⌡
⌠
0
1
g
n+2
(t)
1 + t dt
d) En majorant g
n+2
(t)
1 + t , démontrer que :
0 ≤
⌡
⌠
0
1
g
n+2
(t)
1 + t dt ≤ 1
(n + 3)²
2) n est un entier , n ≥ 1 ; on note :
S
n
= 1
3² - 1 4² + … + (-1)
n-1
1
(n + 2)².
a) Démontrer que lim
n→+ ∞
S
n
= J.
b) Démontrer que S
8
≤ J ≤ S
9
.
c) En déduire une valeur approchée de J à ×10
-3
près exprimée avec 3 décimales.

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CORRECTION
Partie A : étude de f
I. Etude d’une fonction auxiliaire
1) u’(x) = (2 + x) – (1 + x)
(2 + x)² + 1
x = 1 (2 + x)² + 1 x > 0 sur ]0 ;1]
Donc la fonction u est croissante sur ]0 ;1].
2) lim
x→0
u(x) = - ∞ et u(1) = 2
3
3) La fonction u étant croissante et d’après le théorème des valeurs intermédiaires, on en déduit que
l’équation u(x) = 0 a une solution unique β dans ]0 ;1[ (u(1) > 0).
u(0,54) ≈ -00099 < 0 et u(0,55) ≈ 0,01001 > 0
Donc : 0,54 < β < 0,55.
II Etude de f
1) a) f est continue sur ]0 ;1[ comme quotient de deux fonctions continues.
lim
x→0
f(x) = lim
x→0
x² ln x = 0 = f(0)
b) f(x) – (0)
x - 0 = - x ln x
1 + x
lim
x→0
f(x) – (0)
x - 0 = lim
x→0
-x ln x = 0
Donc f est dérivable en 0 et f’(0) = 0.
2) f(x) = v(x)
w(x) avec v(x) = -x² ln x et w(x) = 1 + x
f’(x) = v’(x)w(x) – v(x)w’(x)
(w(x))²
v’(x) = -2x ln x –x²
x= -2x ln x – x
w’(x) = 1
f’(x) = (- 2x ln x – x)(1 + x) + x² ln x
(1 + x)² = x[(- 2 ln x – 1)(1 + x) + x ln x] (1 + x)² = x(- x ln x – 2 ln x – 1 - x) (1 + x)²

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Pour x > 0 f’(x) est du signe de : -x ln x – 2 ln x – 1 - x
u(x) = 1 + x +2 ln x + x ln x
2 + x
Donc f’(x) est bien du signe de –u(x).
3) a) f’(x) > 0  -u(x) > 0  u(x) < 0  0 < x < β.
M ≈ f(0,54) ≈ 0,117
b) f’(0) = 0
Equation de la tangente en 0 : y = 0
f’(1) = - 1
2
Equation de la tangente en -1 : y = f’(1)(x – 1) + f(1) = - x
2 + 1
2
x
f'
f(x)
0 +
0
β −
M
1
0