Étude globale d’une fonction d’une variable réelle I Définitions de base

16 novembre 2015
Étude globale d’une fonction d’une variable réelle
I Définitions de base
Anticipation : si I⊂R, on note F(I,R) l’ensemble des fonctions (de variable réelle) définies sur Iet à valeurs dans
R.F(I,R) est un R-espace vectoriel pour les lois +et . définies par :
∀x∈I:½(f+g)(x)=f(x)+g(x)
(λ.f)(x)=λf(x)
On peut aussi définir la loi ×par :
∀x∈I: (f×g)(x)=f(x)g(x)
I.A Relation d’ordre
Soient f,g∈F(I,R). On dit que fÉgsi :
∀x∈I,f(x)Ég(x)
Définition 1
Soit f,g∈F(I,R) :
1. On définit la fonction |f|par :∀x∈I,|f|(x)=|f(x)|
2. On définit également les fonctions sup(f,g) et inf(f,g) par :
sup(f,g)(x)=½f(x) si f(x)Êg(x)
g(x) sinon
inf(f,g)(x)=½f(x) si f(x)Ég(x)
g(x) sinon
Définition 2
Remarque 1 : On a inf(f,g)ÉfÉsup(f,g) et inf(f,g)ÉgÉsup(f,g).
En revanche, fet gne sont pas nécessairement comparables.
I.B Majorants, minorants
Soit f∈F(I,R) :
— On dit que fest majorée (sur I) si ∃M∈R,∀x∈I,f(x)ÉM
Mest alors appelé un majorant de f.
— On dit que fest minorée (sur I) si ∃m∈R,∀x∈I,f(x)Êm
mest alors appelé un minorant de f.
— On dit que fest bornée (sur I) si elle est majorée et minorée (sur I)
i.e. ∃(m,M)∈R2,∀x∈I,mÉf(x)ÉM
Définition 3
Remarques 2 :
1. Dire que fest majorée revient à dire que l’ensemble : {f(x), x∈I} des images de fsur Iest majoré.
2. fest bornée si et seulement si |f|est majorée.
Lycée Jean Perrin 2013/2014 1 / 17

I.B Majorants, minorants 16 novembre 2015
Exercice I.1 : Montrer que la fonction f:x7→ x
x2+1est bornée sur l’intervalle [0;+∞[, et comprise entre 0 et 1. Que
peut-on dire sur R?
Soit f∈F(I,R) :
1. On définit la borne supérieure de la fonction fsur Ipar :
(sup
I
f=sup{f(x), x∈I} si fest majorée
= +∞ sinon
Si fest majorée, sup
I
fest le plus petit des majorants de f.
2. On définit la borne inférieure de la fonction fsur Ipar :
(inf
If=inf{f(x), x∈I} si fest minorée
= −∞ sinon
Si fest minorée, inf
Ifest le plus grand des minorants de f.
Définition 4
Exemple 1 : Effectuons une recherche des bornes supérieure et inférieure de la fonction :
f:(R∗
+→R
x7→ 1−1
x
Une étude de cette fonction nous permet de « visualiser » le résultat. fest définie et dérivable sur R∗
+et : ∀x∈
R∗
+,f′(x)=1
x2>0 Après calcul des limites, on obtient le tableau des variations de fainsi que l’allure de sa courbe
représentative :
x
f′(x)
f
0+∞
+
−∞
11
1
0
Cf
1
y
On voit alors que fn’admet pas de minorant, et que sa borne supérieure semble être la valeur 1. On peut alors
prouver ceci en utilisant la définition de la borne supérieure :
— 1 est clairement un majorant de f:∀x>0, 1−1
x<1.
— Si y<1, il suffit de choisir x>1
1−ypour avoir f(x)=1−1 x>y, donc yn’est pas un majorant de f.
En conclusion, on a bien sup
R∗
+
f=1. On peut également faire un raisonnement de ce type pour établir que fn’est pas
minorée.
Remarque 3 : On pourra constater plus loin que la notion de borne supérieure et la notion de limite sont liées
lorsque la fonction est croissante.
Lycée Jean Perrin 2013/2014 2 / 17

I.B Majorants, minorants 16 novembre 2015
Soit f∈F(I,R) :
— On dit que fadmet un maximum en a∈Isi : ∀x∈I,f(x)Éf(a)
Notation : f(a)=max
x∈If(x).
— On dit que fadmet un minimum en a∈Isi : ∀x∈I,f(x)Êf(a)
Notation : f(a)=min
x∈If(x).
— On dit que fadmet un extremum en a∈Isi f(a) est un minimum ou un maximum pour fsur I.
Définition 5
Exemple 2 : La fonction f:½R→R
x7→ x2+1admet un mi-
nimum en 0.
Cf
— Soit a∈R. On appelle voisinage de aun intervalle ouvert contenant a(on le choisit souvent centré en a,
de la forme ]a−ε,a+ε[).
— On appelle voisinage de +∞ (resp. −∞) un intervalle ouvert de la forme ]A,+∞[ (resp. ]−∞,B[).
Définition 6 (Notion de voisinage)
On dit que fadmet un maximum (resp. minimum) local en a∈Isi il existe un voisinage Vde atel que f(a) est
un maximum (resp. minimum) de f|I∩V.
Définition 7
Exemple 3 : La fonction x→x3−xadmet un minimum local
et un maximum local. Une étude de fonction suffit pour s’en
convaincre.
Cf
Max. local
Min. local
ab
Remarques 4 :
1. Le maximum de f, s’il existe, est également la borne supérieure de f(on rappelle que toute fonction admet une
borne supérieure). Il n’est pas inutile de rappeler ici que Rsatisfait à l’« axiome de la borne supérieure » : Toute
partie non vide et majorée de Radmet une borne supérieure !
2. En revanche, le maximum d’une fonction n’existe pas toujours, même si celle-ci est majorée (cf exemple 1).
Lycée Jean Perrin 2013/2014 3 / 17

I.C Fonctions particulières 16 novembre 2015
I.C Fonctions particulières
Soit f∈F(I,R) :
— On dit que fest croissante (resp. décroissante) sur Isi :
∀(x,y)∈I×I,x<y⇒f(x)Éf(y) (respectivement x<y⇒f(x)Êf(y))
— On dit que fest strictement croissante (resp. strictement décroissante) sur Isi :
∀(x,y)∈I×I,x<y⇒f(x)<f(y) (respectivement x<y⇒f(x)>f(y))
— On dit que fest monotone (resp. strictement monotone) sur I, lorsqu’elle est croissante ou décroissante
(resp. strictement croissante ou strictement décroissante) sur I.
Définition 8
Soient fet gdeux fonctions de F(I,R) :
1. Si fet gsont croissantes (resp. décroissantes), alors f+gest croissante (resp. décroissante).
2. Si fet gsont croissantes (resp. décroissantes) et positives, alors f g est croissante (resp. décroissante).
Proposition 1
Démonstration. À faire immédiatement en exercice.
Soient f∈F(I,J) et g∈F(J,R). Alors :
1. Si fet gsont monotones (resp. strictement monotones) et de même monotonie, alors g◦f:I→Rest
croissante (resp. strictement croissante).
2. Si fet gsont monotones (resp. strictement monotones) et de monotonie contraire, alors g◦f:I→Rest
décroissante (resp. strictement décroissante).
Proposition 2
Démonstration. On ne montrera ici que le premier point dans le cas où fet gsont toutes deux décroissantes. Soient (x,y)∈I2avec x<y, alors :
f(x)Êf(y) car fest décroissante
donc : g(f(x)) Ég(f(y)) car gest décroissante
d’où : (g◦f)(x)) É(g◦f)(y)
Donc g◦fest croissante.
On dit qu’une fonction f∈F(I,R) est paire (resp. impaire) si :
∀x∈I,f(−x)=f(x) (respectivement f(−x)=−f(x)).
Définition 9
Remarque 5 : Cette dernière définition suppose que si x∈Ialors −x∈I, donc que Iest symétrique par rapport à 0.
Soit f∈F(R,R). On dit que fest périodique de période T >0 (ou T-périodique) si :
∀x∈R,f(x+T)=f(x)
Définition 10
Exemple 4 : Les fonctions sin et cos sont 2π-périodiques.
Toute fonction constante est α-périodique, pour un réel αquelconque.
Lycée Jean Perrin 2013/2014 4 / 17

I.D Bijections 16 novembre 2015
L’ensemble FT(R,R) des fonctions T-périodiques est stable par combinaison linéaire. De plus, si fet gsont
deux fonctions de FT(R,R) alors f g ∈FT(R,R).
Proposition 3
Démonstration. Démonstration : en exercice
Soit kun réel strictement positif. On dit que f∈F(I,R) est lipschitzienne de rapport k, ou k-lipschitzienne, si :
∀(x,y)∈I×I,|f(x)−f(y)|Ék|x−y|
Définition 11
Exemple 5 : Toute fonction f∈F(R,R) affine est lipschitzienne.
Par exemple, la fonction f:x7→ 2x+1 est 2-lipschitzienne car :
∀x,y∈R,|f(x)−f(y)|=|2x−2y|= 2|x−y|É 2|x−y|
I.D Bijections
Iet Jsont des intervalles de R.
On dit que la fonction f:I→Jest une bijection (ou que fest bijective) de Isur Jsi tout élément yde Ja un et
un seul antécédent par f.
Ceci revient à dire que pour tout yde J, l’équation f(x)=ya une unique solution dans I.
Définition 12
Si fest bijective, on note f−1l’application de Jdans Iqui, à l’élément yde J, associe la solution de l’équation
f(x)=y. On l’appelle application réciproque de f. On a :
½f(x)=y
x∈I⇐⇒½x=f−1(y)
y∈J
Définition 13
Remarque 6 : Dans un repère orthonormal ³0,−→ i,−→ j´, les courbes représentatives de fet f−1sont symétriques par
rapport à la droite ∆d’équation y=x. En effet :
M(x,y)∈Cf⇔y=f(x)⇔x=f−1(y)⇔M′(y,x)∈Cf−1
De plus, ∀x∈I, (f−1◦f)(x)=xet ∀y∈J, (f◦f−1)(y)=y.
Lycée Jean Perrin 2013/2014 5 / 17