Étude globale d’une fonction d’une variable réelle I Définitions de base

16 novembre 2015
Étude globale d’une fonction d’une variable réelle
I Définitions de base
Anticipation : si I ⊂ R, on note F (I , R) l’ensemble des fonctions (de variable réelle) définies sur I et à valeurs dans
R. F (I , R) est un R-espace vectoriel pour les lois + et . définies par :
∀x ∈ I :
½
( f + g )(x)
(λ. f )(x)
=
=
f (x) + g (x)
λf (x)
On peut aussi définir la loi × par :
∀x ∈ I : ( f × g )(x) = f (x)g (x)
I.A Relation d’ordre
Définition 1
Soient f , g ∈ F (I , R). On dit que f É g si :
∀x ∈ I , f (x) É g (x)
Définition 2
Soit f , g ∈ F (I , R) :
1. On définit la fonction | f | par :∀x ∈ I , | f |(x) = | f (x)|
2. On définit également les fonctions sup( f , g ) et inf( f , g ) par :
½
f (x)
g (x)
si f (x) Ê g (x)
sinon
½
f (x)
g (x)
si f (x) É g (x)
sinon
sup( f , g )(x) =
inf( f , g )(x) =
Remarque 1 : On a inf( f , g ) É f É sup( f , g ) et inf( f , g ) É g É sup( f , g ).
En revanche, f et g ne sont pas nécessairement comparables.
I.B Majorants, minorants
Définition 3
Soit f ∈ F (I , R) :
— On dit que f est majorée (sur I ) si ∃M ∈ R, ∀x ∈ I , f (x) É M
M est alors appelé un majorant de f .
— On dit que f est minorée (sur I ) si ∃m ∈ R, ∀x ∈ I , f (x) Ê m
m est alors appelé un minorant de f .
— On dit que f est bornée (sur I ) si elle est majorée et minorée (sur I )
i.e. ∃(m, M) ∈ R2 , ∀x ∈ I , m É f (x) É M
Remarques 2 :
1. Dire que f est majorée revient à dire que l’ensemble : { f (x), x ∈ I } des images de f sur I est majoré.
2. f est bornée si et seulement si | f | est majorée.
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I.B Majorants, minorants
Exercice I.1 :
16 novembre 2015
Montrer que la fonction f : x 7→
peut-on dire sur R ?
x
est bornée sur l’intervalle [0; +∞[, et comprise entre 0 et 1. Que
x2 + 1
Définition 4
Soit f ∈ F (I , R) :
1. On définit la borne supérieure de la fonction f sur I par :
(
sup f
I
=
sup{ f (x), x ∈ I }
si f est majorée
=
+∞
sinon
Si f est majorée, sup f est le plus petit des majorants de f .
I
2. On définit la borne inférieure de la fonction f sur I par :
(
inf f = inf{ f (x), x ∈ I }
si f est minorée
I
=
sinon
−∞
Si f est minorée, inf f est le plus grand des minorants de f .
I
Exemple 1 :
Effectuons une recherche des bornes supérieure et inférieure de la fonction :
f :
(
R∗+
→
x
7→
R
1−
1
x
Une étude de cette fonction nous permet de « visualiser » le résultat. f est définie et dérivable sur R∗+ et : ∀x ∈
1
R∗+ , f ′ (x) = 2 > 0 Après calcul des limites, on obtient le tableau des variations de f ainsi que l’allure de sa courbe
x
représentative :
0
x
1
f ′ (x)
+∞
1
y
+
Cf
1
f
0
−∞
On voit alors que f n’admet pas de minorant, et que sa borne supérieure semble être la valeur 1. On peut alors
prouver ceci en utilisant la définition de la borne supérieure :
1
— 1 est clairement un majorant de f : ∀x > 0, 1 − < 1.
x
1
1
pour avoir f (x) = 1 − > y, donc y n’est pas un majorant de f .
— Si y < 1, il suffit de choisir x >
1− y
x
En conclusion, on a bien sup f = 1. On peut également faire un raisonnement de ce type pour établir que f n’est pas
minorée.
R∗
+
Remarque 3 : On pourra constater plus loin que la notion de borne supérieure et la notion de limite sont liées
lorsque la fonction est croissante.
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I.B Majorants, minorants
16 novembre 2015
Définition 5
Soit f ∈ F (I , R) :
— On dit que f admet un maximum en a ∈ I si : ∀x ∈ I ,
Notation : f (a) = max f (x).
f (x) É f (a)
— On dit que f admet un minimum en a ∈ I si : ∀x ∈ I ,
Notation : f (a) = min f (x).
f (x) Ê f (a)
x∈I
x∈I
— On dit que f admet un extremum en a ∈ I si f (a) est un minimum ou un maximum pour f sur I .
Exemple 2 :
nimum en 0.
La fonction f :
½
R
x
→
7→
Cf
R
admet un mix2 + 1
Définition 6 (Notion de voisinage)
— Soit a ∈ R. On appelle voisinage de a un intervalle ouvert contenant a (on le choisit souvent centré en a,
de la forme ]a − ε, a + ε[).
— On appelle voisinage de +∞ (resp. −∞) un intervalle ouvert de la forme ]A, +∞[ (resp. ] − ∞, B[).
Définition 7
On dit que f admet un maximum (resp. minimum) local en a ∈ I si il existe un voisinage V de a tel que f (a) est
un maximum (resp. minimum) de f |I ∩V .
Exemple 3 : La fonction x → x 3 − x admet un minimum local
et un maximum local. Une étude de fonction suffit pour s’en
convaincre.
Max. local
a
b
Cf
Min. local
Remarques 4 :
1. Le maximum de f , s’il existe, est également la borne supérieure de f (on rappelle que toute fonction admet une
borne supérieure). Il n’est pas inutile de rappeler ici que R satisfait à l’« axiome de la borne supérieure » : Toute
partie non vide et majorée de R admet une borne supérieure !
2. En revanche, le maximum d’une fonction n’existe pas toujours, même si celle-ci est majorée (cf exemple 1).
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I.C Fonctions particulières
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I.C Fonctions particulières
Définition 8
Soit f ∈ F (I , R) :
— On dit que f est croissante (resp. décroissante) sur I si :
∀(x, y) ∈ I × I , x < y ⇒ f (x) É f (y) (respectivement x < y ⇒ f (x) Ê f (y))
— On dit que f est strictement croissante (resp. strictement décroissante) sur I si :
∀(x, y) ∈ I × I , x < y ⇒ f (x) < f (y) (respectivement x < y ⇒ f (x) > f (y))
— On dit que f est monotone (resp. strictement monotone) sur I , lorsqu’elle est croissante ou décroissante
(resp. strictement croissante ou strictement décroissante) sur I .
Proposition 1
Soient f et g deux fonctions de F (I , R) :
1. Si f et g sont croissantes (resp. décroissantes), alors f + g est croissante (resp. décroissante).
2. Si f et g sont croissantes (resp. décroissantes) et positives, alors f g est croissante (resp. décroissante).
Démonstration. À faire immédiatement en exercice.
Proposition 2
Soient f ∈ F (I , J ) et g ∈ F (J , R). Alors :
1. Si f et g sont monotones (resp. strictement monotones) et de même monotonie, alors g ◦ f : I → R est
croissante (resp. strictement croissante).
2. Si f et g sont monotones (resp. strictement monotones) et de monotonie contraire, alors g ◦ f : I → R est
décroissante (resp. strictement décroissante).
Démonstration. On ne montrera ici que le premier point dans le cas où f et g sont toutes deux décroissantes. Soient (x, y ) ∈ I 2 avec x < y , alors :
f (x) Ê f (y ) car f est décroissante
donc : g ( f (x)) É g ( f (y )) car g est décroissante
d’où : (g ◦ f )(x)) É (g ◦ f )(y )
Donc g ◦ f est croissante.
Définition 9
On dit qu’une fonction f ∈ F (I , R) est paire (resp. impaire) si :
∀x ∈ I , f (−x) = f (x) (respectivement f (−x) = − f (x)).
Remarque 5 :
Cette dernière définition suppose que si x ∈ I alors −x ∈ I , donc que I est symétrique par rapport à 0.
Définition 10
Soit f ∈ F (R, R). On dit que f est périodique de période T > 0 (ou T -périodique) si :
∀x ∈ R,
f (x + T ) = f (x)
Exemple 4 : Les fonctions sin et cos sont 2π-périodiques.
Toute fonction constante est α-périodique, pour un réel α quelconque.
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I.D Bijections
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Proposition 3
L’ensemble FT (R, R) des fonctions T -périodiques est stable par combinaison linéaire. De plus, si f et g sont
deux fonctions de FT (R, R) alors f g ∈ FT (R, R).
Démonstration. Démonstration : en exercice
Définition 11
Soit k un réel strictement positif. On dit que f ∈ F (I , R) est lipschitzienne de rapport k , ou k-lipschitzienne, si :
∀(x, y) ∈ I × I ,
| f (x) − f (y)| É k|x − y|
Exemple 5 : Toute fonction f ∈ F (R, R) affine est lipschitzienne.
Par exemple, la fonction f : x 7→ 2x + 1 est 2-lipschitzienne car :
∀x, y ∈ R, | f (x) − f (y)| = |2x − 2y| = 2|x − y| É 2|x − y|
I.D Bijections
Définition 12
I et J sont des intervalles de R.
On dit que la fonction f : I → J est une bijection (ou que f est bijective) de I sur J si tout élément y de J a un et
un seul antécédent par f .
Ceci revient à dire que pour tout y de J , l’équation f (x) = y a une unique solution dans I .
Définition 13
Si f est bijective, on note f −1 l’application de J dans I qui, à l’élément y de J , associe la solution de l’équation
f (x) = y. On l’appelle application réciproque de f . On a :
½
f (x) = y
⇐⇒
x∈I
½
x = f −1 (y)
y∈J
³ →
− →
−´
Remarque 6 : Dans un repère orthonormal 0, i , j , les courbes représentatives de f et f −1 sont symétriques par
rapport à la droite ∆ d’équation y = x. En effet :
M(x, y) ∈ C f ⇔ y = f (x) ⇔ x = f −1 (y) ⇔ M ′ (y, x) ∈ C f −1
De plus, ∀x ∈ I , ( f −1 ◦ f )(x) = x et ∀y ∈ J , ( f ◦ f −1 )(y) = y.
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I.D Bijections
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y
b
b
M(x, yb = f (x))
x
b
b
Exemple 6 :
Soit f : x 7→
ensemble à déterminer.
x
b
M ′ (y = f (x), x = f −1 (y))
y
x −1
. Montrons que f définit une bijection de son ensemble de définition D f sur un
x +2
Solution. On a D f = R\{−2}. On résout l’équation (⋆) y = f (x) sur D f . On a :
(
x −1
y=
x + 2 ⇔ (x + 2)y = x − 1
x 6= −2
On cherche alors à isoler x pour le calculer en fonction de y . L’équation précédente devient :

 x = 2y + 1
x y − x = −2y − 1 ⇔ x(y − 1) = −2y − 1 ⇔
1− y

y 6= −1
Donc, pour y ∈ R\{1}, l’équation (⋆) a une unique solution x =
2y + 1
sur D f .
1− y
2y + 1
f est donc une bijection de D f sur R\{1}, et la bijection réciproque est f −1 : y 7→
.
1− y
Définition 14
Si I est un sous ensemble de R, on note f (I ) l’ensemble des réels qui ont au moins un antécédent dans I par f .
On l’appelle ensemble image de I par f .
Remarque 7 :
On admet que si f est continue et I est un intervalle, alors f (I ) en est également un.
Théorème 1 (admis)
Si l’application f est continue et strictement monotone sur un intervalle I de R, alors f réalise une bijection de
I sur l’intervalle J = f (I ).
L’application réciproque f −1 est alors continue et strictement monotone de même monotonie que f , de J dans
I = f −1 (J ).
Si de plus f est dérivable, et que ∀x ∈ I , f ′ (x) 6= 0, alors f −1 est dérivable, et :
∀y ∈ J , ( f −1 )′ (y) =
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1
f ′ ( f −1 (y))
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Remarque 8 :
Ce théorème est connu sous le nom de théorème de la bijection.
Important : Si v est dérivable sur l’intervalle I et u dérivable sur l’intervalle v(I ), alors u ◦ v est dérivable sur I et :
∀x ∈ I (u ◦ v)′ (x) = v ′ (x) × u ′ (v(x))
(À titre d’exercice, on pourra dériver ainsi f : x 7→ (x 2 + 1)10 et g : x 7→ cos7 x)
On retrouve ainsi la formule de la dérivée de la fonction réciproque, car :
∀y ∈ J , f ◦ f −1 (y) = y, donc :
( f ◦ f −1 )′ (y) = 1 = ( f −1 )′ (y) × f ′ ( f −1 (y))
Exemple 7 : En utilisant le théorème de la bijection, montrons que
x2 + 1
est bijective de [−1, 1[ sur un ensemble à déterminer.
f : x 7→
(x − 1)2
Solution. f est définie et dérivable sur [−1,1[, et ∀x ∈ [−1,1[ :
′
f (x) =
2x
(x − 1)2
−2
x2 + 1
(x − 1)3
=
−2(x + 1)
(x − 1)3
x
−1
−2(x + 1)
0
(x − 1)3
f ′ (x)
1
−
0
−
0
+
Le calcul de la dérivée nous donne immédiatement le tableau des
variations de f .
+∞
f (x)
f est donc continue et strictement croissante sur [−1,1[, donc réa1
lise une bijection de [−1,1[ sur f ([−1,1[) = [ ,+∞[ (cf tableau de varia2
tions).
1
2
II Fonctions logarithmes et fonctions exponentielles réelles
II.A La fonction logarithme de base a (a ∈]0, 1[∪]1, +∞[)
Définition 15
On appelle logarithme de base a l’application notée loga définie sur R∗+ par : loga (x) =
est appelé logarithme décimal, et loge est le logarithme népérien.
ln x
En particulier, log10
ln a
La fonction logarithme de base a étant proportionnelle au logarithme népérien, on en déduit l’essentiel des propriétés de cette fonction :
Proposition 4
La fonction loga est définie sur R∗+ , dérivable sur R∗+ , et on a :
1. loga (1) = 0, loga (a) = 1.
1
2. ∀x ∈ R∗+ , (loga )′ (x) =
x ln a
3. ∀x, y ∈ R∗+ , ∀r ∈ Q :
(i) loga (x y) = loga x + loga y
µ ¶
x
(ii) loga
= loga x − loga y
y
(iii) loga (x r ) = r loga x
½
½
−∞ si a > 1
+∞
4. lim loga x =
et lim loga x =
x→+∞
+∞ si a < 1
−∞
x→0
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si a > 1
si a < 1
II.B La fonction exponentielle de base a
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On constate donc que les variations de loga dépendent de la valeur de a (suivant le signe de ln a), ce qu’on peut
résumer dans les tableaux suivants :
Cas a ∈]1, +∞[ (soit l n(a) > 0)
Cas a ∈]0, 1[ (soit l n(a) < 0)
0
x
a
1
0
x
+∞
1
a
+∞
+∞
+∞
1
l og a
1
l og a
0
0
−∞
−∞
a =2
1
a = 10
1
2
a = 1/10
a = 1/e
−1
a = 1/2
On constate que l’application loga est strictement monotone et continue sur ]0, +∞[, et qu’elle admet donc une
application réciproque toujours d’après le théorème 1.
II.B La fonction exponentielle de base a
a est un réel de ]0, 1[∪]1, +∞[.
Définition 16
L’application réciproque de loga est appelée exponentielle de base a et notée expa : R → R∗+ .
expa est continue et strictement monotone de R sur R∗+ .
½
y = expa x
⇐⇒
x∈R
½
De plus ∀x > 0, expa (loga x) = x et ∀y ∈ R, loga (expa y) = y
Proposition 5
∀x ∈ R on a expa x = e x ln a
ln y
.
ln a
D’où ln y = x ln a et, par composition avec exp, on a le résultat.
Démonstration. Soit x ∈ R, y = expa x, alors x = loga y =
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x = loga y
y >0
II.B La fonction exponentielle de base a
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Conséquence : On étend la définition de la fonction exponentielle de base a à R∗+ en posant : exp1 x = e x ln 1 = 1
Attention cependant, cette dernière fonction n’est évidemment pas bijective.
Proposition 6
La fonction expa est dérivable sur R, et on a :
1. expa 0 = 1 et expa 1 = a.
2. ∀x ∈ R, (expa )′ (x) = (ln a) expa x
3. ∀x, y ∈ R, ∀r ∈ Q :
(i) expa (x + y) = expa x × expa y
expa x
(ii) expa (x − y) =
expa y
(iii) expa (r x) = (expa x)r
½
½
0 si a > 1
+∞
4. lim expa x =
et lim expa x =
x→−∞
x→+∞
+∞ si a < 1
0
si a > 1
si a < 1
En particulier, une conséquence de 3) est que pour tout rationnel r , on a : expa r = expa (1r ) = (expa 1)r = a r . Par
extension, on notera :∀x ∈ R, a x = expa x = e x ln a Lorsque x ∈ Q, cette notation coïncide avec la notation puissance
x i e`me de a.
Proposition 7
Soient a, b > 0, alors :
(i) a 0 = 1 et a 1 = a
(ii) ∀x, y ∈ R, (a x ) y = a x y
(iii) ∀x, y ∈ R, a x+y = a x a y
(iv) ∀x ∈ R, (ab)x = a x b x
ax
(v) ∀x, y ∈ R, a x−y = y
a
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II.C La fonction puissance
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Étude des variations de expa :
Cas a ∈]0, 1[ (soit l n(a) < 0)
x
−∞
0
1
Cas a ∈]1, +∞[ (soit l n(a) > 0)
x
+∞
−∞
0
1
+∞
+∞
1
expa
a
ex p a
a
0
1
0
4
a=
1
10
a = 10
3
a=
1
2
a=2
2
1
−3
−2
1
−1
Calculer la dérivée de la fonction f : x 7→ x x sur R∗+ .
Exercice II.1 :
II.C La fonction puissance
Définition 17
Soit a ∈ R. On appelle fonction puissance d’exposant a, la fonction :
f a (x) :
Remarques 9 :
2. lim x a =
x→0
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½
+∞
½
R∗+
x
→
7
→
1. ∀x ∈ R∗+ , x 0 = 1 et x 1 = x.
½
0 si a > 0
+∞
a
et lim x =
x→+∞
+∞ si a < 0
0
R∗+
x a = expx (a) = e a ln x
si a > 0
si a < 0
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2
II.D Croissances comparées
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Pour cette raison, si a > 0, on adopte la convention 0a = 0.
½ a
x
si x > 0
La fonction f a =
est continue sur R+ . On dit qu’on a effectué un prolongement par continuité
0 si x = 0
de f a .
Proposition 8
La fonction f a : x 7→ x a est dérivable sur R∗+ , et ∀x ∈ R∗+ : f a′ (x) = ax a−1
Étude des variations de x 7→ x a :
Cas a < 0
x
0
Cas a > 0
1
f a′ (x)
0
x
+∞
1
f a′ (x)
−
+
+∞
+∞
1
fa
+∞
1
fa
0
3
0
a=
y =x
5
2
2
a=
1
2
1
a=−
a=−
5
2
1
2
1
2
3
II.D Croissances comparées
Nous avons établi la limite de la fonction
ln x
en +∞. (proposition ??)
x
ln x
1
É pour tout réel strictement
x
e
p
2
ln x 2ln x
ln x
, puis par transformation de l’écriture
= ¡p ¢2 É
positif x, majoration obtenue après l’étude de x 7→
p
x
x
e× x
x
et utilisation des théorèmes de comparaison.
Les limites suivantes, dites « de croissances comparées », se déduisent de ce résultat fondamental et permettent :
Il est judicieux de connaître cette démonstration, réalisée par majoration :
1. de lever les indéterminations résultant du quotient de deux fonctions ayant une limite infinie.
2. d’obtenir une information sur la croissance comparée de ces fonctions.
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II.D Croissances comparées
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3. de connaître le terme prépondérant d’une expression mettant en jeu les fonctions usuelles précédemment étudiées au voisinage de l’infini.
Il s’agit, lorsque¡ α,¢β, γ sont trois réels strictement positifs, d’étudier les croissances comparées à l’infini des foncγ
tions (ln x)α , x β et e x .
Proposition 9
Soient α, β, γ trois réels strictement positifs et a > 1, alors :
1.
(ln x)α
lim
xβ
x→+∞
= 0, et en particulier lim
x→+∞
ln x
=0
x
x
xβ
= 0, et en particulier lim x = 0
x→+∞ e
x→+∞ e γx
(ln x)α
ln x
= 0, et en particulier lim
=0
3. lim
x→+∞ e x
x→+∞ e γx
xβ
4. lim x = 0
x→+∞ a
2.
lim
Démonstration. On utilise la proposition ??.
∀x ∈]0,+∞[
1. Pour tout réel x strictement positif, on transforme l’écriture

α
(ln x)α
xβ
=
Ã
ln x
β
xα
!α
(ln x)α
xβ
en utilisant les propriétés de la fonction logarithme.



β 
 α ln x α 


=
 −→ 0
β  x→+∞
β

α 
x
 | {z } 
−→ 0
x→+∞
D’après le théorème de la limite d’une fonction composée.
2. En posant X = e x −→ +∞, il vient x = ln X d’où :
x→+∞
(ln X )β
xβ
xβ
(ln X )β
=
= x γ =
−→ 0
γx
γ
ln
X
e
(e )
X γ X →+∞
(e
)
D’après la propriété précédente et la limite d’une fonction composée.
3. Cette propriété est une conséquence des deux précédentes, combinées avec le théorème de la limite d’un produit de fonctions :
x
(ln x)α (ln x)α
=
× γx −→ 0
x→+∞
e γx
x
e
4. Comme a > 1 alors ln a > 0 (La fonction x 7→ ln x est strictement croissante sur ]1 + ∞[).
xβ
xβ
xβ
=
−→ 0 (ln a > 0).
=
x
x
ln
a
x
a
e
(e )ln a x→+∞
Remarque 10 :
On déduit de ces résultats :
α
1. que (ln x) est négligeable au voisinage de l’infini devant x β
2. que x β est négligeable au voisinage de l’infini devant eγx
Il faut être capable de retrouver les limites suivantes à partir des limites de base et des propriétés des fonctions.
Proposition 10
Soient α, β, γ trois réels strictement positifs et a > 1, alors :
1. lim+ | ln x|α x β = 0, et en particulier lim+ x ln x = 0
x→0
x→0
2.
3.
β γx
lim |x| e
x→−∞
= 0, et en particulier lim xe x = 0
x→−∞
β x
lim |x| a = 0
x→−∞
Démonstration. On démontre seulement les deux cas particuliers, les autres seront traités en TD :
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16 novembre 2015
1
1
−ln X
1
−→ +∞ : x ln x = ln =
−→ 0
x x→0
X
X
X x→0
(limite d’une fonction composée).
X
−→ 0
2. On pose X = −x −→ +∞ : xe x = −X e −X = −
x→−∞
e X x→−∞
1. On pose X =
Exercice II.2 : Calculer les limites suivantes :
x 2 + (ln x)10
1. lim
x→+∞
x + ex
2. lim x
p
x ln x
x→0+
2
³
(ln x)10
x 1+
x 2 + (ln x)10
x2
1. lim
= lim
x
x→+∞
x→+∞
x +e
e x ( exx + 1)
Solution.
´
(ln x)10
x2 1 + x2
= lim x ×
x
x→+∞ e
+1
ex
x2
(ln x)10
x
= 0, lim 1 +
= 1 et lim x + 1 = 1
x
x→+∞ e
x→+∞
x→+∞ e
x2
x 2 + (ln x)10
D’où (limite d’un produit et limite d’un quotient) : lim
=0
x→+∞
x + ex
Or, d’après les résultats précédents, lim
2.
p
p
2
lim x x ln x = lim e x(ln x)
x→0+
x→0+
Or, lim
x→0+
p
1
x(ln x)2 = lim x 2 (ln x)2 = 0
p
x→0+
Donc, lim x x ln x = lim eX = 1
x→0+
X →0
III Fonctions trigonométriques réciproques
III.A Fonction arc sinus
h π πi
dans [−1, 1], donc définit une bijection de
La fonction sin est continue et strictement croissante de − ,
2 2
h π πi
− ,
dans [−1, 1].
2 2
Définition 18
h π πi
L’application réciproque de sin est appelée arc sinus, et notée arcsin : [−1, 1] → − , .
2 2
h π πi
arcsin est continue, strictement croissante, et impaire de [−1, 1] sur − ,
.
2 2
(
½
x = hsin y i
y = arcsin x
π π
⇐⇒
y∈ − ,
x ∈ [−1, 1]
2 2
h π πi
De plus ∀x ∈ [−1, 1], sin(arcsin x) = x et ∀θ ∈ − , , arcsin(sin θ) = θ (Attention ! ce dernier point est faux si θ
2 2
est dans un autre intervalle).
Exercice III.1 :
p
µ
µ
¶
¶
³ ³ π ´´
3π
1
2
Calculer les valeurs : arcsin
et arcsin sin
, arcsin − , arcsin sin −
2
2
3
4
Les relations précédentes nous permettent également de simplifier l’expression cos(arcsin x). On dispose en effet
de la relation cos2 X + sin2 X = 1. En particulier, pour X = arcsin x :
cos2 (arcsin x) + sin2 (arcsin x) = 1
|
{z
}
=x 2
π π
cos étant une fonction positive sur [− , ], on obtient après simplification :
2 2
p
cos(arcsin x) = 1 − x 2
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III.B Fonction arc cosinus
16 novembre 2015
Proposition 11
La fonction arcsin est dérivable sur ] − 1, 1[, et : ∀x ∈] − 1, 1[,
arcsin′ (x) = p
Démonstration. ∀x ∈] −
1
1
=q
cos(arcsin y )
1− y2
1
1 − x2
π π
, [ on a sin′ x = cos x 6= 0, donc d’après le théorème 1, arcsin = sin−1 est dérivable et : ∀y ∈] − 1,1[, (arcsin)′ (y ) =
2 2
1.5
π
2
y = arcsin(x)
1.0
0.5
−1.0
0.5
−0.5
1.0
−0.5
−1.0
−1.5
−
π
2
III.B Fonction arc cosinus
La fonction cos est continue et strictement décroissante de [0, π] dans [−1, 1], donc définit une bijection de [0, π]
dans [−1, 1].
Définition 19
L’application réciproque de cos est appelée arc cosinus, et notée arccos : [−1, 1] → [0, π].
arccos est continue et strictement décroissante de [−1, 1] sur [0, π].
½
½
y = arccos x
x = cos y
⇐⇒
x ∈ [−1, 1]
y ∈ [0, π]
De plus ∀x ∈ [−1, 1], cos(arccos x) = x et ∀θ ∈ [0, π], arccos(cos θ) = θ
(Attention ! ce dernier point est faux si θ est dans un autre intervalle).
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III.B Fonction arc cosinus
Exercice III.2 :
16 novembre 2015
p
µ
µ
¶
¶
³
3π
3π
1
π ´
3
), arccos cos
Calculer les valeurs : arccos , arccos(−
, arccos cos(− ) et arccos cos
2
2
4
4
2
Proposition 12
La fonction arccos est dérivable sur ] − 1, 1[, et : ∀x ∈] − 1, 1[,
1
arccos′ (x) = − p
1 − x2
Démonstration. On procède de même qu’en III.A.
π
3.0
2.5
y = arccos(x)
2.0
1.5
1.0
0.5
−1.0
0.5
−0.5
1.0
1.5
−0.5
−1.0
Exercice III.3 :
Lycée Jean Perrin 2013/2014
Montrer que ∀x ∈ [−1, 1], on a : arcsin x + arccos x =
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π
2
2.0
2.5
3.0
III.C Fonction arc tangente
16 novembre 2015
III.C Fonction arc tangente
La fonction tan est continue et strictement croissante de ] −
dans R.
π π
π π
, [ dans R donc définit une bijection de ] − , [
2 2
2 2
Définition 20
i π πh
L’application réciproque de tan est appelée arc tangente, et notée arctan : R → − , .
2 2
i π πh
arctan est continue, strictement croissante, et impaire de R sur − , .
2 2
(
½
x = itan y h
y = arctan x
π π
⇐⇒
y∈ − ,
x∈R
2 2
i π πh
De plus ∀x ∈ R, tan(arctan x) = x et ∀θ ∈ − ,
,arctan(tan θ) = θ
2 2
(Attention ! ce dernier point est faux si θ est dans un autre intervalle).
Exercice III.4 :
µ
¶
³
p
3π
π ´
Calculer les valeurs : arctan 1 , arctan 3, arctan tan(− ) et arctan tan
4
4
Proposition 13
La fonction arctan est dérivable sur R, et : ∀x ∈ R,
arctan′ (x) =
2
1
1 + x2
π
2
y = arctan(x)
1
−
−4
−3
−2
π
2
π
2
1
−1
2
−1
−
π
2
−2
−3
Exercice III.5 :
Lycée Jean Perrin 2013/2014
Montrer que ∀x > 0, on a :arctan x + arctan
1 π
= Que peut-on dire pour x < 0 ?
x 2
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3
TABLE DES MATIÈRES
16 novembre 2015
Table des matières
I
Définitions de base
I.A Relation d’ordre . . . .
I.B Majorants, minorants
I.C Fonctions particulières
I.D Bijections . . . . . . . .
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1
1
1
4
5
II Fonctions logarithmes et fonctions exponentielles réelles
II.A La fonction logarithme de base a (a ∈]0, 1[∪]1, +∞[) .
II.B La fonction exponentielle de base a . . . . . . . . . . .
II.C La fonction puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.D Croissances comparées . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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7
7
8
10
11
III Fonctions trigonométriques réciproques
III.A Fonction arc sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.B Fonction arc cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.C Fonction arc tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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13
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