Lycée Jean Perrin Classe de TSI Révisions d'oral (4) Sujet 1

Lycée Jean Perrin
Classe de TSI2
Révisions d'oral (4)
Sujet 1
Exercice 1
Soit I =
Z
+∞
0
dt
.
t2 + 4t + 3
1. Quelle est la nature de I ?
2. Déterminer (a, b) ∈ R2 tel que
3. Calculer I .
a
b
1
=
+
.
t2 + 4t + 3
t+1 t+3
4. Question supplémentaire : Calculer J =
Exercice2
3 1
 1 1
Soit A = 
 .. ..
 . .
1 1
1.
2.
3.
4.
5.
Z
0
...
...
..
.
...
+∞
dt
.
t2 + t + 1

1
1 

..  ∈ Mn (R) (avec n > 3).
. 
1
Dire sans calculs pourquoi A est diagonalisable dans Mn (R).
Déterminer le rang de A.
Démontrer que 0 est valeur propre d'ordre n − 2.
Soient α et β les deux autres valeurs propres de A (éventuellement confondues). Montrer que α + β = n + 2.
En prenant en compte Tr(A2 ), déterminer α et β .
[1]
Sujet 2
Exercice 1
→ R
.
7
→
P (−1)Q(−1) + P 0 (0)Q0 (0) + P 00 (0)Q00 (0)
1. Montrer que φ est un produit scalaire de E .
On note E = R2 [X] et φ :
E×E
(P, Q)
2. Déterminer une base orthonormée de E pour ce produit scalaire.
3. Calculer la distance de X 2 à R1 [X].
Exercice 2
Un train comporte quatre wagons. Un voyageur monte dans le wagon numéro 1 à l'instant 0. À chaque instant n, il
change de wagon et va au hasard dans un wagon contigu. On note pi,n la probabilité qu'à l'instant n, il soit dans la
wagon i et on note πn le vecteur πn = (p1,n , p2,n , p3,n , p4,n ).
1. Exprimer à l'aide de matrices πn+1 en fonction de πn . En déduire πn+2 en fonction de πn .
2. Que peut-on remarquer pour les suites (p2,2n )n∈N et (p4,2n )n∈N ? Calculer p1,2n et p3,2n .
3. Quand n tend vers +∞, quelles sont les limites des pi,2n et des pi,2n+1 ?
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Révisions d'oral (4)
Sujet 3
Exercice 1
On lance indéniment une pièce équilibrée. On note An l'événement on obtient au moins une fois la séquence PPF
avant le n-ième lancer , et Bn l'événement on obtient pour la première fois la séquence PPF au n-ième lancer .
1. Soit n > 3. Déterminer P (An+1 ∩ An ) en fonction de P (An ) et P (An+1 ∩ An ) en fonction de P (An−2 ).
On pourra observer que la suite
(An )
est croissante au sens de l'inclusion.
1
8
2. En déduire que pour tout n > 3, P (An+1 ) = P (An ) + (1 − P (An−2 ).
3. Justier la convergence de la suite P (An ) n∈N et déterminer sa limite.
4. Exprimer An en fonction des Bk . Quelle est la probabilité d'obtenir la séquence PPF au cours de l'expérience ?
Exercice 2
On pose : ∀n > 2, un =
n
X
ln k
k=2
k
.
ln t
.
t
Z k+1
Z k
ln t
ln t
ln k
En déduire que : ∀k > 4,
dt 6
6
dt.
t
k
k
k−1 t
2. Déduire de la question précédente un encadrement de un , puis un équivalent de un quand n tend vers l'inni.
X un
.
3. Déterminer la nature de la série
n2
1. Étudier le sens de variation de la fonction : t 7→
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