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MPSI B
22 mai 2017
Corrigé
Énoncé
Soit E un R-espace vectoriel de dimension 4 et E = (e1 , e2 , e3 , e4 ) une base de E . Soit f
l'endomorphisme de E tel que
1. Après calculs, on trouve det(f − λ IdE ) = λ2 (λ − 1)2 .
2. Après calculs, on trouve


1
0
A = Mat(f ) = 
1
E
1
−1 2 −2
0 1 −1

−1 1 0 
−1 1 0
rg A = 3,
3.
1. Soit λ ∈ R. Calculer det(f − λ IdE ) sous forme factorisée.
2. Calculer les rangs des matrices A, A2 , A − I4 , (A − I4 )2 .
3. a. Montrer qu'il existe une base A = (a1 , a2 , a3 , a4 ) de E telle que

0
0
Mat(f ) = 
0
A
0
1
0
0
0
0
0
1
0
rg A2 = 2,
rg(A − I4 ) = 3,
rg(A − I4 )2 = 2
a. De la question 2., on tire les dimensions des noyaux par le théorème du rang
dim(ker f ) = 1, dim(ker f 2 ) = 2, dim(ker(f − IdE )) = 1, dim(ker(f − IdE )2 ) = 2
Soit a1 un vecteur non nul de ker f et a3 un vecteur non nul de ker(f − IdE ). On
a bien alors f (a1 ) = 0E et f (a3 ) = a3 .
Soit x un vecteur du plan ker f 2 qui n'est pas dans la droite ker f . Alors f (x) ∈
ker f = Vect a1 . Il existe donc λ 6= 0 tel que f (x) = a1 . Posons a2 = λ1 x, on a
bien alors f (a2 ) = a1 .
Soit y un vecteur du plan ker(f − IdE )2 qui n'est pas dans la droite ker(f − IdE ).
Alors f (y) − y ∈ ker(f − IdE ) = Vect(a3 ). Il existe donc un µ 6= 0 tel que
f (y) − y = µa3 . Posons a4 = µ1 y , on a bien f (a4 ) = a4 + a3 .
Il reste à vérier que la famille (a1 , a2 , a3 , a4 ) est une base. Il sut de vérier
qu'elle est libre. Soit λ1 , λ2 , λ3 , λ4 tel que λ1 a1 + λ2 a2 + λ3 a3 + λ4 a4 = 0E .
En composant deux fois par f , on tire

0
0

1
1
b. En précisant les coordonnées dans E , calculer une base vériant la condition précédente.
λ1 a2 + λ3 a3 + (λ3 + λ4 )a4 = 0E
λ3 a3 + (2λ3 + λ4 )a4 = 0E
)
⇒ λ1 a2 − λ3 a4 = 0E
En composant encore par f , on obtient λ3 a4 = 0E d'où λ3 = 0 puis λ1 = 0 puis
λ4 = 0 (avec la deuxième équation de l'accolade) et enn λ2 = 0 avec la première
relation.
b. Calcul de a1 . On résoud le système



x − y + 2z − 2t = 0


x−y+z =0





x − y = 0
z−t=0
z − 2t = 0 ⇔
z=0
⇔



x−y+z =0




z−t=0
t=0

x−y+z =0
On choisit a1 = e1 + e2 .
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France
disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1
Rémy Nicolai Aalglin24
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Calcul de a2 . On résoud le système



x − y + 2z − 2t = 1


x−y+z =0




 x − y = −1

z−t=1
z − 2t = 1 ⇔
z=1
⇔



x−y+z =0




z−t=1
t=0

x−y+z =0
On choisit a2 = e2 + e3 .
Calcul de a3 . On résoud le système



x−y =0
−y + 2z − 2t = 0




x−y =0




 −y + 2z − 2t = 0
 −y + z − t = 0
⇔ −y + z − t = 0
⇔



−y + z − t = 0
x−y =0





z−t=0


z−t=0
x−y+z−t=0
On choisit a3 = e3 + e4 .
Calcul de a4 . On résoud le système



x−y =1
−y + 2z − 2t = 0




x−y =1




 −y + 2z − 2t = 0
 −y + z − t = 0
⇔ −y + z − t = 0
⇔



−y + z − t = 0
x−y =1





z−t=0


z−t=0
x−y+z−t=1
On choisit a4 = e1 .
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France
disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
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