Devoir Maison 13 1 Algèbre : autour de l`équation u4 = IdE

PCSI 843
2013-2014
Lycée du Parc
Devoir Maison 13
À rendre le Vendredi 16 Mai
Algèbre : autour de l’équation u4 = IdE
1
E est ici un R-espace vectoriel de dimension 4. On s’intéresse dans ce problème aux endomorphismes u de
E vérifiant : u4 = IdE .
1.1
Un premier exemple

−1 0 −1 −1
 0 −1 0
0 
, et u ∈ L(E) tel que ME (u) = A, avec E une base de E.
On note ici A = 
 2
0
0
1 
2
0
1
2

1. Vérifier : u4 = IdE .
2. Montrer que u ∈ GL(E) et déterminer u−1 en fonction de u.
3. Déterminer rg(u2 + IdE ).

1 0 0
 0 −1 0
4. Montrer qu’il existe une base de E dans laquelle la matrice de u vaut 
 0 0 0
0 0 1
1.2

0
0 
.
−1 
0
Le cas général
On suppose ici que u ∈ L(E) vérifie u4 = IdE .
1. Montrer : Ker (u2 + IdE ) ⊕ Ker (u2 − IdE ) = E. Vérifier que les deux sous-espaces Ker (u2 + IdE ) et
Ker (u2 − IdE ) sont stables par u.
2. (a) Quelle est la nature géométrique de u si Ker (u2 + IdE ) = {0} ? Montrer qu’il existe alors une base
de E dans laquelle la matrice de u est diagonale.
(b) Réciproquement, on suppose que la matrice de u dans une certaine base est diagonale. Que dire alors
de u, puis de Ker (u2 + IdE ) et Ker (u2 − IdE ) ?
On suppose dans la suite du problème : Ker (u2 + IdE ) 6= {0}.
3. Montrer que Ker (u2 + IdE ) est de dimension supérieure ou égale à 2.
4. On suppose ici que Ker (u2 + IdE ) est de dimension 2. Que dire de la restriction
de u à Ker(u2 − IdE ) ?

0 −1 0
0
 1 0
0
0 

.
En déduire qu’il existe une base de E dans laquelle la matrice de u est 
0 0 λ1 0 
0 0
0 λ2
5. On 
suppose ici que Ker(u2 + IdE ) = E. Montrer qu’il existe une base de E dans laquelle la matrice de u
0 −1 0 0
 1 0 0 0 

est 
 0 0 0 −1 .
0 0 1 0
6. On suppose enfin que F = Ker (u2 + IdE ) est de dimension 3, et on note v l’endomorphisme de F égal à
la restriction de u. En évaluant le déterminant de v, aboutir à une contradiction.
7. Faire le bilan (liste des matrices réduites obtenues).
1
1.3
Brève extension au cas complexe
On suppose ici que E est un C-espace vectoriel, et que u ∈ L(E) vérifie u4 = IdE .
1. Vérifier : Ker (u2 + IdE ) = Ker (u − iIdE ) ⊕ Ker (u + iIdE ).
2. Montrer qu’il existe une base de E dans laquelle la matrice de u est diagonale.
2
Un calcul classique
1. Montrer que si g ∈ C 1 ([a, b]), alors
Z
b
g(t)eiλt dt −→ 0.
a
λ→+∞
2. Justifier le fait que l’application f : t ∈]0, +∞[7→ sint t se prolonge en une fonction continue sur [0, +∞[.
Z x
sin t
dt . L’objet de cet exercice est de montrer que F admet une limite
On note dans la suite F (x) =
t
0
en +∞.
3. Montrer que l’application h : t ∈]0, π/2] 7→ 1t − sin1 t se prolonge en une fonction continue sur [0, π/2], et
que ce prolongement (Que l’on notera h...) est de classe C 1 .
Z π/2
sin(2n + 1)t
dt. Justifier l’existence de cette intégrale, et montrer que In
4. Pour n ∈ N, on note In =
sin t
0
ne dépend pas de n (considérer In+1 − In ).
5. Pour n ∈ N, exprimer F (2n + 1)π/2 à l’aide de In et de h.
On fera le changement de variable t = (2n + 1)u dans F (2n + 1)π/2 .
π
π
π
6. Montrer que pour tout x
≥ 2 , il existe un uniquen(x) ∈ 2N tel que 2n(x) + 1 2 ≤ x < 2n(x) + 3 2 ·
Montrer qu’on a alors : F (x) − F (2n(x) + 1)π/2 ≤ 2n(x)+1 ·
Z +∞
π
sin t
dt = ·
7. Montrer que F (x) −→ π2 · On note cela parfois :
x→+∞
t
2
0
3
Une série [Extrait d’une planche CCP PC 2013]
On considère la suite (un ) définie par u0 = 1 et ∀n ∈ N, un+1 =
2n + 1
un .
2n + 4
1. Montrer que la suite (un ) est décroissante et convergente ( on ne cherchera pas à déterminer la limite )
2. On pose vn = n−5/4 .
vn+1
un+1
−
.
un
vn
un+1
vn+1
(b) Montrer qu’il existe N ∈ N∗ tel que ∀n ≥ N,
≤
.
un
vn
∗
En déduire qu’il existe K ∈ R+ tel que ∀n ≥ N, un ≤ Kvn .
(a) Déterminer un équivalent simple de
3. Existence et calcul de
+∞
X
un . (Indication : remarquer que 2(n + 1)un+1 − 2nun = un − 2un+1 )
n=0
2