Devoir Maison 13 1 Algèbre : autour de l`équation u4 = IdE

Lycée du Parc PCSI 843
2013-2014
Devoir Maison 13
À rendre le Vendredi 16 Mai
1 Algèbre : autour de l’équation u4=IdE
Eest ici un R-espace vectoriel de dimension 4. On s’intéresse dans ce problème aux endomorphismes ude
Evérifiant : u4=IdE.
1.1 Un premier exemple
On note ici A=
−1 0 −1−1
0−1 0 0
2001
2012
, et u∈L(E)tel que ME(u) = A, avec Eune base de E.
1. Vérifier : u4=IdE.
2. Montrer que u∈GL(E)et déterminer u−1en fonction de u.
3. Déterminer rg(u2+IdE).
4. Montrer qu’il existe une base de Edans laquelle la matrice de uvaut 
1 0 0 0
0−1 0 0
0 0 0 −1
0 0 1 0
.
1.2 Le cas général
On suppose ici que u∈L(E)vérifie u4=IdE.
1. Montrer : Ker (u2+IdE)⊕Ker (u2−IdE) = E. Vérifier que les deux sous-espaces Ker (u2+IdE)et
Ker (u2−IdE)sont stables par u.
2. (a) Quelle est la nature géométrique de usi Ker (u2+IdE) = {0}? Montrer qu’il existe alors une base
de Edans laquelle la matrice de uest diagonale.
(b) Réciproquement, on suppose que la matrice de udans une certaine base est diagonale. Que dire alors
de u, puis de Ker (u2+IdE)et Ker (u2−IdE)?
On suppose dans la suite du problème : Ker (u2+IdE)6={0}.
3. Montrer que Ker (u2+IdE)est de dimension supérieure ou égale à 2.
4. On suppose ici que Ker (u2+IdE)est de dimension 2. Que dire de la restriction de uàKer (u2−IdE)?
En déduire qu’il existe une base de Edans laquelle la matrice de uest 
0−1 0 0
1 0 0 0
0 0 λ10
0 0 0 λ2
.
5. On suppose ici que Ker (u2+IdE) = E. Montrer qu’il existe une base de Edans laquelle la matrice de u
est 
0−1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 −1
0 0 1 0
.
6. On suppose enfin que F= Ker (u2+IdE)est de dimension 3, et on note vl’endomorphisme de Fégal à
la restriction de u. En évaluant le déterminant de v, aboutir à une contradiction.
7. Faire le bilan (liste des matrices réduites obtenues).
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1.3 Brève extension au cas complexe
On suppose ici que Eest un C-espace vectoriel, et que u∈L(E)vérifie u4=IdE.
1. Vérifier : Ker (u2+IdE) = Ker (u−iIdE)⊕Ker (u+iIdE).
2. Montrer qu’il existe une base de Edans laquelle la matrice de uest diagonale.
2 Un calcul classique
1. Montrer que si g∈ C1([a, b]), alors Zb
a
g(t)eiλtdt−→
λ→+∞0.
2. Justifier le fait que l’application f:t∈]0,+∞[7→ sin t
tse prolonge en une fonction continue sur [0,+∞[.
On note dans la suite F(x) = Zx
0
sin t
tdt. L’objet de cet exercice est de montrer que Fadmet une limite
en +∞.
3. Montrer que l’application h:t∈]0, π/2] 7→ 1
t−1 sin tse prolonge en une fonction continue sur [0, π/2], et
que ce prolongement (Que l’on notera h...) est de classe C1.
4. Pour n∈N, on note In=Zπ/2
0
sin(2n+ 1)t
sin tdt. Justifier l’existence de cette intégrale, et montrer que In
ne dépend pas de n(considérer In+1 −In).
5. Pour n∈N, exprimer F(2n+ 1)π/2à l’aide de Inet de h.
On fera le changement de variable t= (2n+ 1)udans F(2n+ 1)π/2.
6. Montrer que pour tout x≥π
2, il existe un unique n(x)∈Ntel que 2n(x) + 1π 2≤x < 2n(x) + 3π 2·
Montrer qu’on a alors : 
F(x)−F(2n(x) + 1)π/2
≤2
2n(x)+1 ·
7. Montrer que F(x)−→
x→+∞
π
2·On note cela parfois : Z+∞
0
sin t
tdt=π 2·
3 Une série [Extrait d’une planche CCP PC 2013]
On considère la suite (un)définie par u0= 1 et ∀n∈N, un+1 =2n+ 1
2n+ 4un.
1. Montrer que la suite (un)est décroissante et convergente ( on ne cherchera pas à déterminer la limite )
2. On pose vn=n−5/4.
(a) Déterminer un équivalent simple de un+1
un
−vn+1
vn
.
(b) Montrer qu’il existe N∈N∗tel que ∀n≥N, un+1
un
≤vn+1
vn
.
En déduire qu’il existe K∈R∗
+tel que ∀n≥N, un≤Kvn.
3. Existence et calcul de
+∞
X
n=0
un. (Indication : remarquer que 2(n+ 1)un+1 −2nun=un−2un+1 )
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