1 Analyse (d`après Edhec 2008) 2 Algèbre : autour de l`équation u4

843 - le 19 Juin 2010
DS 11 - 4 heures
Calculatrices autorisées.
1
Analyse (d’après Edhec 2008)
Z
π/3
On définit, pour tout n ∈ N : Un =
0
sinn x
dx.
cos x
1. Calculer U1 .
2. Exprimer Un+2 − Un en fonction de n, et en déduire la valeur de U3 .
3. Montrer que U est monotone, puis convergente.
4. À l’aide d’une majoration naïve de l’intégrale, trouver la limite de U .
n
X
On définit désormais pour tout n ∈ N : Sn =
Uk .
k=0
5. Montrer que S est convergente.
6. Prouver :
Z
∀n ∈ N,
Sn =
0
π/3
1
dx −
cos x (1 − sin x)
Z
0
π/3
sinn+1 x
dx.
cos x (1 − sin x)
7. En déduire la valeur de la limite de S sous forme d’une intégrale.
x
8. À l’aide du changement de variable t = tan puis d’une décomposition en éléments simples,
2
calculer cette intégrale.
Algèbre : autour de l’équation u4 = IdE
2
E est ici un R-espace vectoriel de dimension 4. On s’intéresse dans ce problème aux endomorphismes
u de E vérifiant : u4 = IdE .
2.1
Un premier exemple

−1
0
On note ici A = 
2
2
0
−1
0
0
−1
0
0
1

−1
0
, et u ∈ L(E) tel que Mat(u) = A, avec E une base de E.
1
E
2
1. Vérifier : u4 = IdE .
2. Montrer que u ∈ GL(E) et déterminer u−1 en fonction de u.
3. Déterminer rg(u2 + IdE ).

1
0
4. Montrer qu’il existe une base de E dans laquelle la matrice de u vaut 
0
0
2.2
0
−1
0
0

0 0
0 0
.
0 −1
1 0
Cas où u est orthogonal
E est ici muni d’un produit scalaire, et on suppose que u est un endomorphisme orthogonal de E
vérifiant u4 = IdE , avec de plus u2 − IdE ∈ GL(E).
1. Montrer : u2 = −IdE .
Dans la suite, on fixe x0 un vecteur de E de norme 1, et on définit P = Vect (x0 , u(x0 )).
2. Vérifier que u(x0 ) est de norme 1 et orthogonal à x0 .
1
3. Montrer que P est stable par u, et que (x0 , u(x0 )) en constitue une base orthonormée.
On note g l’endomorphisme de P égal à la restriction de u à P .
4. Quelle est la nature géométrique de g ?
5. Montrer que P ⊥ est stable par u.

0
1
6. Montrer enfin qu’il existe une base orthonormée de E dans laquelle la matrice de u est : 
0
0
2.3
−1
0
0
0

0 0
0 0
.
0 −1
1 0
Le cas général
On suppose ici que u ∈ L(E) vérifie u4 = IdE .
1. Montrer : Ker (u2 + IdE ) ⊕ Ker (u2 − IdE ) = E. Vérifier que les deux sous-espaces Ker (u2 + IdE )
et Ker (u2 − IdE ) sont stables par u.
2. (a) Quelle est la nature géométrique de u si Ker (u2 + IdE ) = {0} ? Montrer qu’il existe alors une
base de E dans laquelle la matrice de u est diagonale.
(b) Réciproquement, on suppose que la matrice de u dans une certaine base est diagonale. Que
dire alors de u, puis de Ker (u2 + IdE ) et Ker (u2 − IdE ) ?
On suppose dans la suite du problème : Ker (u2 + IdE ) 6= {0}.
3. Montrer que Ker (u2 + IdE ) est de dimension supérieure ou égale à 2.
4. On suppose ici que Ker (u2 + IdE ) est de dimension 2. Que dire de la restriction
 de u à
0 −1
1 0
IdE ) ? En déduire qu’il existe une base de E dans laquelle la matrice de u est 
0 0
0 0
Ker (u2−
0
0
0
0
.
λ1 0 
0 λ2
2
5. On suppose
 ici que Ker (u + IdE ) = E. Montrer qu’il existe une base de E dans laquelle la matrice
0 −1 0 0
1 0 0 0 

de u est 
0 0 0 −1.
0 0 1 0
6. On suppose enfin que F = Ker (u2 + IdE ) est de dimension 3, et on note v l’endomorphisme de F
égal à la restriction de u. En évaluant le déterminant de v, aboutir à une contradiction.
7. Faire le bilan !
2.4
Brève extension au cas complexe
On suppose ici que E est un C-espace vectoriel, et que u ∈ L(E) vérifie u4 = IdE .
1. Vérifier : Ker (u2 + IdE ) = Ker (u − iIdE ) ⊕ Ker (u + iIdE ).
2. Montrer qu’il existe une base de E dans laquelle la matrice de u est diagonale.
2