1 Analyse (d`après Edhec 2008) 2 Algèbre : autour de l`équation u4

843 - le 19 Juin 2010 DS 11 - 4 heures
Calculatrices autorisées.
1 Analyse (d’après Edhec 2008)
On définit, pour tout n∈N:Un=Zπ/3
0
sinnx
cos xdx.
1. Calculer U1.
2. Exprimer Un+2 −Unen fonction de n, et en déduire la valeur de U3.
3. Montrer que Uest monotone, puis convergente.
4. À l’aide d’une majoration naïve de l’intégrale, trouver la limite de U.
On définit désormais pour tout n∈N:Sn=
n
X
k=0
Uk.
5. Montrer que Sest convergente.
6. Prouver :
∀n∈N, Sn=Zπ/3
0
1
cos x(1 −sin x)dx −Zπ/3
0
sinn+1 x
cos x(1 −sin x)dx.
7. En déduire la valeur de la limite de Ssous forme d’une intégrale.
8. À l’aide du changement de variable t= tan x
2puis d’une décomposition en éléments simples,
calculer cette intégrale.
2 Algèbre : autour de l’équation u4=IdE
Eest ici un R-espace vectoriel de dimension 4. On s’intéresse dans ce problème aux endomorphismes
ude Evérifiant : u4=IdE.
2.1 Un premier exemple
On note ici A=
−1 0 −1−1
0−1 0 0
2 0 0 1
2 0 1 2
, et u∈ L(E)tel que Mat
E(u) = A, avec Eune base de E.
1. Vérifier : u4=IdE.
2. Montrer que u∈GL(E)et déterminer u−1en fonction de u.
3. Déterminer rg(u2+IdE).
4. Montrer qu’il existe une base de Edans laquelle la matrice de uvaut 
1000
0−1 0 0
000−1
0010
.
2.2 Cas où uest orthogonal
Eest ici muni d’un produit scalaire, et on suppose que uest un endomorphisme orthogonal de E
vérifiant u4=IdE, avec de plus u2−IdE∈GL(E).
1. Montrer : u2=−IdE.
Dans la suite, on fixe x0un vecteur de Ede norme 1, et on définit P= Vect (x0, u(x0)).
2. Vérifier que u(x0)est de norme 1et orthogonal à x0.
1

3. Montrer que Pest stable par u, et que (x0, u(x0)) en constitue une base orthonormée.
On note gl’endomorphisme de Pégal à la restriction de uàP.
4. Quelle est la nature géométrique de g?
5. Montrer que P⊥est stable par u.
6. Montrer enfin qu’il existe une base orthonormée de Edans laquelle la matrice de uest : 
0−1 0 0
1000
000−1
0010
.
2.3 Le cas général
On suppose ici que u∈ L(E)vérifie u4=IdE.
1. Montrer : Ker (u2+IdE)⊕Ker (u2−IdE) = E. Vérifier que les deux sous-espaces Ker (u2+IdE)
et Ker (u2−IdE)sont stables par u.
2. (a) Quelle est la nature géométrique de usi Ker (u2+IdE) = {0}? Montrer qu’il existe alors une
base de Edans laquelle la matrice de uest diagonale.
(b) Réciproquement, on suppose que la matrice de udans une certaine base est diagonale. Que
dire alors de u, puis de Ker (u2+IdE)et Ker (u2−IdE)?
On suppose dans la suite du problème : Ker (u2+IdE)6={0}.
3. Montrer que Ker (u2+IdE)est de dimension supérieure ou égale à 2.
4. On suppose ici que Ker (u2+IdE)est de dimension 2. Que dire de la restriction de uàKer (u2−
IdE)? En déduire qu’il existe une base de Edans laquelle la matrice de uest 
0−1 0 0
1 0 0 0
0 0 λ10
0 0 0 λ2
.
5. On suppose ici que Ker (u2+IdE) = E. Montrer qu’il existe une base de Edans laquelle la matrice
de uest 
0−1 0 0
1000
000−1
0010
.
6. On suppose enfin que F= Ker (u2+IdE)est de dimension 3, et on note vl’endomorphisme de F
égal à la restriction de u. En évaluant le déterminant de v, aboutir à une contradiction.
7. Faire le bilan !
2.4 Brève extension au cas complexe
On suppose ici que Eest un C-espace vectoriel, et que u∈ L(E)vérifie u4=IdE.
1. Vérifier : Ker (u2+IdE) = Ker (u−iIdE)⊕Ker (u+iIdE).
2. Montrer qu’il existe une base de Edans laquelle la matrice de uest diagonale.
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