Loi des sinus - Sylvain Lacroix

La loi des sinus
CST, TS, SN
Contenu du cours
Lorsque nous travaillons avec un triangle quelconque, les mesures des côtés sont
proportionnelles aux sinus des angles à ces côtés.
Démonstration
Avec une hauteur à partir de C
h
h
et sin B =
b
a
h = b*sin A et h = a*sin B
sin A =
Par comparaison
b*sin A = a*sin B
b
a
=
sin B sin A
Avec une hauteur à partir de B, on trouverait
a
c
=
sin A sin C
sin A sin B sin C
a
b
c
=
=
ou
=
=
a
b
c
sin A sin B sin C
On utilise la loi des sinus dans deux situations précises :
• Lorsque l’on connaît 2 angles et 1 côté.
• Lorsque l’on connaît 2 côtés et 1 angle opposé à un de ces deux côtés.
Donc la loi des sinus est
Exemple 1 :
sin 45 o sin 75 o
=
(Produit des extrêmes = produit des
x
10
moyens)
x*sin75o = 10*sin45o
10 * sin45 o
x=
x = 7,32
sin 75 o
Exemple 2 :
sin 80 o sin C
=
(Produit des extrêmes = produit des
18
15
moyens)
15 × sin 80 o
15 × sin 80 o
sinC =
sin-1(
)=C
18
18
L’angle C mesure 55,2o
Donc x = 180o – 80o - 55,2o
x = 44,8o
Sylvain Lacroix 2005-2010
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La loi des sinus
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Exemple 3 :
sin 30 o sin x
=
(Produit des extrêmes = produit des
6,3
11
moyens)
11 × sin 30 o
11 × sin 30 o
sin x =
sin-1(
)=x
6,3
6,3
L’angle x mesure 60,8o. Mais B est un angle obtus.
Donc x = 180o – 60,8o
x = 119,2o
Pour un angle obtus lorsque l’on utilise la fonction sinus, faire 180o – « l’angle trouvé ».
Sylvain Lacroix 2005-2010
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