Les nombres complexes et les polynômes

LES NOMBRES COMPLEXES ET LES POLYN ˆ OMES
1. Les nombres complexes
Puisque le carr´e de tout nombre r´eel est positif, aucun nombre r´eel n´egatif n’a
de racine carr´ee r´eelle. Or il est souvent essentiel en physique et en math´ematiques
de savoir qu’il existe pour tout nombre r´eel xun autre “nombre” ytel que y2=x.
Pour y arriver il suffit d’introduire un nouveau nombre, not´e i, tel que i2=−1.
D`es lors, si xest n’importe quel nombre n´egatif, on obtient que
p|x| · i2
=x,
i.e., xadmet une racine carr´ee.
D´efinition 1.1. Un nombre complexe est une expression de la forme a+bi, o`u a
et bsont des nombres r´eels. L’ensemble de tous les nombres complexes est not´e C.
Etant donn´e deux nombres complexes w=a+bi et z=c+di, leur somme est
le nombre complexe
w+z:= (a+c)+(b+d)i.
Leur produit est le nombre complexe
w·z:= (ac −bd)+(ad +bc)i.
Remarque 1.2.Observer que l’ensemble de tous les nombres r´eels, not´e R, est un
sousensemble de C, puisque a=a+ 0ipour tout nombre r´eel a. D’ailleurs, la
somme usuelle de deux nombres r´eels est ´egale `a leur somme en tant que nombres
complexes. De mˆeme, leur produit usuel est ´egal `a leur produit en tant que nombres
complexes.
Remarque 1.3.Tout nombre complexe a+bi correspond `a un point (a, b) du plan
r´eel R2. Il peut donc ˆetre d´etermin´e par un angle θpar rapport `a la demidroite
{(x, 0) |x≥0}et par une distance rdepuis l’origine, i.e., le rayon du cercle centr´e
`a l’origine sur lequel le point (a, b) se trouve.
La proposition suivante donne toutes les propri´et´es les plus importantes des
op´erations arithm´etiques complexes. Elle nous dit que C, muni des op´erations
d´efinies ci-dessus, est un corps, tout comme Rmuni des op´erations usuelles. En
fait Rest un souscorps de C.
Proposition 1.4. Soient z1, z2, z3des nombres complexes. Alors:
(1) (Commutativit´e de l’addition et de la multiplication)
z1+z2=z2+z1et z1·z2=z2·z1;
(2) (Associativit´e de l’addition et de la multiplication)
(z1+z2) + z3=z1+ (z2+z3)et (z1·z2)·z3=z1·(z2·z3);
(3) (El´ements neutres additifs et multiplicatifs)
z1+ 0 = z1et z1·1 = z1;
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(4) (Inverses additifs) il existe un nombre complexe v1tel que z1+v1= 0;
(5) (Inverses multiplicatifs) si z16= 0, il existe un nombre complexe w1tel que
z1·w1= 1; et
(6) (Distributivit´e) z1·(z2+z3) = z1·z2+z1·z3.
Pour conclure cette section, nous examinons quelques op´erations qui associent
un nombre r´eel `a un nombre complexe.
D´efinition 1.5. Soit z=a+bi un nombre complexe. La partie r´eelle de zest
le nombre r´eel Re(z) := a, tandis que sa partie imaginaire est le nombre r´eel
Im(z) := b. La conjugu´ee complexe de zest le nombre complexe ¯z:= a−bi. Le
module (ou la valeur absolue) de zest le nombre r´eel
|z|:= √z·¯z=pa2+b2.
La proposition suivante r´esume les relations parmi toutes les op´erations sur les
nombres complexes d´efinies dans cette section.
Proposition 1.6. Soient wet zdes nombres complexes. Alors:
(1) Re(w+z) = Re(w) + Re(z);
(2) Im(w+z) = Im(w) + Im(z);
(3) z+ ¯z= 2 ·Re(z);
(4) z−¯z= 2 ·Im(z)·i;
(5) w+z=w+ ¯z;
(6) w·z=w·¯z;
(7) ¯ ¯z=z; et
(8) |w·z|=|w|·|z|.
2. Polynˆ omes et leurs racines
Les polynˆomes `a coefficients r´eels ou complexes sont des outils tr`es importants
en alg`ebre lin´eaire. Ici nous rappelons bri`evement les d´efinitions ´el´ementaires
n´ecessaires, ainsi que les r´esultats essentiels concernant l’existence de racines de
polynˆomes. Pour plus de d´etails, voir le Chapitre 4 du livre d’Axler.
Dor´enavant Fd´esigne Rou C.
D´efinition 2.1. Soit nun nombre naturel. Un polynˆome de degr´e n`a coefficients
dans Fest une application p:F→Ftelle qu’il existe a0, .., an∈F, avec an6= 0,
v´erifiant p(z) = a0+a1z+··· +anznpour tout z∈F. Un polynˆome de degr´e 0
est appel´e constant.
L’ensemble de tous les polynˆomes `a coefficients dans Fest not´e P(F), tandis que
l’ensemble de tous les polynˆomes `a coefficients dans Fet de degr´e au plus nest
not´e Pn(F).
Soit p∈P(F). Un ´el´ement λde Fest une racine du polynˆome psi p(λ) = 0.
Remarque 2.2.Pour voir que la notion du “degr´e” d’un polynˆome `a coefficients
r´eels ou complexes n’est pas ambigu¨e, i.e., qu’un polynˆome ne peut pas avoir des
degr´es distincts, on d´emontre que si a0+a1z+··· +anzn= 0 pour tout z∈F,
alors a0=a1=··· =an= 0.
Remarque 2.3.Puisque R⊂C, tout polynˆome `a coefficients r´eels peut ˆetre vu
comme un polynˆome `a coefficients complexes. Autrement dit, P(R)⊂P(C).

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Voici les propri´et´es ´el´ementaires les plus importantes des racines de polynˆomes.
Les preuves se trouvent dans le Chapitre 4 du livre d’Axer.
Proposition 2.4. Soit p∈P(F).
(1) Si pest de degr´e n, alors pa au plus nracines distinctes dans F.
(2) Si F=R, alors un nombre complexe λest une racine de p(vu comme un
polynˆome `a coefficients complexes) seulement si ¯ λest aussi une racine de
p.
Sans savoir qu’il existe toujours des racines complexes de polynˆomes `a coeffi-
cients complexes, ce que nous garantit le th´eor`eme suivant, on ne pourrait pas faire
grand’chose. On dit que le corps Cest alg´ebriquement clos.
Th´eor`eme 2.5 (Le th´eor`eme fondamental de l’alg`ebre).Tout polynˆome noncon-
stant `a coefficients complexes admet au moins une racine complexe.
Remarque 2.6.L’´enonc´e ci-dessus est FAUX si le mot “complexe” est partout rem-
plac´e par le mot “r´eel.”
Un argument “par r´ecurrence” (une technique que nous employerons souvent!)
nous permet de d´emontrer le r´esultat suivant `a partir du Th´eor`eme fondamental
de l’alg`ebre.
Th´eor`eme 2.7 (Factorisation de polynˆomes complexes).Soit p∈P(C). Si pest
nonconstant, alors il existe des nombres complexes c, λ1, ..., λn, pas forc´ement tous
distincts, tels que
p(z) = c(z−λ1)(z−λ2)···(z−λn)
pour tout nombre complexe z. D’ailleurs, cette factorisation est unique `a ordre des
facteurs pr`es.
Nous terminons par une pr´esentation de ce que l’on peut dire dans le cas r´eel. Il
faut d’abord se souvenir de la formule quadratique pour les racines d’un polynˆome
de degr´e 2.
Proposition 2.8. Soit p(z) = a0+a1z+a2z2un polynˆome de degr´e 2 `a coefficients
dans C. Alors les racines de psont
−a1±pa2
1−4a0a2
2a2
.
En particulier, si p∈P2(R), alors ses racines sont r´eelles si et seulement si
a2
1−4a0a2≥0.
Le prochain th´eor`eme est analogue au Th´eor`eme 2.7, mais s’applique au cas r´eel.
Th´eor`eme 2.9 (Factorisation de polynˆomes r´eels).Soit p∈P(R). Si pest noncon-
stant, alors il existe des nombres r´eels c, λ1, ..., λm, α1, β1, ..., αl, βl, pas forc´ement
tous distincts, tels que
p(x) = c(x−λ1)(x−λ2)···(x−λm)(x2+α1x+β1)···(x2+αlx+βl)
pour tout nombre r´eel xet tels que α2
j<4βjpour tout j. D’ailleurs, cette factori-
sation est unique `a ordre des facteurs pr`es.