Exercices Suggérés sur les Techniques de preuve

Problèmes de Pratique-Techniques de preuve
1. Prouver que la somme d’un nombre rationnel et d’un nombre irrationnel est irrationnel en
faisant une preuve par contradiction.
2. Montrer que
√
3
3 est est irrationnel.
3. Soit x, y deux nombres réels. Montrer que max(x, y) + min(x, y) = x + y en faisant une preuve
cas par cas.
4. Soit a = b =
√
2. Montrer que l’un ou l’autre des deux nombres ab , (ab )b doit être rationnel.
5. Prouver qu’au moins un des nombres réels a1 , a2 , ..., an est plus grand ou égal à la moyenne
de ces nombres.
6. Montrer par contradiction que entre deux nombres rationnels ditincts, il existe une infinité de
nombres rationnels.
7. Utiliser une preuve indirecte pour montrer le résultat suivant: ”si 0 < a < 1, alors a > a2 .”
8. Utiliser une preuve indirecte pour montrer le résultat suivant: ∀n ∈ Z : ”si n5 + 7 est pair,
alors n est impair.”
9. Utiliser une preuve cas par cas pour montrer que |x + y| ≤ |x| + |y| pour tous les nombres réels
x, y.
10. Montrer que si 3 divise n2 où n ∈ N, alors 3 divise n.
11. Soit x, a, b trois entiers positifs. Donner une preuve indirecte du théorème suivant: Si x2 ne
divise pas a2 + b2 , alors x ne divise pas a ou x ne divise pas b.
12. Donner une preuve du théorème suivant: L’équation x3 + 3x + 5 = 0 n’admet aucune racine
rationnelle.
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