Exercices Suggérés sur les Techniques de preuve

Probl`emes de Pratique-Techniques de preuve
1. Prouver que la somme d’un nombre rationnel et d’un nombre irrationnel est irrationnel en
faisant une preuve par contradiction.
2. Montrer que 3
√3 est est irrationnel.
3. Soit x,ydeux nombres r´eels. Montrer que max(x, y)+min(x, y) = x+yen faisant une preuve
cas par cas.
4. Soit a=b=√2. Montrer que l’un ou l’autre des deux nombres ab, (ab)bdoit ˆetre rationnel.
5. Prouver qu’au moins un des nombres r´eels a1,a2, ..., anest plus grand ou ´egal `a la moyenne
de ces nombres.
6. Montrer par contradiction que entre deux nombres rationnels ditincts, il existe une infinit´e de
nombres rationnels.
7. Utiliser une preuve indirecte pour montrer le r´esultat suivant: ”si 0 < a < 1, alors a > a2.”
8. Utiliser une preuve indirecte pour montrer le r´esultat suivant: ∀n∈Z: ”si n5+ 7 est pair,
alors nest impair.”
9. Utiliser une preuve cas par cas pour montrer que |x+y| ≤ |x|+|y|pour tous les nombres r´eels
x,y.
10. Montrer que si 3 divise n2o`u n∈N, alors 3 divise n.
11. Soit x, a, b trois entiers positifs. Donner une preuve indirecte du th´eor`eme suivant: Si x2ne
divise pas a2+b2, alors xne divise pas aou xne divise pas b.
12. Donner une preuve du th´eor`eme suivant: L’´equation x3+ 3x+ 5 = 0 n’admet aucune racine
rationnelle.
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