TP6 (23/2)

6. Exercises TP6, le 23 février 2017
Exercice 6.1.Soit
F(0) = 0, F (1) = 1, F (2) = 1, F (3) = 2, F (4) = 3, F (5) = 5, F (6) = 8, . . .
la suite de Fibonacci.
Montrer pour chaque n∈N
n
X
i=0
F(i)2=F(n)F(n+ 1).
Par exemple pour n= 6:
02+ 12+ 12+ 22+ 32+ 52+ 82= 8 ·13.
Exercice 6.2.(i) Montrer par le principe de l’induction que
02−12+ 22−32−. . . + (−1)nn2= (−1)nn(n+ 1)/2
pour chaque n∈N.
(ii) Montrer sans induction, mais avec le principe du bon ordre, que
02−12+ 22−32−. . . + (−1)nn2= (−1)nn(n+ 1)/2
pour chaque n∈N.
Exercice 6.3.(i) Soit mun nombre naturel positif et nun entier. Montrer en utilisant le principe
du bon ordre qu’il existe un q∈Zet un r∈Ntel que 0≤r < m et n=qm +r.
[Indice: Considérer l’ensemble E⊂Ndes nombres a∈Nqu’on peut écrire comme
a=n−dm,
où d∈Z(et a≥0). En’est pas vide, parce que .... Alors Ea un minimum. Ce minimum est
entre 0et m−1(sinon ....). Puis conclure ....]
(ii) Soit a=qm +r∈Zavec 0≤r < m et b=q0m+r0∈Zavec 0≤r0< m, comme dans (i).
Montrer a≡mbsi et seulement si r=r0.
Exercice 6.4.(i) Soit a= 423 + 76·3553 + 17. Trouver un r∈ {−1,0,1}tel que
a≡3r.
(ii) Trouver un nombre naturel ntel que (simultanément) n≡21,n≡32et n≡53.
(iii) Montrer que si a, b, c, d sont des entiers tels que a|cet b|dalors ab|cd.
(iv) Montrer que si a, b, c sont des entiers tels que ac|bc et c6= 0 alors a|b.
Exercice 6.5.Soit
E:= {n∈N|n6= 0,∃r∈Z,∃s∈Z(n= 70r+ 495s)} ⊂ N
Cet ensemble n’est pas vide, alors a un unique minimum, disons m.
(i) Montrer que pour chaque a∈N,a > 0, aussi am ∈E.
(ii) Montrer que si n∈Eet n=qm +r,0≤r < m,q∈Zalors r= 0. C.-à-d., m|net en
particulier m|70 et m|495
(iii) Trouver ce minimum m.
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Exercice 6.6.Utiliser le principe du bon ordre pour montrer que √2n’est pas une fraction.
[Indice: Supposons par contre que √2est une fraction. Alors l’ensemble
E:= {n∈N| ∃ m∈Z:n=m√2}
n’est pas vide. Si n∈Ealors n(√2−1) ∈Eaussi, parce que .... Et cetera.]