Exercice N°3

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Série N°3
NIVEAU : 1ère année
Exercice N°1 :
Soit n un entier naturel
n1
IN.
n3
n  14
2°) Déterminer n pour que
IN.
n4
n  14
n1
3°) Déterminer n pour que
et
IN.
n4
n3
1°) Déterminer n pour que
Exercice N°2 :
Soit n un entier naturel.
3n  1
IN.
n4
2n  3
2°) Déterminer n pour que
IN.
n1
3n  1
2n  3
3°) Déterminer n pour que
et
IN.
n4
n1
1°) Déterminer n pour que
Exercice N°3 :
Trouver les entiers naturels n dans chacun des cas suivants
n5
a)
 IN.
n1
42
n
b)
et soit des entiers naturels.
n
7
Exercice N°4 :
On donne les entiers a = 2 3 57 2 et b = 3 2 5 2 7
1°) Montrer que a et b ne sont pas premiers entre eux.
2°) a) déterminer PGCD (a, b).
b) déterminer PPCM (a, b).
a
3°) Rendre la fraction rationnelle
irréductible.
b
a
4°) Est-ce que est-il décimal justifier votre réponse.
b
Exercice N°6 :
1°) Les nombres 200 et 360 sont-ils premiers entre eux ?
Justifier votre réponse sans faire de calcul.
2°) Calculer PGCD (200 ; 360) en utilisant l'algorithme d' Euclide.
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1
3°) a) Déterminer : la liste des diviseurs communs de 200 et 360.
b) Déterminer : le PPCM (200 ; 360).
c) En déduire l’écriture irréductible de la fraction
4°) Montrer que la fraction
360
200
360
représente un nombre décimal.
200
Exercice N°7 :
1°) a) Décomposer en produit de facteurs premiers l’entier naturel 120.
b) Déduire l’ensemble des diviseurs de 120.
2°) Soit a et b deux entiers tels que : a  120 ; PGCD(a , b)  6 et PPCM(a , b)  2520 .
Calculer alors b.
a
3°) On suppose que b  126 . Rendre la fraction irréductible.
b
2n  8
6
4°) a) Prouver que pour tout entier naturel n on a :
.
 2
n1
n1
b) Déduire l’ensemble des entiers naturels n tel que n  1 divise 2n  8 .
Exercice N°8 :
1°) a) Donner D28 .
28
soit un entier ?
n2
c) Vérifier que PGCD(a, b)  6 ; puis déterminer les entiers naturels n, pour que PGCD(a, b)  6 soit un
entier.
2°) Comment faut-il choisir les chiffres x et y pour que l’entier N  2 yx5 soit divisible à la fois par 25 et 3
(donner toutes les possibilités).
3°) Parmi les entier suivants lesquels qui par la division euclidienne par 8 donnent un reste égal à 1 :
7345 ; 58557 ; 65933 ; 42521.
b) Quels sont les entiers naturels n pour que
Exercice N°9 :
1°) a) Déterminer l’ensemble de diviseur de 50.
b) Trouver les couples des entiers naturels (a,b) tels que ab  50 et PGCD(a, b)  5 .
c) En déduire PPCM(a , b) .
2°) On pose a  23  57  311  17 et b  25  56  38  11 .
a) Déterminer PGCD(a , b)
b) Déterminer PPCM(a , b)
2n²  n
3°) Déterminer les entiers naturels n tel que
 IN .
4n  2
4°) Déterminer l’entier naturel n tel que : PGCD(3n  1,8)  4 et PPCM(3n  1,8)  62 .
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2
Exercice N°10 :
Soient a et b deux entiers naturels tels que a  b . Montrer que a²b²(a²  b²) est divisible par 3 et par 4.
(utiliser l'arbre de choix)
Exercice N°11 :
k et p sont deux entiers naturels non nuls Montrer les propositions suivantes :
1°) Si k est pair alors k2 est divisible par 4.
2°) Si k et p sont impairs alors (k  p)(k  p) est divisible par 4.
3°) Si k est impair alors 3k +1 est pair.
Exercice N°12 :
1°) Quel est le plus petit entier naturel x qui donne pour reste 1 quand on le divise par 2 ; par 3 et 5
2°) a) Soit n un entier naturel ; montrer que n (n + 1) est pair
b) Soit a un entier impair ; montrer que a2 + 1 est divisible par 8.
Exercice N°13 :
Au centre d’une place, on veut réaliser un
losange décoratif de longueur inconnue x , en
assemblant des carreaux en forme de
parallélogrammes comme l'indique le schéma
ci-contre. Les mesures de longueurs sont
exprimées en centimètres.
1°) Déterminer la valeur minimale x puis le nombre des carreaux disposés.
2°) Déterminer x dans les cas suivants :
a) On dispose 48 carreaux.
b) On dispose 108 carreaux.
3°) Sachant que l'on dispose au plus de 192.
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