Exercice N°3

1
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Soit n un entier naturel
1°) Déterminer n pour que
1
3
n
n
IN.
2°) Déterminer n pour que
14
4
n
n
IN.
3°) Déterminer n pour que
1
3
n
n
et
14
4
n
n
IN.
Soit n un entier naturel.
1°) Déterminer n pour que
31
4
n
n
IN.
2°) Déterminer n pour que
23
1
n
n
IN.
3°) Déterminer n pour que
31
4
n
n
et
23
1
n
n
IN.
Trouver les entiers naturels n dans chacun des cas suivants
a)
5
1
n
n
 IN.
b)
42
n
et
7
n
soit des entiers naturels.
On donne les entiers a = 2
3
57
2
et b = 3
2
5
2
7
1°) Montrer que a et b ne sont pas premiers entre eux.
2°) a) déterminer PGCD (a, b).
b) déterminer PPCM (a, b).
3°) Rendre la fraction rationnelle
a
b
irréductible.
4°) Est-ce que
a
b
est-il décimal justifier votre réponse.
1°) Les nombres 200 et 360 sont-ils premiers entre eux ?
Justifier votre réponse sans faire de calcul.
2°) Calculer PGCD (200 ; 360) en utilisant l'algorithme d' Euclide.
Activités numériques I
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Série N°3
NIVEAU : 1ère année
Exercice N°1 :
Exercice N°6 :
Exercice N°3 :
Exercice N°4 :
Exercice N°2 :

2
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3°) a) Déterminer : la liste des diviseurs communs de 200 et 360.
b) Déterminer : le PPCM (200 ; 360).
c) En déduire l’écriture irréductible de la fraction
360
200
4°) Montrer que la fraction
360
200
représente un nombre décimal.
1°) a) Décomposer en produit de facteurs premiers l’entier naturel 120.
b) Déduire l’ensemble des diviseurs de 120.
2°) Soit a et b deux entiers tels que :
120a
;
( , ) 6PGCD a b 
et
( , ) 2520PPCM a b 
.
Calculer alors b.
3°) On suppose que
126b
. Rendre la fraction
a
b
irréductible.
4°) a) Prouver que pour tout entier naturel n on a :
2 8 6
2
11
n
nn
.
b) Déduire l’ensemble des entiers naturels n tel que
1n
divise
28n
.
1°) a) Donner
28
D
.
b) Quels sont les entiers naturels n pour que
28
2n
soit un entier ?
c) Vérifier que
( , ) 6PGCD a b 
; puis déterminer les entiers naturels n, pour que
( , ) 6PGCD a b 
soit un
entier.
2°) Comment faut-il choisir les chiffres x et y pour que l’entier
25N yx
soit divisible à la fois par 25 et 3
(donner toutes les possibilités).
3°) Parmi les entier suivants lesquels qui par la division euclidienne par 8 donnent un reste égal à 1 :
7345 ; 58557 ; 65933 ; 42521.
1°) a) Déterminer l’ensemble de diviseur de 50.
b) Trouver les couples des entiers naturels (a,b) tels que
50ab 
et
( , ) 5PGCD a b 
.
c) En déduire
( , )PPCM a b
.
2°) On pose
3 7 11
2 5 3 17a   
et
5 6 8
2 5 3 11b   
.
a) Déterminer
( , )PGCD a b
b) Déterminer
( , )PPCM a b
3°) Déterminer les entiers naturels n tel que
2²
42
nn
IN
n
.
4°) Déterminer l’entier naturel n tel que :
(3 1,8) 4PGCD n 
et
(3 1,8) 62PPCM n
.
Exercice N°9 :
Exercice N°7 :
Exercice N°8 :

3
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Soient a et b deux entiers naturels tels que
ab
. Montrer que
² ²( ² ²)a b a b
est divisible par 3 et par 4.
(utiliser l'arbre de choix)
k et p sont deux entiers naturels non nuls Montrer les propositions suivantes :
1°) Si k est pair alors k2 est divisible par 4.
2°) Si k et p sont impairs alors
( )( )k p k p
est divisible par 4.
3°) Si k est impair alors 3k +1 est pair.
1°) Quel est le plus petit entier naturel x qui donne pour reste 1 quand on le divise par 2 ; par 3 et 5
2°) a) Soit n un entier naturel ; montrer que n (n + 1) est pair
b) Soit a un entier impair ; montrer que a2 + 1 est divisible par 8.
Au centre d’une place, on veut réaliser un
losange décoratif de longueur inconnue x , en
assemblant des carreaux en forme de
parallélogrammes comme l'indique le schéma
ci-contre. Les mesures de longueurs sont
exprimées en centimètres.
1°) Déterminer la valeur minimale x puis le nombre des carreaux disposés.
2°) Déterminer x dans les cas suivants :
a) On dispose 48 carreaux.
b) On dispose 108 carreaux.
3°) Sachant que l'on dispose au plus de 192.
Exercice N°10 :
Exercice N°11 :
Exercice N°13 :
Exercice N°12 :