Thème 17 – Fonctions trigonométriques

Section européenne Fonction 6
Thème 17 – Fonctions trigonométriques
À la fin de ce chapitre, vous devez être capable de :
•Connaître les valeurs des sinus et cosinus des angles de 0o, 30o, 45o, 60o,
90o.
•La notion de radian n’est pas exigible.
17.1 Un vélodrome est une piste circulaire pour les coureurs cyclistes. On y circule en
partant de A et dans le sens indiqué par la flèche. On choisit comme unité de longueur le
rayon de la piste donc le rayon vaut r= 1.
O
A
× ×
1.Roger a parcouru la moitié de la piste ; il est arrivé en C:
a.Placer C.
b.Quelle est la valeur exacte de la longueur de l’arc AC ?
c.A quelle mesure d’angle (en degrés) correspond ce parcours ?
2.Roger a parcouru les 3
4de la piste. Il est arrivé en D.
a.Placer D.
b.Quelle est la valeur exacte de la longueur de l’arc AD correspondant à ce
parcours ?
c.A quelle mesure d’angle (en degrés) correspond ce parcours ?
3.Roger a parcouru un arc de longueur π
2.
a.Placer son point d’arrivée B.
b.A quelle mesure d’angle correspond ce parcours ?

Définition 1 radian
On considère un cercle de centre Oet de rayon 1.
On choisit sur ce cercle un point Aorigine.
On peut alors définir une nouvelle unité de mesure d’angle appelée radian (abrévi-
ation rad).
Métant un point du cercle, dans cette unité, la mesure de l’angle \ AOM est égale à
la longueur de l’arc AM .
17.2 Graduations principales
Le but de cet exercice est de placer les mesures principales connues en radian. On placera
les points sur un cercle identique au précédent.
1.a.Comment trace-t-on au compas la moitié d’un angle ?
b.En remarquant que π
4est la moitié de . . .. . ., placer sur le cercle le point M4de
graduation π
4.
2.a.
π
3=2π ... donc pour placer π 3, il suffit de partager le cercle en ... parties égales.
b.Placer sur le cercle le point M3de graduation π
3.
3.En remarquant que π
6est la moitié de . . .. . ., placer sur le cercle le point M6de
graduation π
6.
4.En remarquant que 3π
4= 3 ×π 4, placer la graduation 3π 4.
5.Placer de même les graduations 5π
3,7π 6.
17.3 Angles orientés
1.Sur le cercle précédent, on a placé un point M3vérifiant
\
OAM3=π
3rad.
Sur ce même cercle, placer un point M′
3, distinct de M3tel que
\
OAM ′
3=π
3rad.
Définition 2 Sens direct-Positif-Trigonométrique
On appelle sens positif ou sens direct ou sens trigonométrique, le sens inverse des
aiguilles d’une montre (sens giratoire).
Définition 3 angle orientés
Pour distinguer les deux points M3et M′
3correspondants à un même angle
géométrique, on utilisera les notations suivantes :
•(−−−→ OA;−−−−−−→ OM3)au lieu de \ OAM3et puisque pour passer de −−−→ OA à−−−−−−→ OM3, on a un angle
de π
3en tournant dans le sens trigonométrique, on écrira (−−−→
OA;−−−−−−→ OM3) = +π
3rad,
•(−−−→ OA;
−−−−−−→
OM ′
3)au lieu de \
OAM ′
3et puisque pour passer de −−−→
OA à−−−−−−→ OM ′
3, on a un angle
de −π
3en tournant dans le sens trigonométrique, on écrira (−−−→
OA;
−−−−−−→
OM ′
3) = −π
3rad,
Les angles (−−−→ OA;−−−−−−→ OM3)et (−−−→ OA;
−−−−−−→
OM ′
3)sont appelés angles orientés.
2.Placer sur le cercle précédent les points E,F,Get Htels que :
2

a.(−−−−−→ OA;−−−−−→ OE) = −π
4
b.(−−−−−→ OA;−−−−−→ OF ) = −π
6
c.(−−−−−→ OA;−−−−−→ OG) = −5π
6
d.(−−−−−→ OA;−−−−−−→ OH) = −7π
3
17.4 Tracer un cercle trigonométrique.
1.En noir, placer dessus à l’aide du compas, les points correspondant au angle de
mesure π
4,π 6,π 3,π 2et π.
2.En rouge, placer les points de mesure 2π
3,7π 4,5π 6.
3.En vert, placer les points de mesure −π
3,11π 4,−13π 6.
17.5 On considère le cercle trigonométrique ci-dessous :
O A
B
C
D
F
E
G
H
I
L
K
J
1.Justifier que la mesure d’un secteur est de π
6radian.
2.Parmi les égalités suivantes, indiquer celles qui sont
vraies et corriger les autres.
a.(−−−−−→ OC;−−−−−→ OB) = −π
6
b.(−−−−−→ OA;−−−−−→ OD) = −3π
2
c.(−−−−→ OL;−−−−−→ OD) = 4π
3
d.(−−−−−→ OA;−−−−−−→ OH) = 7π
6
e.(−−−−−→ OG;−−−−−−→ OK) = −2π
3
f.(−−−−−→ OB;−−−−−−→ OK) = π
2
g.(−−−−−→ OA;−−−−−−→ OH) = −5π
6
17.6 Soit Cun cercle de centre Aet Bun point de ce cercle.
1.Construire les points C,D,E, et Fdu cercle Ctels que :
(−−−−−→ AB;−−−−−→ AC) = π
3; (−−−−−→
AB;−−−−−→ AD) = 3π
4; (−−−−−→
AB;−−−−−→ AE) = 7π
6; (−−−−−→
AB;−−−−→ AF ) = −3π
4
2.Déterminer une mesure de chacun des angles suivants :
(−−−−−→ AC;−−−−−→ AE) ; (−−−−−→ AD;−−−−→ AF ) ; (−−−−−→ AE;−−−−−→ AB) ; (−−−−→ AF ;−−−−−→ AC) ; (−−−−→ AF ;−−−−−→ AE)
17.7 ABCD est un carré. ABJ et CBK sont deux triangles équilatéraux tels que Jest
à l’intérieur du carré et Kà l’extérieur.
AB
C
D
JK
Donner une mesure en radian de chacun des angles orientés
suivants :
1.(−−−−−→ AB;−−−−→ AJ)
2.(−−−−−→ DC;−−−−−→ DA)
3.(−−−−−−→ KB;−−−−−−→ KC)
4.(−−−−−→ BC;−−−−→ BJ )
5.(−−−−→ JD;−−−−→ JA)
17.8 Plusieurs mesures pour un même angle, mesure principale.
1.Sur un cercle trigonométrique, placer les graduations multiples de π
6.
3

2.Placer le point Mtel que l’angle (−−−−−→ OA;−−−−−−−→ OM ) mesure 17π
6rad.
3.Quelle autre mesure, en radians, aurait-on pu donner pour cet angle ?
4.Donner encore quatre mesures différentes de cet angle (toujours en radians) :
•deux positives.
•deux négatives.
5.Combien existe-t-il de mesures différentes de cet angle ?
6.Parmi toutes les mesures possibles, donner celle qui correspond à l’arc le plus court.
Cette mesure est dite mesure principale de l’angle (−−−−−→ OA;−−−−−−−→ OM ).
7.Donner les mesures principales de chacun des angles suivants :
23π
6;23π 3;−23π 4;−23π 2;15π 4;−79π 6;33π 8;17π 6
Fonctions trigonométriques
17.9 Cosinus et sinus des angles associés.
1.a.Placer sur un cercle trigonométrique les points de mesures 5π
3;2π 3et 4π 3.
b.En déduire les valeurs exactes de cos(5π
3), cos(2π 3), cos(4π 3), sin(5π 3), sin(2π 3) et
sin(4π
3).
2.a.Placer sur un cercle trigonométrique les points de mesures 5π
6;−π 6et 7π 6.
b.En déduire les valeurs exactes de cos(5π
6), cos(−π 6), cos(7π 6), sin(5π 6), sin(−π 6) et
sin(7π
6).
3.a.Placer sur un cercle trigonométrique les points de mesures 3π
4;5π 4et 7π 4.
b.En déduire les valeurs exactes de cos(3π
4), cos(5π 4), cos(7π 4), sin(3π 4), sin(5π 4),
sin(7π
4), tan(3π 4), tan(5π 4) et tan(7π 4).
17.10 Simplifier le plus possible :
1.A= cos(−π) + cos(−3π
4) + cos(−
π
2) + cos(−
π
4)
2.B= cos(0) + cos(π
4) + cos(π 2) + cos(3π 4) + cos(π)
3.C= sin(π
6) + sin(π 3) + sin(π 2) + sin(2π 3) + sin(5π 6) + sin(π)
17.11 On considère l’équation cos(x) = 1
2.
1.a.Dans un repère orthonormée, tracer un cercle trigonométrique et la droite
d’équation x=1
2.
b.En déduire les solutions de l’équation cos(x) = 1
2.
2.En s’inspirant de la démarche effectuée à la question précédente, résoudre, à l’aide
d’un cercle trigonométrique chacune des équations suivantes :
4

a.cos(x) = −√3
2
b.sin(x) = 1
2
c.sin(x) = √2
2
d.cos(x) = −√2
2
5