Thème 17 – Fonctions trigonométriques

Section européenne
Fonction 6
Thème 17 – Fonctions trigonométriques
À la fin de ce chapitre, vous devez être capable de :
• Connaître les valeurs des sinus et cosinus des angles de 0o , 30o , 45o , 60o ,
90o .
• La notion de radian n’est pas exigible.
17.1 Un vélodrome est une piste circulaire pour les coureurs cyclistes. On y circule en
partant de A et dans le sens indiqué par la flèche. On choisit comme unité de longueur le
rayon de la piste donc le rayon vaut r = 1.
O
×
×
A
1. Roger a parcouru la moitié de la piste ; il est arrivé en C :
a. Placer C.
b. Quelle est la valeur exacte de la longueur de l’arc AC ?
c. A quelle mesure d’angle (en degrés) correspond ce parcours ?
2. Roger a parcouru les
3
4
de la piste. Il est arrivé en D.
a. Placer D.
b. Quelle est la valeur exacte de la longueur de l’arc AD correspondant à ce
parcours ?
c. A quelle mesure d’angle (en degrés) correspond ce parcours ?
3. Roger a parcouru un arc de longueur π2 .
a. Placer son point d’arrivée B.
b. A quelle mesure d’angle correspond ce parcours ?
Définition 1 radian
On considère un cercle de centre O et de rayon 1.
On choisit sur ce cercle un point A origine.
On peut alors définir une nouvelle unité de mesure d’angle appelée radian (abréviation rad).
\ est égale à
M étant un point du cercle, dans cette unité, la mesure de l’angle AOM
la longueur de l’arc AM .
17.2 Graduations principales
Le but de cet exercice est de placer les mesures principales connues en radian. On placera
les points sur un cercle identique au précédent.
1.
a. Comment trace-t-on au compas la moitié d’un angle ?
b. En remarquant que
graduation π4 .
2.
a.
=
π
3
2π
...
π
4
est la moitié de . . .. . ., placer sur le cercle le point M4 de
donc pour placer π3 , il suffit de partager le cercle en . . . parties égales.
b. Placer sur le cercle le point M3 de graduation π3 .
3. En remarquant que
graduation π6 .
π
6
4. En remarquant que
3π
4
est la moitié de . . .. . ., placer sur le cercle le point M6 de
= 3 × π4 , placer la graduation
5. Placer de même les graduations
3π
.
4
5π 7π
, 6.
3
17.3 Angles orientés
\3 = π rad.
1. Sur le cercle précédent, on a placé un point M3 vérifiant OAM
3
\3′ =
Sur ce même cercle, placer un point M ′ , distinct de M3 tel que OAM
3
π
3
rad.
Définition 2 Sens direct-Positif-Trigonométrique
On appelle sens positif ou sens direct ou sens trigonométrique, le sens inverse des
aiguilles d’une montre (sens giratoire).
Définition 3 angle orientés
Pour distinguer les deux points M3 et M3′ correspondants à un même angle
géométrique, on utilisera les notations suivantes :
−
−
−→ −
−
−
−
−
−→
−
−
−→
−
−
−
−
−
−→
\3 et puisque pour passer de OA à OM3 , on a un angle
• (OA; OM3 ) au lieu de OAM
−
−
−→ −
−
−
−
−
−→
de π3 en tournant dans le sens trigonométrique, on écrira (OA; OM3 ) = + π3 rad,
−
−
−
−
−→
−
−
−
−
−
−→
−
−
−→ −
−
−→
\′ et puisque pour passer de −
• (OA; OM ′ ) au lieu de OAM
OA à OM ′ , on a un angle
3
de
− π3
3
en tournant dans le sens trigonométrique, on écrira
Les angles
−
−
−→ −
−
−
−
−
−→
(OA; OM3 )
et
−
−
−
−
−→
−
−
−→ −
(OA; OM3′ )
3
−
−
−
−
−→
−
−
−→ −
(OA; OM3′ )
sont appelés angles orientés.
2. Placer sur le cercle précédent les points E, F , G et H tels que :
2
= − π3 rad,
−π
4
−
−
−
−
−
→ −
−
−
−
−
→
−π
b. (OA; OF ) =
6
−5π
6
−
−
−
−
−
→ −
−
−
−
−
−
→
−7π
d. (OA; OH) =
3
−
−
−
−
−
→ −
−
−
−
−
→
−
−
−
−
−
→ −
−
−
−
−
→
a. (OA; OE) =
c. (OA; OG) =
17.4 Tracer un cercle trigonométrique.
1. En noir, placer dessus à l’aide du compas, les points correspondant au angle de
π π π π
mesure , , , et π.
4 6 3 2
2π 7π 5π
2. En rouge, placer les points de mesure
,
, .
3 4 6
−π 11π −13π
,
,
.
3. En vert, placer les points de mesure
3
4
6
17.5 On considère le cercle trigonométrique ci-dessous :
E
D
π
radian.
6
2. Parmi les égalités suivantes, indiquer celles qui sont
vraies et corriger les autres.
1. Justifier que la mesure d’un secteur est de
C
F
B
G
O
A
H
L
I
J
K
−π
6
−
−
−
−
−
→ −
−
−
−
−→
−3π
b. (OA; OD) =
2
−
−
−
−→ −
−
−
−
−→
4π
c. (OL; OD) =
3
−
−
−
−
−
→ −
−
−
−
−
−
→
7π
d. (OA; OH) =
6
−
−
−
−
−
→ −
−
−
−
−→
a. (OC; OB) =
−
−
−
−
−
→ −
−
−
−
−
−
→
−2π
3
−
−
−
−
−→ −
−
−
−
−
−
→
π
2
−
−
−
−
−
→ −
−
−
−
−
−
→
−5π
6
e. (OG; OK) =
f. (OB; OK) =
g. (OA; OH) =
17.6 Soit C un cercle de centre A et B un point de ce cercle.
1. Construire les points C, D, E, et F du cercle C tels que :
−
−
−
−
−
→ −
−
−
−
−
→
(AB; AC) =
π
3
;
−
−
−
−
−
→ −
−
−
−
−→
(AB; AD) =
3π
4
;
−
−
−
−
−
→ −
−
−
−
−
→
(AB; AE) =
7π
6
;
−
−
−
−
−
→ −
−
−
−→
(AB; AF ) =
−3π
4
2. Déterminer une mesure de chacun des angles suivants :
−
−
−
−
−
→ −
−
−
−
−
→
(AC; AE) ;
−
−
−
−
−→ −
−
−
−→
(AD; AF ) ;
−
−
−
−
−
→ −
−
−
−
−
→
(AE; AB) ;
−
−
−
−→ −
−
−
−
−
→
(AF ; AC) ;
−
−
−
−→ −
−
−
−
−
→
(AF ; AE)
17.7 ABCD est un carré. ABJ et CBK sont deux triangles équilatéraux tels que J est
à l’intérieur du carré et K à l’extérieur.
K
J
A
Donner une mesure en radian de chacun des angles orientés
suivants :
C
D
−
−
−
−
−
→ −
−
−
−
→
3. (KB; KC)
−
−
−
−
−
−
→ −
−
−
−
−
−
→
−
−
−
−
−→ −
−
−
−
−→
4. (BC; BJ)
1. (AB; AJ)
2. (DC; DA)
−
−
−
−
−→ −
−
−
−→
B
17.8 Plusieurs mesures pour un même angle, mesure principale.
1. Sur un cercle trigonométrique, placer les graduations multiples de π6 .
3
−
−
−
−→ −
−
−
−
→
5. (JD; JA)
−
−
−
−
−
→ −
−
−
−
−
−
−
→
2. Placer le point M tel que l’angle (OA; OM) mesure
17π
6
rad.
3. Quelle autre mesure, en radians, aurait-on pu donner pour cet angle ?
4. Donner encore quatre mesures différentes de cet angle (toujours en radians) :
• deux positives.
• deux négatives.
5. Combien existe-t-il de mesures différentes de cet angle ?
6. Parmi toutes les mesures possibles, donner celle qui correspond à l’arc le plus court.
−
−
−
−
−
→ −
−
−
−
−
−
−
→
Cette mesure est dite mesure principale de l’angle (OA; OM).
7. Donner les mesures principales de chacun des angles suivants :
23π
6
;
23π
3
;
−23π
4
;
−23π
2
;
15π
4
;
−79π
6
33π
8
;
;
17π
6
Fonctions trigonométriques
17.9 Cosinus et sinus des angles associés.
1.
a. Placer sur un cercle trigonométrique les points de mesures
b. En déduire les valeurs exactes de cos( 5π
), cos( 2π
), cos( 4π
),
3
3
3
4π
sin( 3 ).
2.
a. Placer sur un cercle trigonométrique les points de mesures
), cos( −π
), cos( 7π
),
b. En déduire les valeurs exactes de cos( 5π
6
6
6
7π
sin( 6 ).
3.
a. Placer sur un cercle trigonométrique les points de mesures
2π
et 4π
.
3
3
sin( 5π
), sin( 2π
)
3
3
et
−π
et 7π
.
6
6
sin( 5π
), sin( −π
)
6
6
et
5π
3
5π
6
3π
4
;
;
;
5π
4
et
7π
.
4
), cos( 5π
), cos( 7π
), sin( 3π
), sin( 5π
),
b. En déduire les valeurs exactes de cos( 3π
4
4
4
4
4
3π
5π
7π
sin( 7π
),
tan(
),
tan(
)
et
tan(
).
4
4
4
4
17.10 Simplifier le plus possible :
3π
π
π
1. A = cos(−π) + cos(− ) + cos(− ) + cos(− )
4
2
4
π
π
3π
2. B = cos(0) + cos( ) + cos( ) + cos( ) + cos(π)
4
2
4
π
π
2π
5π
π
3. C = sin( ) + sin( ) + sin( ) + sin( ) + sin( ) + sin(π)
6
3
2
3
6
1
17.11 On considère l’équation cos(x) = .
2
1. a. Dans un repère orthonormée, tracer un cercle trigonométrique et la droite
1
d’équation x = .
2
1
b. En déduire les solutions de l’équation cos(x) = .
2
2. En s’inspirant de la démarche effectuée à la question précédente, résoudre, à l’aide
d’un cercle trigonométrique chacune des équations suivantes :
4
√
− 3
a. cos(x) =
2
1
b. sin(x) =
2
√
2
2
√
− 2
d. cos(x) =
2
c. sin(x) =
5