series exos matrices id rt1

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Exercice 1 Soient
M=(1 3 0
2 4 1 ), N =
−23
2
1−1
2
0 0
Montrer que MN =I2et que NM ̸=I3.
Exercice 2 Soit Aet Bdeux matrices quelconques de M2(R).
– On suppose que
A=(1 1
0 1 ), B =(1 0 1 1 )
comparer (A+B)2et A2+ 2AB +B2.
– En d´eduire sous quelle condition on a : (A+B)2=A2+ 2AB +B2en g´en´eral.
Exercice 3 Soit
A=
−1 1 1
1−1 1
1 1 −1
1. Calculer le d´eterminant de A. La matrice Aest elle inversible ?
2. Montrer que
A2= 2I3+A(1)
3. R´esoudre le syst`eme lin´eaire
AX =B
avec X=
x
y
z
et B=
1
2
3
.
Indication : On peut utiliser la formule (1) pour le calcul de A−1.
4. Retrouver A−1en utilisant le pivot de Gauss.
Exercice 4
– Calculer l’inverse des matrices suivantes
A=(1 1
0 1 ), B =(cos θ−sin θ sin θcos θ)
o`u θ∈[0,π] est un r´eel fix´e.
– Soit
D=(1−1
2 4 )
calculer D2−5D+ 6I2. En d´eduire D−1.
Exercice 5 Soit Aune matrice de taille n×n. On appelle matrice de cofacteurs de A, ou
comatrice de A, la matrice comA, de terme g´en´eral :
comAi,j =ci,j
o`u ci,j est le cofacteur (i,j) de A. On admet que si det(A)̸= 0, alors l’inverse est donn´ee par
A−1=1
det(A)
tcomA
Soit
A=(1−1
2−4)
Dr. Moctar Salem Ould Mohamed Ann´ee 2011/2012 ISCAE de Nouakchott

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1. Calculer comAet det(A).
2. Calculer A−1.
Exercice 6 Soit Mune matrice de Mn(R), c’est `a dire une matrice de taille n×n. On appelle
trace de Mle nombre r´eel :
T r(M) =
n
∑
i=1
mi,i =m1,1+m2,2+m3,3+···+mn,n.
Soit
A=(1−1
2−4), B =(3−11 1 2 )
1. Calculer T r(A) et T r(B).
2. Calculer T r(AB) et T r(BA).
3. On supose que Aet Bsont deux matrices quelconques de M2(R). Montrez que
T r(AB) = T r(BA)
4. Soit M=(2 1
−1 0 ), calculer M2−T r(M)M+ det(M)I2. En d´eduire M−1.
5. On pose P(X) = X2−2X+ 1. R´esoudre l’´equation P(X) = 0. Trouver un vecteur v∈R2
non nul tel que Mv =v.
Exercice 7 Soit
A=
1 1 1 1
2 4 2 1
1−1 1 1
−2−4 2 −1
, B =
−2 1 9 1
7 3 2 13
8 0 17 1
4 3 11 −1
, C =
9 11 5 21
6 5 −4−3
−3 3 1 −1
5 1 5 6
.
1. Calculer det(A),det(B),det(C).
2. Calculer A−1.
Exercice 8 Soit
A=
−1−2−4
−1−3−9
−1 1 −1
, X =
x
y
z
et B=
1
−2
1
1. Calculer det(A). La matrice Aest-elle inversible ?
2. Calculer l’inverse de A.
3. R´esoudre le syst`eme AX =B.
Exercice 9 Soit A∈ M2(R). On suppose que Acommute avec toutes les matrices de M2(R).
Cela veut dire que
∀B∈ M2(R) : AB =BA
Montrer que Aest de la forme A=λI2avec λ∈R.
Exercice 10 Soient aet bdes r´eels non nuls et A=(a b
0a). Trouver toutes les matrices
B∈M2(R) qui commutent avec A, c’est-`a-dire telles que AB =BA.
Exercice 11 Soient (an), (bn) et (cn) trois suites r´eelles telles que a0= 1, b0= 2, c0 = 7, et
v´erifant les relations de r´ecurrence :
an+1 = 3an+bn
bn+1 = 3bn+cn
cn+1 = 3cn
On souhaite exprimer an,bn, et cnuniquement en fonction de n.
Dr. Moctar Salem Ould Mohamed Ann´ee 2011/2012 ISCAE de Nouakchott

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1. On consid`ere le vecteur colonne Xn=
an
bn
cn
. Trouver une matrice Atelle que Xn+1 =
AXn. En d´eduire que Xn=AnX0.
2. Soit N=
010
001
000
. Calculer N2, N3et Nppour p≥3.
3. En ´ecrivant Acomme somme de deux matrices, montrer que
An= 3nI3+ 3n−1nN + 3n−2n(n−1)
2N2
4. En d´eduire an,bn, et cnen fonction de n.
Exercice 12 On consid`ere les matrices `a coefficients r´eels Pet Qd´efinies par :
P=
1 1 1
1 1 1
1 1 1
, Q =1
4(I3+P).
1. Calculer P2, P Q et QP en fonction de P.
2. Calculer les produits (4I3−P)Qet Q(4I3−P). Qu’en concluez-vous pour la matrice Q ?
3. Montrer, par r´ecurrence, que pour tout entier naturel n∈N, il existe des r´eels anet bntels
que :
Qn=anI3+bnP
Les suites (an) et (bn) v´erifiant les relations de r´ecurrence :
{an+1 =1
4an
bn+1 =1
4an+bn
avec a0= 1 et b0= 0.
4. En d´eduire anen fonction de n.
5. Justifier que pour tout entier nnon nul on a
n−1
∑
k=0
(bk+1 −bk) = bn.
6. En d´eduire que pour tout entier non a
bn=1
3(1 −1 4n)
7. Donner alors l’expression, sous forme matricielle, de Qnen fonction de l’entier n.
8. On consdi`ere les suites
xn+1 =1
4(2xn+yn+zn)
yn+1 =1
4(xn+ 2yn+zn)
zn+1 =1
4(xn+yn+ 2zn)
, avec x0= 1, y0=z0= 0 et on pose Un=
xn
yn
zn
(a) D´eterminer U0et U1et v´erifier que pour tout n∈Non a
Un+1 =QUn,puis queUn=QnU0
(b) En d´eduire l’´ecriture de : xn,yn,znen fonction de npuis leur limite lorsque ntend vers
plus l’infini.
Dr. Moctar Salem Ould Mohamed Ann´ee 2011/2012 ISCAE de Nouakchott