TP2 : Matlab, simulation de variables aléatoires.

L3 Info, Probabilités-Statistiques et Applications
TP, Feuille N° 2
Exercice 1.
(1) Ecrire une fonction Matlab rndbern(ft, p) pour créer une matrice de nombres aléatoires
indépendants de loi de Bernoulli de paramètre
p
Î
[
,
]
0
1
. ft est le format de la matrice.
(2) Ecrire une fonction rndbino(ft,n,p) pour simuler un échantillon de loi binomiale de
paramètre
p
Î
[
,
]
0
1
. ft est le format de l’échantillon.
(3) Ecrire une fonction rndselect(ft,P) qui construit une matrice, de format ft, de nombres
aléatoires tirés suivant la loi sur { , ,..., }12 kdéfinie par le vecteur P P P P k
=
[ ( ), ( ),..., ( )]1 2 .
(4) Considérons
P
=
[
.
.
.
.
]
0
1
0
2
0
3
0
4
, on calcule X=randselect(P,n) pour n=10, 100, 1000.
Expliquer le comportement du résultat de la commande hist(X,1 :4) pour les différentes
valeurs de n.
Exercice 2.
(1) En utilisant la méthode d’inversion de la fonction de répartition, écrire une fonction
rndexp(ft,lambda) simulant un échantillon de loi exponentielle de paramètre
l
. ft est le
format de l’échantillon.
(2) Ecrire une fonction rndcauchy(ft,a,b) pour simuler un échantillon de loi de Cauchy de
paramètre (a,b).
(3) Créer un échantillon X de taille n=1000 de loi
N
(
,
)
2
6
, puis observer l’affichage des
commandes plot(cumsum(X)./(1:N)) et plot(cumsum(X)./sqrt((1 :N))). Expliquer le
résultat d’affichage. Refaire l’expérience avec un échantillon de loi exponentielle.
(4) Refaire l’expérience précédente avec un échantillon de loi de Cauchy de paramètre (0,1).
Expliquer le résultat.
Exercice 3.
(1) Soit ( )Xi i³1 une suite de variables aléatoires indépendantes de loi exponentielle de
paramètre
l
, et Y n X X X X
nn n
=+ + £ < + +
³
+
å
11 1 1
1
1
L L . Vérifier que
Y
suit la loi de Poisson de
paramètre
l
. Soit Z n Ui
i
n
= ³ -
=
Õ
max : exp( ){ }
1
l
, où Uisont des v.a. iid de loi uniforme
sur [0,1], en déduire que
Z
suit la loi de Poisson de paramètre
l
.
(2) Programmer une fonction poiss(lambda) qui simule une variable aléatoire de loi de
Poisson de paramètre
l
. Ecrire une fonction rndpoiss(ft,lambda) pour simuler un
échantillon de loi de Poisson de paramètre
l
.
(3) Afficher l’histogramme d’un échantillon X de taille n=500 de loi de Poisson de paramètre
l
.