ESH – TD Python Loi(s) Géométrique(s)

ESH – TD Python
Loi(s) Géométrique(s)
Exercice 1
1. Ecrire une fonction SimulLoiGeometrique() prenant en paramètre un nombre 0 ≤ p ≤ 1 et qui
retourne le rang d'apparition du 1er succès.
2. Ecrire une fonction FreqGeom(N,p) qui simule la succession de N lois géométriques de paramètre p,
qui calcule la fréquence d’apparition des différents résultats obtenus que l’on stockera dans une liste
que la fonction retournera.
Difficulté : la liste est d'une longueur inconnue. Il faut donc la construire au fur et à mesure.
3. Tracer l’histogramme de la loi géométrique de paramètre p = 0.3.
4. Tracer la fonction de répartition de la loi géométrique de paramètre p = 0.3.
5. Ecrire une fonction moyenne_geom(N,p) qui retourne la moyenne de N occurrences de la loi
géométrique de paramètre p. Tracer la courbe donnant moyenne_geom(N,p) en fonction de N
pour N variant de 1 à 1000.
Exercice 2
On appelle loi binomiale négative de paramètres n et p, le nombre d'échecs survenus avant le n-ième
succès lors d'une succession d'épreuves de Bernoulli de paramètre p. On considère que X suit une loi
binomiale négative de paramètres n et p.
1. Déterminer la loi de X.
2. On définit les variables aléatoires
Yi
de la manière suivante :
pour i ≥ 1,
Yi
est le nombre d'échecs survenus entre le i-ème et le (i+1)-ième succès.
Y0
est le nombre d'échecs survenus avant le 1er succès.
Exprimer X en fonction des
Yi
.
On admet que E(
Yi
) =
1−p
p
. En déduire E(X).
3. Vérifier ce résultat en Python, comme dans l'exercice 1.5.
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