UNIVERSITÉ DE BRETAGNE-SUD

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ENSIBS : Modélisation Aléatoire
Travaux dirigés 1
Exercice 1 – Soit Xune variable aléatoire positive de loi de densité f.
Montrer que :
E(X)=Z+∞
0P(X>x)dx.
Exercice 2 – Soit Xet Y, deux variables aléatoires indépendantes. On suppose que Xsuit une
loi exponentielle de paramètre λet que Yest de loi quelconque de densité fY.
1. Montrer que : P(X>Y)=E[e−λY].
2. En déduire que la loi de X−Ysachant que X>Yest une loi exponentielle de paramètre λ.
Exercice 3 – Le produit de convolution de deux fonctions réelles fet gest défini par :
(f∗g)(x)=Z+∞
−∞
f(x−y)g(y)d y =Z+∞
−∞
f(y)g(y−x)dx.
Soit X1et X2deux variables aléatoires indépendantes de loi de densité respective f1et f2. Mon-
trer que la densité de la loi de S=X1+X2est le produit de convolution de f1et f2.
Exercice 4 – Soient Xet Ydeux variables aléatoires indépendantes de loi de Poisson de para-
mètre respectif λ1,λ2.
1. Montrer que X+Yest une loi de Poisson dont on déterminera le paramètre.
2. Montrer que la loi conditionnelle de Xsachant X+Yest binomiale.
Exercice 5 – Soit X1,X2,···,Xnnvariables aléatoires indépendantes de loi de Poisson de para-
mètre λ. Quelle est la loi de Y=X1+ · · · + Xn?
Exercice 6 – Le nombre Xd’électrons émis par un corps radioactif durant une période donnée
suit une loi de Poisson de paramètre λ:
P(X=n)=λn
n!e−λ,n∈N,λ>0
Chacun des électrons, indépendamment des autres, a une probabilité pd’avoir un effet biologique
(0 <p<1). On note Zle nombre d’électrons ayant un effet biologique, émis par l’élément radioactif
(durant la période donnée).
1. Quelle est la probabilité que, parmi nélectrons émis durant la période donnée, kaient un
effet biologique ; autrement dit, quelle est l’expression de P(Z=k|X=n) ?
2. En déduire la loi de Z.
Exercice 7 – Soit Yune v.a. de loi de Poisson de paramètre λ>0 et Xune v.a. telle que la loi de
Xconditionnée par {Y=y}est binomiale de paramètre (y,p) avec 0 <p<1.
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Modélisation Aléatoire – TD 1 ENSIBS
1. Montrer que la loi de Xest une loi de Poisson de paramètre λ.p.
2. Montrer que la loi de Y−Xest une loi de Poisson de paramètre λ(1−p).
3. Les v.a. Xet Y−Xsont-elles indépendantes ?
Exercice 8 – Soit X, une variables aléatoire de loi géométrique de paramètre pdéfinie par :
P(X=x)=(1−p)x.p,0<p<1,x∈N.
1. Calculer l’espérance mathématqiue de X. Retrouver ce résultat en calculant la fonction
génératrice des moments de X.
2. Soit Y, une seconde variable aléatoire de loi géométrique de paramètre pindépendante de
X. Calculer la fonction génératrice des moments de X+Y.
3. Soit Zune variable aléatoire de loi binomiale négative de paramètre (n,θ) :
P(Z=z)=Cz
n+z−1θn(1−θ)z,z∈N,0<θ<1.
Montrer que la fonction génératrice de Za pour expression :
gZ(t)=·θ
1−(1−θ)et¸n
4. En déduire la loi de X+Y. Généraliser.
Exercice 9 – Soit Xune variable aléatoire de loi de probabilité exponentielle de paramètre λun
réel positif. On rappelle l’expression de la densité :
fX(x)=λexp{−λx},x∈R+.
Montrer que Xperd la mémoire ; c’est-à-dire que :
P(X>x1+x2|X>x1)=P(X>x2).
Peut-on en dire de même si Xsuit une loi de Weibull de paramètre (α,β) ?
Exercice 10 – Soit Zune variable aléatoire distribuée suivant une loi Gamma de paramètres
(α,β) :
fZ(z)=βα
Γ(α)zα−1e−βz,z>0,α,β>0
1. Calculer la fonction génératrice de Z.
2. Soit X1,X2,···,Xn,nvariables aléatoires indépendantes de loi exponentielle de paramètre
λ:
fXi(x)=λexp{−λx},x>0,λ>0
Calculer la fonction génératrice des moments des Xi,i=1,...,n. En déduire la loi de Sn=
Pn
i=1Xi.
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