TD n 4 : Simulation de variables aléatoires.

M1 BIBS
Mise à niveau en Mathématiques
Année universitaire 2014-2015
1er semestre
TD n◦ 4 : Simulation de variables aléatoires.
Exercice n◦ 1 : Loi Exponentielle
(a) Simuler un échantillon de taille 100 selon la loi exponentielle de paramètre 1/2 par la
méthode de la transformation inverse.
(b) Représenter la loi empirique de cet échantillon à l’aide d’un histogramme ainsi que la
densité de la loi exponentielle de paramètre 1/2 sur le même graphique.
Exercice n◦ 2 : Loi non-usuelle
On souhaite générer un échantillon selon la loi de densité
f (x) =
3 2
x 1[0,2] ( x )
8
par la méthode d’acceptation-rejet.
(a) Choisir une loi instrumentale g (i.e. f ≤ Cg) et la normaliser.
(b) Déterminer un réel C tel que f ≤ Cg.
(c) Par la méthode d’acceptation-rejet, générer un échantillon de taille 50 selon la loi de
densité f .
(d) Représenter la loi empirique de l’échantillon à l’aide d’un histogramme et tracer sur le
même graphique la courbe représentative de la fonction de densité f .
(e) Toujours par la méthode d’acceptation-rejet, générer à nouveau un échantillon de taille
50 selon la loi de densité f , mais en utilisant une très grande constante C. Qu’observe-ton ? Comment l’expliquer ?
(f) Enfin, faire de même avec une toute petite constante C. Qu’observe-t-on ? Comment
l’expliquer ?
yohann.decastro/emilie.devijver @math.u-psud.fr
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TD n◦ 4
Exercice n◦ 3 : On recommence avec une autre densité ...
Refaire l’exercice précédent avec
f (x) =
1 3
x 1[0,4] ( x )
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Exercice n◦ 4 : Gregor Mendel (1822-1884)
Dans une culture de fleurs, la couleur de la fleur est gouvernée par un couple d’alléles. La
probabilité que la fleur soit rouge est de 1/4, la probabilité qu’elle soit rose est de 1/2 et la
probabilité qu’elle soit blanche est de 1/4.
On appelle X la variable aléatoire qui prend la valeur 1 si la fleur est rouge, la valeur 2 si la
fleur est rose et la valeur 3 si la fleur est blanche.
(a) Simuler un échantillon de taille 100 selon la loi de la variable aléatoire X grâce à la
méthode de simulation d’une loi discrète vue en cours.
(b) Représenter la loi empirique de l’échantillon.
Exercice n◦ 5 : Transformation de Box-Müller
Soient U1 et U2 deux v.a. uniforme sur (0, 1). Simuler n = 1000 réalisations des variables X1
et X2 définies par :
q
q
X1 = − log(U1 ) sin(2πU2 ) et X2 = − log(U1 ) cos(2πU2 ) .
Interpréter.
Exercice n◦ 6 : Sans la loi uniforme
Á l’aide de la méthode d’acceptation-rejet, simuler une réalisation de la v.a. X de densité de
probabilité :
2
∀ x ∈ R+ , f ( x ) = (1 + cos( x )) exp(− x ) .
5
On pourra utiliser une fonction qui génère une loi exponentielle sous R. Vérifier graphiquement la pertinence de votre algorithme.
Exercice n◦ 7 : Une loi non-usuelle
Soient X1 , . . . , Xn des variables aléatoires réelles indépendantes et de même loi, de fonction
de répartition Fθ définie sur R, pour tout θ > 0, par
2
Fθ ( x ) = (1 − e−θx )1]0,+∞[ ( x )
(
2
1 − e−θx si x > 0
=
0 sinon.
(a) Calculer l’espérance et la variance de X 2 .
On suppose désormais que θ = 2.
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TD n◦ 4
(b) Simuler la loi de X1 par la méthode de la transformation inverse.
(c) Simuler la loi de X1 par la méthode d’acceptation-rejet.
(d) Tirer un 1000 échantillon grâce aux deux méthodes précédentes (on note ech1 et ech2
les deux échantillons respectifs), et tracer les densités empiriques (en rouge pour la
transformation inverse, en bleu pour l’acceptation-rejet) et la vraie densité (en noir).
(e) Comparer la moyenne empirique et la moyenne théorique de X12 .
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