Feuille de TD numéro 5

Master de Mathématiques
Première année
Module H11
Exercice 1
Feuille de TD numéro 5
(Lois gamma et exponentielle)
1
a−1 e−x 1
x>0 .
Γ(a) x
La loi gamma γ(a) de paramètre a > 0 a pour densité
1. Montrer que si X ∼ γ(a), sa transformée de Laplace vaut Ee−tX = 1/(1 + t)a , t > 0.
2. En déduire que si X ∼ γ(a) et Y ∼ γ(a0 ), sont deux v.a. indépendantes, X + Y ∼ γ(a + a0 )
(stabilité des lois gamma par convolution).
3. Par dénition, une v.a. X a la loi γ(a, b), a > 0, b > 0, si par dénition bX ∼ γ(a) (l'abus de
notation ici est volontaire).
Déterminer sa densité et sa transformée de Laplace.
Quelle est la loi de la somme de deux v.a. indépendantes de loi respective γ(a, b) et γ(a0 , b) ?
Connaît-on celle de la somme de deux v.a. indépendantes de loi respective γ(a, b) et γ(a, b0 ) ?
4. Soient n variables aléatoires réelles indépendantes X1 , . . . , Xn de même densité exponentielle
de paramètre λ. Déterminer la densité de X1 + . . . + Xn (Indication : une loi exponentielle est
une loi gamma).
Exercice 2 Soit τ1 , τ2 , . . . une suite i.i.d. de variable exponentielle de paramètre λ > 0. On pose
pour n ≥ 1, Tn = τ1 + · · · + τn .
1. Montrer que la suite (Tn ) est un processus ponctuel sur R+ .
Par la suite, on notera (Nt )t∈R+ sa fonction aléatoire de comptage.
2. Donner la densité jointe du vecteur (Tn , τn+1 ).
3. Calculer, pour tout s, t ∈ R+ et tout n ∈ N, la probabilité de l'événement
{Nt = n, Tn+1 − t > s}.
En déduire que Nt suit une loi de Poisson de paramètre λt et que conditionnellement lorsque
Nt = n, la v.a. Tn+1 − t suit la loi exponentielle de paramètre λ.
4. Montrer que conditionnellement lorsque Nt = n pour un t ∈ R+ et un n ∈ N xés, les
variables Tn+1 − t, Tn+2 − Tn+1 , Tn+3 − Tn+2 ,. . ., sont des v.a. i.i.d. de même loi exponentielle
de paramètre λ.
Déduire de la question précédente que conditionnellement lorsque Nt = n, pour tout s ∈ R+ ,
Nt+s − Nt suit la loi de Poisson de paramètre λs.
5. Établir que le processus ponctuel (Tn ) est un processus de Poisson d'intensité λ.
Exercice 3 (Couple exponentiel). Soient X, Y deux v.a. indépendantes de même densité exponentielle de paramètre λ.
1. Donner, sans aucun calcul, la densité du couple (X ∧ Y, X ∨ Y ).
2. En déduire la densité des variables X ∧ Y , X ∨ Y et |X − Y |.
(Indication : |X − Y | = X ∨ Y − X ∧ Y )
Exercice 4 Trois personnes A, B, C arrivent devant deux guichets (instant 0) ; les services de
A et B commencent immédiatement tandis que C attend que A ou B ait libéré son serveur. Les
trois durées de service de A, B, C sont des v.a. indépendantes de même densité exponentielle de
paramètre λ.
1
1. Trouver la densité et l'espérance du temps de début de service de C et du temps de n de
service de C.
2. Quelle est la probabilité que C ne soit pas le dernier à terminer son service ?
Exercice 5 On considère un processus de Poisson d'intensité λ et soit (Nt )t≥0 son processus de
comptage. Soient 0 ≤ s < t. À l'aide de la décomposition Nt = Ns + (Nt − Ns ), Montrer que
Cov(Nt , Ns ) = λs.
Exercice 6 (Processus marqués) Un processus de Poisson d'intensité λ, identié à son processus
de comptage (Nt )t≥0 , compte des événements qui peuvent être de deux types (passage de voitures
ou de camions...) notés type 1 et type 2. On suppose que chaque événement a la probabilité p d'être
de type 1, indépendamment des autres instants de saut du processus. On note (Nt1 )t≥0 le processus
qui compte les arrivées d'événements de type 1, et (Nt2 )t≥0 le processus qui compte les arrivées
d'événements de type 2.
1. Déterminer la loi conditionnelle de Nt1 sachant Nt = n, et en déduire que
P ([Nt1
= k] ∩
[Nt2
= `]) =
k + ` k ` −λt (λt)k+`
.
p qe
`
(k + `)!
2. Montrer que, pour tout t, Nt1 est de loi de Poisson de paramètre λtp.
3. Montrer que N 1 et N 2 sont deux processus de Poisson indépendants.
Exercice 7 On suppose que les points Tn d'un processus de Poisson représentent les instants
d'arrivée des autobus à un arrêt (ce n'est pas très réaliste). On considère un voyageur qui arrive
à l'arrêt à l'instant t. On note Ut son temps d'attente, Vt le temps qui sépare t de l'instant de la
dernière arrivée d'autobus et Wt la somme Ut + Vt .
1. Exprimer l'événement {Ut > y, Vt ≥ x} en fonction du processus de comptage Nt et en
déduire sa probabilité.
2. En déduire que Ut et Vt sont indépendantes et les lois de Ut et Vt . Quel est le temps moyen
d'attente de l'usager ?
3. Quelle est la durée moyenne entre deux arrivées de bus ?
4. Que dire de l'espérance de Wt ?
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