Feuille de TD numéro 5

γ(a)a > 0
1
Γ(a)xa−1e−x1x>0
X∼γ(a)Ee−tX = 1/(1 + t)at > 0
X∼γ(a)Y∼γ(a0)X+Y∼γ(a+a0)
X γ(a, b)a > 0b > 0bX ∼γ(a)
γ(a, b)γ(a0, b)
γ(a, b)γ(a, b0)
n X1, . . . , Xn
λ X1+. . . +Xn
τ1, τ2, . . . λ > 0
n≥1Tn=τ1+· · · +τn
(Tn)R+
(Nt)t∈R+
(Tn, τn+1)
s, t ∈R+n∈N
{Nt=n, Tn+1 −t > s}.
Ntλt
Nt=n Tn+1 −t λ
Nt=n t ∈R+n∈N
Tn+1 −t Tn+2 −Tn+1 Tn+3 −Tn+2 . . .
λ
Nt=n s ∈R+
Nt+s−Ntλs
(Tn)λ
X, Y
λ
(X∧Y, X ∨Y)
X∧Y X ∨Y|X−Y|
|X−Y|=X∨Y−X∧Y
λ

λ(Nt)t≥0
0≤s < t Nt=Ns+ (Nt−Ns)
Cov(Nt, Ns) = λs
λ
(Nt)t≥0
p
(N1
t)t≥0
(N2
t)t≥0
N1
tNt=n
P([N1
t=k]∩[N2 t=`]) = k+`
`pkq`e−λt (λt)k+`
(k+`)!.
t N1
tλtp
N1N2
Tn
t UtVtt
WtUt+Vt
{Ut> y, Vt≥x}Nt
UtVtUtVt
Wt