Chapitre 1. Statistiques descriptives 1. Introduction. Pour résoudre des problèmes en génie, des données doivent être recueillies, décrites et analysées pour produire des informations sommaires. Le rôle des statistiques descriptives est de donner une idée sommaire sur les données par le calcul d’un nombre de statistiques et par des représentations graphiques. 2. Concepts de base. Population, échantillon et variable. Une étude statistique se base sur des données. Cependant, il est souvent impossible d’avoir les données complètes surtout s’il y a un grand nombre de possibilités ou si l’analyse des données utilise un test destructif. Par exemple, il serait impossible de déterminer la résistance moyenne d’un type de contenants en testant jusqu’à rupture chaque contenant sortant de la ligne de production. Même si on n’est pas dans les situations ci-dessus, étudier toutes les données serait onéreux en temps et en argent. Un ingénieur qui s’intéresse à vérifier si un procédé de fabrication respecte les spécifications va inspecter suivant un plan établi un certain nombre d’unités produites chaque jour. La différence entre toutes les données possibles et un nombre restreint de données recueillies est important dans la compréhension des statistiques. Population. Une population en statistique est l’ensemble des observations possibles d’une caractéristique d’intérêt. Échantillon Un échantillon d’une population est un sous ensemble de la population qui sera recueilli dans le cadre de l’étude concernée. 1 Variable La variable est la caractéristique observée. En génie, en général les variables étudiées sont quantitatives, c'est-à-dire mesurables. On distingue deux variables quantitatives : - Variables discrètes : Une variable est dite discrète si elle prend un nombre fini de valeurs ou un nombre infini de valeurs mais isolées. - Variables continues : Une variable est dite continue si elle prend ses valeurs dans un intervalle réel. Exemple. Variable : Résistance Type : Continue Population : Toutes les mesures des résistances produites. Échantillon : Mesures de 50 résistances. Exemple. Variable : Nombre de paquets qui arrivent à un serveur dans une période d’une minute Type : discrète Population : Tout nombre possible de paquets qui arrivent dans une période d’une minute Échantillon : Nombre de paquets qui arrivent dans une minute pendant 50 périodes d’une minute. Échantillon aléatoire Un échantillon aléatoire est un échantillon où toutes les unités de la population ont la même chance d’être sélectionnées. Si par exemple, un ingénieur sélectionne les 10 premières unités produites, son échantillon n’est pas aléatoire. Pour sélectionner un échantillon aléatoire, il faut utiliser un générateur de nombres aléatoires. 2 Statistique Une statistique est une mesure faite sur un échantillon. Paramètre. Un paramètre est une caractéristique de la population que la statistique va nous permettre d’estimer. 3. Statistiques de base. Statistiques de tendance centrale. Moyenne d’échantillon. La moyenne d’échantillon est une mesure centrale autour de laquelle gravitent les données de l’échantillon. n La moyenne est donnée par X X i 1 i n , où X i est la ième donnée et n le nombre de données dans l’échantillon. Exemple. La moyenne de la série de données suivantes : 2 X 3.5 6 2 1.5 est 2 3.5 6 2 1.5 3. 5 En général, le nombre de données est grand pour faire les calculs à la main, on utilise alors un logiciel comme Excel ou un logiciel spécialisé en statistiques. Exemple. Dans un procédé de fabrication de cartes pour circuits imprimés, on a mesuré l’épaisseur en mils du placage en cuivre d’un échantillon de 100 cartes et on a obtenu : 3,468 3,428 3,516 3,509 3,461 3,492 3,478 3,482 3,49 3,467 3,519 3,498 3,504 3,469 3,497 3,466 3 3,458 3,478 3,5 3,443 3,449 3,525 3,461 3,5 3,561 3,506 3,479 3,444 3,524 3,531 3,501 3,539 3,481 3,497 3,513 3,461 3,528 3,496 3,533 3,496 3,512 3,55 3,541 3,441 3,569 3,531 3,468 3,513 3,505 3,523 3,47 3,475 3,457 3,536 3,528 3,458 3,469 3,461 3,502 3,431 3,491 3,506 3,439 3,443 3,517 3,481 3,535 3,515 3,46 3,575 3,488 3,495 3,51 3,483 3,467 3,467 3,502 3,471 3,516 3,556 3,482 3,512 3,45 3,516 3,476 3,515 3,495 3,518 3,523 3,564 3,522 3,52 3,474 3,489 3,514 3,47 3,477 3,536 3,491 3,484 En utilisant la fonction moyenne d’Excel par exemple, on obtient X 3.495 . Médiane. Une autre statistique de mesure centrale utilisée est la médiane. Si la série de données est ordonnée, la médiane est un nombre réel qui sépare la série en deux. Si le nombre de données est impair, la médiane est la valeur de la série ordonnée qui sépare la série en deux et si le nombre de données est pair, la médiane est la moyenne des deux valeurs qui se trouvent au centre de la série ordonnée. La médiane est en général différente de la moyenne à moins que les données de part et d’autre de la médiane soient à la même distance de celle-ci. Exemples. La médiane de la série ordonnée 2 2 3 La médiane de la série ordonnée 1 1 2 2 4 4 4 5 est 4. 4 4 5 6 est la moyenne de 2 et 4 qui est 3. La médiane des données sur l’épaisseur du placage des cartes se fait avec un logiciel et on obtient 3.496. La série 1 1 2 2 3 4 4 à pour moyenne 2.428 et pour médiane 2. Si on reprend la même série en changeant la dernière valeur par 9, la moyenne change pour 3.143 et la médiane reste toujours 2. La moyenne est donc plus sensible que la médiane. 4 Statistiques de variabilité ou de dispersion. Variance d’échantillon. Les statistiques centrales ne sont pas suffisantes à elles seules de résumer les données. Pour cela regardons de près les deux séries de données suivantes; Série 1 : 2 2 50 98 98 Série 2 : 44 44 50 56 56 Ces deux séries ont la même moyenne qui est 50 et la même médiane qui est 50. Cependant il y a une différence fondamentale à savoir que la série 1 set plus étendue que la série 2. Pour mesurer cette dispersion des données par rapport à la moyenne, on utilise une statistique qui tient compte des écarts entre chaque donnée et la moyenne. La variance est la statistique qui mesure cette dispersion. On la calcule comme une moyenne des carrées des écarts entre les données et la moyenne. n (X La variance est donnée par i 1 i X )2 n 1 et a pour unité celle de la variable au carré. On utilise aussi la racine carrée de la variance qui est une forme de distance moyenne entre les données et la moyenne, cette statistique sera appelée écart type d’échantillon S et a les mêmes unités que la variable étudiée. On a alors n n S ( X i X )2 i 1 n 1 ou S 2 (X i 1 i X )2 n 1 Exemples. Série 1: S2 (2 50)2 (2 50)2 (50 50) 2 (98 50) 2 (98 50) 2 2304 4 S 2304 48 5 et Série 2: S2 (44 50)2 (44 50)2 (50 50)2 (56 50)2 (59 50)2 36 4 et S 36 6 . La série 1 a une plus grande variance que la série 2. Exemple. La variance des données sur l’épaisseur de placage est obtenue avec la formule var d’ Excel. On obtient S 2 0.00103 et S 0.0321 Coefficient de variation. Pour comparer deux séries n’ayant pas la même moyenne ou ayant des unités différentes, on utilise une statistique qui mesure la dispersion relative qui est le coefficient de variation. On le définit par CV S 100% X Un coefficient de variation faible indique une faible dispersion et une forte homogénéité. Exemple. Le coefficient de variation dans l’exemple de l’épaisseur du placage est 0.92%. Ce coefficient est très faible, on en déduit que les données sont peu dispersées. 4. Distribution d’une variable Effectif et Fréquence. - Cas d’une variable discrète : L’effectif d’une valeur est le nombre de fois que la valeur est observée dans l’échantillon. La fréquence d’une valeur est la proportion qu’elle est observée dans l’échantillon. - Cas d’une variable continue. La série de données est partagée en intervalles appelées classes. L’effectif d’une classe est le nombre d’observations de l’échantillon qui sont dans cette classe. La fréquence d’une classe est la proportion d’observations de l’échantillon qui sont dans cette classe. Distribution d’une variable. 6 Un résumé qui peut prendre la forme d’un tableau ou d’un graphique qui met en évidence les données individuelles dans le cas d’une variable discrète ou sous forme de classes dans le cas d’une variable continue en précisant leurs effectifs ou leurs fréquences. Exemple. Les données suivantes représentent la résistance à la traction de tiges d’acier. Résistance à la traction 103779 103633 103779 103633 103799 97383 105087 102325 102906 102616 101162 107848 103488 101162 106395 105377 104796 106831 102470 99563 102906 98110 100872 104796 103197 102325 105232 105813 101017 104651 104360 106831 100872 104651 103924 108430 104651 102906 101453 105087 103197 105337 101744 106104 100726 106540 101744 101598 103799 100145 Les résultats suivants ont été obtenus par Stagraphics. Tableau des fréquences. 7 Exemple. Les données suivantes représentent des durées de vie d’un certain dispositif. Durée de vie 12411 272005 108561 46684 233254 40479 93241 21491 89601 116729 16263 150011 59067 118077 33771 6171 60266 399071 82273 87592 95291 72435 28637 313879 46252 53533 173580 199458 27668 78954 162792 149432 102947 77084 137149 220413 45771 7400 50668 43911 182737 61894 10291 58526 49022 Les résultats suivants ont été obtenus par Stagraphics. 8 5. Graphiques. Histogramme. Un histogramme est un graphique qui résume le tableau des effectifs ou des fréquences. Exemples. On reprend les exemples précédents. Les histogrammes qui suivent ont été obtenus avec Statgraphics. 9 6. Diagramme en boîte. Une série ordonnée de données peut être partagée en quatre par trois nombres appelées quartiles. Le plus petit est noté Q1 , le deuxième Q2 qui est la médiane et le plus grand est Q3 . La moitié des valeurs se trouvent entre Q1 et Q3 . La quantité Q3 Q1 est l’intervalle interquartile et noté IQR. Les données inférieures à Q1 1.5IQR ou supérieures à Q3 1.5IQR sont dites données extrêmes. Le diagramme en boîte est un graphique qui montre la médiane, les quartiles et les données extrêmes. Une application fréquente du diagramme en boîte est la comparaison de plusieurs séries de données. 10 Exemples. On reprend les exemples précédents. Les diagrammes en boîte ont été obtenus avec Statgraphics 11 Asymétrie d’une distribution. Les asymétries Classiques sont exposées dans les graphiques suivants : 12 7. Densités. Les histogrammes de la résistance à la traction et de la durée de vie présentent des formes différentes. Celui de la résistance à la traction ressemble à une cloche alors que celui de la durée de vie à une forme avec une forte asymétrie à droite. Si on construit un histogramme de telle sorte que l’aire de chaque rectangle soit égale à la fréquence de chaque classe (Ceci se fait en prenant pour unité la longueur de la classe et pour hauteur la fréquence ou si on veut conserver les unités, on prend pour hauteur la fréquence divisée par la longueur de la classe). L’histogramme ainsi construit à une aire égale à 1 et l’aire de chaque classe est la fréquence de la classe. Cependant, avec l’histogramme on ne peut calculer que des aires d’intervalles dont les extrémités sont des extrémités de classe. Afin d’avoir un modèle pour toute la population et qui permettrait de calculer la fréquence de tout intervalle, on ajuste une fonction à l’histogramme qu’on appelle fonction de densité. Nous verrons plus loin l’utilisation des densités. 13 14