Cours1

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Chapitre 1. Statistiques descriptives
1. Introduction.
Pour résoudre des problèmes en génie, des données doivent être recueillies, décrites et
analysées pour produire des informations sommaires. Le rôle des statistiques descriptives est de
donner une idée sommaire sur les données par le calcul d’un nombre de statistiques et par des
représentations graphiques.
2. Concepts de base. Population, échantillon et variable.
Une étude statistique se base sur des données. Cependant, il est souvent impossible d’avoir les
données complètes surtout s’il y a un grand nombre de possibilités ou si l’analyse des données
utilise un test destructif. Par exemple, il serait impossible de déterminer la résistance moyenne
d’un type de contenants en testant jusqu’à rupture chaque contenant sortant de la ligne de
production.
Même si on n’est pas dans les situations ci-dessus, étudier toutes les données serait onéreux en
temps et en argent.
Un ingénieur qui s’intéresse à vérifier si un procédé de fabrication respecte les spécifications va
inspecter suivant un plan établi un certain nombre d’unités produites chaque jour.
La différence entre toutes les données possibles et un nombre restreint de données recueillies
est important dans la compréhension des statistiques.
 Population.
Une population en statistique est l’ensemble des observations possibles d’une caractéristique
d’intérêt.
 Échantillon
Un échantillon d’une population est un sous ensemble de la population qui sera recueilli dans le
cadre de l’étude concernée.

2
 Variable
La variable est la caractéristique observée. En génie, en général les variables étudiées sont
quantitatives, c'est-à-dire mesurables. On distingue deux variables quantitatives :
- Variables discrètes : Une variable est dite discrète si elle prend un nombre fini de
valeurs ou un nombre infini de valeurs mais isolées.
- Variables continues : Une variable est dite continue si elle prend ses valeurs dans un
intervalle réel.
Exemple.
Variable : Résistance
Type : Continue
Population : Toutes les mesures des résistances produites.
Échantillon : Mesures de 50 résistances.
Exemple.
Variable : Nombre de paquets qui arrivent à un serveur dans une période d’une minute
Type : discrète
Population : Tout nombre possible de paquets qui arrivent dans une période d’une minute
Échantillon : Nombre de paquets qui arrivent dans une minute pendant 50 périodes d’une
minute.
 Échantillon aléatoire
Un échantillon aléatoire est un échantillon où toutes les unités de la population ont la même
chance d’être sélectionnées. Si par exemple, un ingénieur sélectionne les 10 premières unités
produites, son échantillon n’est pas aléatoire. Pour sélectionner un échantillon aléatoire, il faut
utiliser un générateur de nombres aléatoires.

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 Statistique
Une statistique est une mesure faite sur un échantillon.
 Paramètre.
Un paramètre est une caractéristique de la population que la statistique va nous permettre
d’estimer.
3. Statistiques de base.
Statistiques de tendance centrale.
 Moyenne d’échantillon.
La moyenne d’échantillon est une mesure centrale autour de laquelle gravitent les données de
l’échantillon.
La moyenne est donnée par
1
n
i
iX
Xn
, où
i
X
est la ième donnée et n le nombre de données
dans l’échantillon.
Exemple.
La moyenne de la série de données suivantes : 2 3.5 6 2 1.5 est
2 3.5 6 2 1.5 3
5
X   
.
En général, le nombre de données est grand pour faire les calculs à la main, on utilise alors un
logiciel comme Excel ou un logiciel spécialisé en statistiques.
Exemple.
Dans un procédé de fabrication de cartes pour circuits imprimés, on a mesuré l’épaisseur en mils
du placage en cuivre d’un échantillon de 100 cartes et on a obtenu :
3,468
3,428
3,516
3,509
3,461
3,492
3,478
3,482
3,49
3,467
3,519
3,498
3,504
3,469
3,497
3,466

4
3,458
3,478
3,5
3,443
3,449
3,525
3,461
3,5
3,561
3,506
3,479
3,444
3,524
3,531
3,501
3,539
3,481
3,497
3,513
3,461
3,528
3,496
3,533
3,496
3,512
3,55
3,541
3,441
3,569
3,531
3,468
3,513
3,505
3,523
3,47
3,475
3,457
3,536
3,528
3,458
3,469
3,461
3,502
3,431
3,491
3,506
3,439
3,443
3,517
3,481
3,535
3,515
3,46
3,575
3,488
3,495
3,51
3,483
3,467
3,467
3,502
3,471
3,516
3,556
3,482
3,512
3,45
3,516
3,476
3,515
3,495
3,518
3,523
3,564
3,522
3,52
3,474
3,489
3,514
3,47
3,477
3,536
3,491
3,484
En utilisant la fonction moyenne d’Excel par exemple, on obtient
3.495X
.
 Médiane.
Une autre statistique de mesure centrale utilisée est la médiane. Si la série de données est
ordonnée, la médiane est un nombre réel qui sépare la série en deux.
Si le nombre de données est impair, la médiane est la valeur de la série ordonnée qui sépare la
série en deux et si le nombre de données est pair, la médiane est la moyenne des deux valeurs
qui se trouvent au centre de la série ordonnée.
La médiane est en général différente de la moyenne à moins que les données de part et d’autre
de la médiane soient à la même distance de celle-ci.
Exemples.
La médiane de la série ordonnée 2 2 3
4
4 4 5 est 4.
La médiane de la série ordonnée 1 1 2
2
4
4 5 6 est la moyenne de 2 et 4 qui est 3.
La médiane des données sur l’épaisseur du placage des cartes se fait avec un logiciel et on
obtient 3.496.
La série 1 1 2 2 3 4 4 à pour moyenne 2.428 et pour médiane 2. Si on reprend la même
série en changeant la dernière valeur par 9, la moyenne change pour 3.143 et la médiane reste
toujours 2. La moyenne est donc plus sensible que la médiane.

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Statistiques de variabilité ou de dispersion.
 Variance d’échantillon.
Les statistiques centrales ne sont pas suffisantes à elles seules de résumer les données. Pour
cela regardons de près les deux séries de données suivantes;
Série 1 : 2 2 50 98 98
Série 2 : 44 44 50 56 56
Ces deux séries ont la même moyenne qui est 50 et la même médiane qui est 50. Cependant il y
a une différence fondamentale à savoir que la série 1 set plus étendue que la série 2. Pour
mesurer cette dispersion des données par rapport à la moyenne, on utilise une statistique qui
tient compte des écarts entre chaque donnée et la moyenne. La variance est la statistique qui
mesure cette dispersion. On la calcule comme une moyenne des carrées des écarts entre les
données et la moyenne.
La variance est donnée par
2
1()
1
n
i
iXX
n
et a pour unité celle de la variable au carré. On
utilise aussi la racine carrée de la variance qui est une forme de distance moyenne entre les
données et la moyenne, cette statistique sera appelée écart type d’échantillon S et a les mêmes
unités que la variable étudiée. On a alors
2
1()
1
n
i
iXX
Sn
ou
2
21()
1
n
i
iXX
Sn
Exemples.
Série 1 :
2 2 2 2 2
2(2 50) (2 50) (50 50) (98 50) (98 50) 2304
4
S        
et
2304 48S