EXERCICE 2 : VRAI

EXERCICE 1
1. Ecrire la division euclidienne de 500 par 17.
2. Ecrire la division euclidienne de −500 par 17.
3. Le quotient d’un entier naturel Adans sa division euclidienne par 3 est 7.
Quels sont les restes possibles ? En d´eduire toutes les valeurs de Apossibles.
4. D´eterminer les entiers naturels nqui divis´es par 4 donnent un quotient ´egal au reste.
EXERCICE 2 : VRAI - FAUX ( 5 PTS)
On consid`ere deux nombres entiers naturels aet b.
On suppose que la division euclidienne de apar bs’´ecrit a=b×q+ravec 0 ≤r < b
Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ?
Justifier votre r´eponse.
Affirmation 1 : 2rest le reste de la division euclidienne de 2apar b
Affirmation 2 : 2rest le reste de la division euclidienne de 2apar 2b
Affirmation 3 : −rest le reste de la division euclidienne de −apar b
EXERCICE 3(5PTS)
On consid`ere deux nombres entiers relatifs aet b.
On appelle combinaison lin´eaire enti`ere de aet btoute expression de la forme
u×a+v×bo`u uet vsont des nombres entiers relatifs.
Par exemple −3a+ 5best une combinaison lin´eaire enti`ere de aet b
1. Soit dun nombre entier relatif.
Montrer que si ddivise aet ddivise balors ddivise toute combinaison lin´eaire de aet b
2. En d´eduire tous les nombres entiers relatifs tels que :
(n+ 3) divise (100n+ 308)
3. UU D´eterminer de mˆeme tous les nombres entiers relatifs tels que :
(n+ 1) divise n2+ 3n+ 13 UU
1

EXERCICE 4(5PTS)
1. L’algorithme ci-dessous affiche la somme des diviseurs d’un nombre entier N.
Compl´eter les parties manquantes
1 VARIABLES
2 N EST_DU_TYPE NOMBRE
3 S EST_DU_TYPE NOMBRE
4 j EST_DU_TYPE NOMBRE
5 DEBUT_ALGORITHME
6 LIRE .............
7 S PREND_LA_VALEUR .................
8 POUR j ALLANT_DE ..................
9 DEBUT_POUR
10 SI (...............) ALORS
11 DEBUT_SI
12 S PREND_LA_VALEUR .............
13 FIN_SI
14 FIN_POUR
15 AFFICHER S
16 FIN_ALGORITHME
2. Jo la science a utilis´e ce programme , il a entr´e un nombre Net il s’aper¸coit que le programme affiche
le nombre N+ 1
Que peut on dire du nombre N?
3. Jo la science, que rien n’arrˆete a essay´e le programme avec N= 2100
Quelle valeur le programme a-t-il affich´ee ?
Formulaire
Pour tout nombre 6= 1 : 1 + q+q2+·········+qn=qn+1 −1
q−1
2

EXERCICE 1 : CORRECTION
1. Division euclidienne de 500 par 17 : 500 = 29 ×17 + 7
2. Division euclidienne de −500 par 17 : −500 = −30 ×17 + 10
3. Le quotient d’un entier relatif Adans sa division euclidienne par 3 est 7.
Les restes possibles sont : 0 , 1 ou 2
Les valeurs de Apossibles sont :
A= 3 ×7 + 0 = 21 ; A= 3 ×7 + 1 = 22 ; A= 3 ×7 + 2 = 23
4. Entiers naturels nqui divis´es par 4 donnent un quotient ´egal au reste.
Les entiers naturels ncherch´es sont de la forme : n= 4r+r= 5ravec 0 ≤r < 4
Il y a donc 4 possibilit´es : 0; 5; 10; 15
3

EXERCICE 2:CORRECTION
On consid`ere deux nombres entiers naturels aet b.
On suppose que la division euclidienne de apar bs’´ecrit a=b×q+ravec 0 ≤r < b
Affirmation 1 : FAUSSE 2rest le reste de la division euclidienne de 2apar b
Contre-exemple : la division euclidienne de 10 par 4 s’´ecrit : 10 = 2 ×4+2
Mais : la division euclidienne de 20 par 4 s’´ecrit : 20 = 5 ×4 + 0 et 0 n’est pas ´egal `a 2 ×2
En fait : a=b×q+rdonne bien 2a=b×2q+ 2r
Mais la condition 0 ≤r < b ne donne pas tooujours 0 ≤2r < b
Affirmation 2 : VRAIE 2rest le reste de la division euclidienne de 2apar 2b
On a a=b×q+ravec 0 ≤r < b
Donc : 2a= 2b×q+ 2r
Et : 0 ≤r < b donne 0 ≤2r < 2b
Affirmation 3 : FAUSSE −rest le reste de la division euclidienne de −apar b
Un reste est toujours positif ou nul
4

EXERCICE 3:CORRECTION
On consid`ere deux nombres entiers relatifs aet b.
1. Soit dun nombre entier relatif.
On suppose que ddivise aet ddivise b
On a donc : il existe deux nombres entiers relatifs pet qtels que : a=d×pet b=d×q
Donc pour tout uet ventiers relatifs : u×a+v×b=u×d×p+v×d×q=d×(up +vq)
Or up +vq est un entier relatif
Donc : ddivise toute comninaison lin´eaire de aet b
2. Nombres entiers relatifs tels que :
(n+ 3) divise (100n+ 308)
(n+ 3) divise 100(n+ 3) et (100n+ 308) donc :
(n+ 3) divise (100n+ 308) −100(n+ 3) = 8
Les diviseurs de 8 ´etant −8 ; −4 ; −2 ; −1 ; 1 ; 2 ; 4 et 8
On obtient : n=−11 ; n=−7 ; n=−5 ; n=−4 ; n=−2 ; n=−1 ; n= 1 ; n= 5
3. Nombres entiers relatifs tels que : (n+ 1) divise n2+ 3n+ 13
(n+ 1) divise (n+ 1)2et n2+ 3n+ 13 donc :
(n+ 1) divise n2+ 3n+ 13 −n2−2n−1 = n+ 12
Donc : (n+ 1) divise (n+ 12) −(n+ 1) = 11 Les diviseurs de 11 ´etant −11 ; −1 ; 1 et 11
On obtient : n=−12 ; n=−2 ; n= 0 ; n= 10
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