Correction exercice 4 – Probabilités 2

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Terminale S. – Lycée Desfontaines – Melle
Correction exercice 4 – Probabilités 2
On tire simultanément 3 boules dans une urne contenant 4 boules rouges, 3 vertes et 2 noires indisernables au
toucher.
1. Combien y-a-t-il de tirages possibles ?
Les 9 boules de l’urne sont indiscernables au toucher, tirer 3 boules simultanément parmi les 9 consiste donc
9
constituer une combinaison de 3 éléments parmi 9. Il y a donc   càd 84 tirages possibles .
3
2.
a. Calculons la probabilité de l’événement A :"le tirage contient exactement 2 boules rouges"
Pour que A se réalise, il faut tirer 2 boules rouges parmi les 4 et 1 boule non rouge parmi les 5 non rouges.
Or, tirer 2 boules rouges parmi les 4 revient à constituer une combinaison de 2 éléments parmi 4
4
donc il y a  =6 possibilités faire un tel tirage.
2
5
 
Et il y a  =5 possibilités de tirer une boule non rouge (3 vertes et 2 noires) parmi les 5 non rouges.
1
D’où il y a 6×5=30 possibiltés de tirer exactement deux boules rouges.
4 5
 ×  
2
1
donc en supposant l’équiprobabilité des tirages, p(A) =     = 30 = 5 ó0,36
9
84 14
 
 
3
La probabilité de tirer exactement deux boules rouges est p(A)= 5 ó0,36
14
b. Calculons la probabilité de l’événement B : "Le tirage contient au moins 2 boules rouges".
"Tirer au moins 2 boules rouges" revient à "tirer soit 2 boules rouges exactement, soit 3 boules rouges"
Il y a donc 30+4=34 possibilités de tirer au moins 2 boules rouges.
4 5
Or, nous avons vu qu’il y a  ×  =30 possibilités de tirer exactement 2 boules rouges, et tirer 3 boules
2 1
4
rouges revient à constituer une combinaison de 3 éléments parmi 4 soit  =4 possibilités
3
5
5
4
4
       
 ×  +  ×  
1
0
2
3
Donc en supposant l’équiprobabilité, p(B) =         = 34 = 17 ó0,4
84 42
9
 
3
La probabilité de tirer au moins 2 boules rouges est p(B)= 17 ó0,4
42
c. Calculons la probabilité de l’événement C : "Le tirage contient exactement 2 boules de même
couleur" ?
Pour que C se réalise, on peut :
- tirer exactement 2 boules vertes ce qui revient à constituer une combinaison de 2 éléments parmi 3 et
tirer une boule non verte ce qui revient à constituer une combinaison de 1 élément parmi 6. Il y a donc
 3  6 
  =18 possibilités de tirer exactement 2 boules vertes.
 2  1 
- ou tirer exactement 2 boules noires ce qui revient à constituer une combinaison de 2 éléments parmi 2 et
tirer une boule non noire ce qui revient à constituer une combinaison de 1 éléments parmi 7. Il y a donc
 2  7 
  =7 possibilités de tirer exactement 2 boules noires.
 2  1 
Chapitre 13 : Probabilités partie 2 : les combinaisons
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4 5
ou tirer exactement 2 boules rouges sachant qu’il y a  ×  =30 possibilités de la faire.
2 1
- D’où finalement, il y a 18+7+30=55 possibilités de tirer exactement 2 boules de même couleur donc
3 6 2 7 4 5
 ×  +  ×  +  ×  
1
1
1
2
2
2
en supposant l’équiprobabilité p(C) =             = 55 ó0,65
84
9
 
3
55
La probabilité de tirer exactement deux boules de même couleur est p(C)=
ó0,65
84
-
d. Calculons la probabilité de l’événement D : "Le tirage contient une boule de chaque couleur"
Pour que D se réalise, il faut :
- tirer exactement une boule rouge ce qui revient à constituer une combinaison de 1 élément parmi 4.
- et tirer exactement une boule verte ce qui revient à constituer une combinaison de 1 élément parmi 3.
- et tirer exactement une boule noire ce qui revient à constituer une combinaison de 1 élément parmi 2.
 4  3  2 
Il y a donc    =24 possibilités de tirer une boule de chaque couleur
 1  1  1 
Donc p(D)= 24 = 2 ó0,29
84 7
La probabilité de tirer une boule de chaque couleur est p(D)= 2 ó0,29 .
7
3. Si les trois boules tirées sont rouges, le joueur gagne 100 euros ; si exactement deux boules tirées sont
rouges, il gagne 15 euros ; si une seule boule est rouge, il gagne 4 euros ; dans les autres cas, il ne gagne
rien.
On appelle X la variable aléatoire qui prend pour valeurs le gain, en euros, du joueur lors d’un jeu.
a. Déterminons la loi de probabilité de la v.a. X
X peut prendre pour valeurs 100, 15, 4 ou 0.
o p(X=15)=p(A)= 5
14
o Tirer exactement 3 boules rouges revient à constituer une combinaison de 3 éléments parmi 4. Il y a
4
donc  =4 possibilités de tirer exactement 3 boules rouges donc p(X=100)= 4 = 1
3
84 21
o Tirer deux boules non rouges revient à constituer une combinaison de 2 éléments parmi 5 et tirer une
 5  4 
boule rouge revient à constituer une combinaison de 1 élément parmi 4, il y a donc   =40
 2  1 
40 10
possibiltés de tirer exactement 1 boule rouge donc p(X=4)= =
84 21
o p(X=0)=1−(P(X=4)+p(X=15)+p(X=100))=1− 10 − 5 − 1 = 5
21 14 21 42
D’où la loi de probabilité de la v.a. X :
xi
100
15
4
0
1
5
10
5
P ( X=xi )
21
14
21
42
b. Pour une mise de 10 euros, le jeu est-il favorable au joueur ?
i=3
Calculons l’espérance de X : E(X)= ∑xi p ( X=xi ) =100× 1 +15× 5 +4× 10 +0× 1 = 505 ó12,02
21
14
21
14
42
i=0
En moyenne, le joueur peut donc espérer gagner 2,02 euros environ.
Pour une mise de 10 euros, le jeu est favorable au joueur .
Chapitre 13 : Probabilités partie 2 : les combinaisons
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