Correction exercice 4 – Probabilités 2

Chapitre 13 : Probabilités partie 2 : les combinaisons Page 1 sur 2
Terminale S. – Lycée Desfontaines – Melle
Correction exercice 4 – Probabilités 2
On tire simultanément 3 boules dans une urne contenant 4 boules rouges, 3 vertes et 2 noires indisernables au
toucher.
1. Combien y-a-t-il de tirages possibles ?
Les 9 boules de l’urne sont indiscernables au toucher, tirer 3 boules simultanément parmi les 9 consiste donc
constituer une combinaison de 3 éléments parmi 9. Il y a donc 
9
3
càd 84 tirages possibles .
2.
a. Calculons la probabilité de l’événement A :"le tirage contient exactement 2 boules rouges"
Pour que A se réalise, il faut tirer 2 boules rouges parmi les 4 et 1 boule non rouge parmi les 5 non rouges.
Or, tirer 2 boules rouges parmi les 4 revient à constituer une combinaison de 2 éléments parmi 4
donc il y a 
4
2
=6 possibilités faire un tel tirage.
Et il y a 
5
1
=5 possibilités de tirer une boule non rouge (3 vertes et 2 noires) parmi les 5 non rouges.
D’où il y a 6×5=30 possibiltés de tirer exactement deux boules rouges.
donc en supposant l’équiprobabilité des tirages, p(A) =
4
2
×
5
1
9
3
=
30
84
=
5
14
ó0,36
La probabilité de tirer exactement deux boules rouges est p(A)=
5
14
ó0,36
b. Calculons la probabilité de l’événement B : "Le tirage contient au moins 2 boules rouges".
"Tirer au moins 2 boules rouges" revient à "tirer soit 2 boules rouges exactement, soit 3 boules rouges"
Il y a donc 30+4=34 possibilités de tirer au moins 2 boules rouges.
Or, nous avons vu qu’il y a 
4
2
×
5
1
=30 possibilités de tirer exactement 2 boules rouges, et tirer 3 boules
rouges revient à constituer une combinaison de 3 éléments parmi 4 soit 
4
3
=4 possibilités
Donc en supposant l’équiprobabilité, p(B) =
4
2
×
5
1
+
4
3
×
5
0
9
3
=
34
84
=
17
42
ó0,4
La probabilité de tirer au moins 2 boules rouges est p(B)=
17
42
ó0,4
c. Calculons la probabilité de l’événement C : "Le tirage contient exactement 2 boules de même
couleur" ?
Pour que C se réalise, on peut :
- tirer exactement 2 boules vertes ce qui revient à constituer une combinaison de 2 éléments parmi 3 et
tirer une boule non verte ce qui revient à constituer une combinaison de 1 élément parmi 6. Il y a donc
3
2
6
1
=18 possibilités de tirer exactement 2 boules vertes.
- ou tirer exactement 2 boules noires ce qui revient à constituer une combinaison de 2 éléments parmi 2 et
tirer une boule non noire ce qui revient à constituer une combinaison de 1 éléments parmi 7. Il y a donc
2
2
7
1
=7 possibilités de tirer exactement 2 boules noires.

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- ou tirer exactement 2 boules rouges sachant qu’il y a 
4
2
×
5
1
=30 possibilités de la faire.
- D’où finalement, il y a 18+7+30=55 possibilités de tirer exactement 2 boules de même couleur donc
en supposant l’équiprobabilité p(C) =
3
2
×
6
1
+
2
2
×
7
1
+
4
2
×
5
1
9
3
=
55
84
ó0,65
La probabilité de tirer exactement deux boules de même couleur est p(C)=
55
84
ó0,65
d. Calculons la probabilité de l’événement D : "Le tirage contient une boule de chaque couleur"
Pour que D se réalise, il faut :
- tirer exactement une boule rouge ce qui revient à constituer une combinaison de 1 élément parmi 4.
- et tirer exactement une boule verte ce qui revient à constituer une combinaison de 1 élément parmi 3.
- et tirer exactement une boule noire ce qui revient à constituer une combinaison de 1 élément parmi 2.
Il y a donc 
4
1
3
1
2
1
=24 possibilités de tirer une boule de chaque couleur
Donc p(D)=
24
84
=
2
7
ó0,29
La probabilité de tirer une boule de chaque couleur est p(D)=
2
7
ó0,29 .
3. Si les trois boules tirées sont rouges, le joueur gagne 100 euros ; si exactement deux boules tirées sont
rouges, il gagne 15 euros ; si une seule boule est rouge, il gagne 4 euros ; dans les autres cas, il ne gagne
rien.
On appelle X la variable aléatoire qui prend pour valeurs le gain, en euros, du joueur lors d’un jeu.
a. Déterminons la loi de probabilité de la v.a. X
X peut prendre pour valeurs 100, 15, 4 ou 0.
o p(X=15)=p(A)=
5
14
o Tirer exactement 3 boules rouges revient à constituer une combinaison de 3 éléments parmi 4. Il y a
donc 
4
3
=4 possibilités de tirer exactement 3 boules rouges donc p(X=100)=
4
84
=
1
21
o Tirer deux boules non rouges revient à constituer une combinaison de 2 éléments parmi 5 et tirer une
boule rouge revient à constituer une combinaison de 1 élément parmi 4, il y a donc 
5
2
4
1
=40
possibiltés de tirer exactement 1 boule rouge donc p(X=4)=
40
84
=
10
21
o p(X=0)=1−(P(X=4)+p(X=15)+p(X=100))=1−
10
21
−
5
14
−
1
21
=
5
42
D’où la loi de probabilité de la v.a. X :
x
i
100 15 4 0
P
( )
X=x
i
1
21
5
14
10
21
5
42
b. Pour une mise de 10 euros, le jeu est-il favorable au joueur ?
Calculons l’espérance de X : E(X)=
∑
i=0
i=3
x
i
p
( )
X=x
i
=100×
1
21
+15×
5
14
+4×
10
21
+0×
1
14
=
505
42
ó12,02
En moyenne, le joueur peut donc espérer gagner 2,02 euros environ.
Pour une mise de 10 euros, le jeu est favorable au joueur .