Première S Exercices sur les variables aléatoires Exercice 1 Une

Première S
Exercices sur les variables aléatoires
Exercice 1 Une variable aléatoire X a pour loi de probabilité :
xi
pi
-2
0,56
-1
0,15
1
0,2
5
a
1. La somme des probabilités doit être égale à 1. Donc : 0.56 + 0.15 + 0.2 + a = 1 soit a = 0.09
2. L’événement X > 0 est la réunion disjointe des événements X = 1 et X = 5 ((X > 0) = (X = 1) ∪ (X = 5)
avec (X = 1) ∩ (X = 5) = ∅) Donc :
p(X > 0) = p(X = 1) + p(X = 5) = 0.2 + 0.09 = 0.29
3. E (X ) = −2 × 0.56 + (−1) × 0.15 + 1 × 0.2 + 5 × 0.09 = −0.62 et V (X ) ≈ 4.45.
4. Si X ′ = aX + b alors E (X ′ ) = aE (X ) + b et V (X ′ ) = a 2 V (X ). D’où E (X ′ ) = 1.2E (X ) = 1.2 × (−0.62) = −0.744
et V (X ′ ) = 1.22 × 4.45 = 6.408.
X − E (X )
. D’après les remarques précédentes, E (Y ) = 0 et V (X ) = 1.
5. Il faut crée la variable Y = p
V (X )
Exercice 2 On choisit un chiffre entre 1 et 6. On lance un dé trois fois de suite. On gagne 3(si le chiffre sort
trois fois,2(si le chiffre sort deux foi s, 1(si le chiffre sort une fois et rien si le chiffre ne sort pas.
On appelle X la variable aléatoire égale au gain du joueur.
1. EN utilisant un arbre où la probabilité d’obtenir le bon chiffre est
5
de , on obtient :
6
X =k
p(X = k)
2. E (X ) = 0.5 et V (X ) =
0
125
216
1
75
216
2
15
216
1
et celle de ne pas l’obtenir est donc
6
3
1
216
5
.
12
125m + 108
.
216
108
Si on veut donc E (X ) = 0 il faut prendre m tel que 125m + 108 = 0 soit précisément m = −
!
125
3. On remplace dans le tableau précédent 0 par m. Le calcul de l’espérance mène alors à E (X ) =
Exercice 3 Un jeu consiste à tirer trois boules sans remise dans une urne contenant six boules blanches et
quatre boules rouges.
Si les trois boules tirées sont rouges, le joueur gagne 100 ( ; si exactement deux boules tirées sont rouges,
il gagne 15 ( et si une seule est rouge il gagne 4 (. Dans tous les autre cas, il ne gagne rien.
Soit X la variable aléatoire qui prend pour valeurs le gain en euros du joueur lors d’un jeu. L’arbre suivant
décrit toutes les possibilités ainsi que leur probabilité.
0,1
0,9
0,99
P
0,01
P
0,98
P
0,02
P
S
S
1. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X .
2. Pour un jeu, la mise est de 10 (. Le jeu est-il favorable au joueur ?
Lycée JB de Baudre à AGEN
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3. Quelle doit être le gain obtenu pour une boule roue pour que l’espérance soit égale à 5 euros, avec
toujours une mise de 10 euros.
4. Pour l’organisateur, le jeu ne s’avérant pas suffisamment rentable, celui-ci envisage deux solutions :
– soit augmenter la mise de 1 (, donc passer à 11 (,
– soit diminuer chaque gain de 1 (, c’est-à-dire ne gagner que 99 (, 14 ( ou 3 (.
Quelle est la solution la plus rentable pour l’organisateur ?
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