1. Probabilités et Variables Aléatoires

1. Probabilités et Variables Aléatoires
Si les événements élémentaires sont équiprobables,
E
étant l’ensemble des événements de cardinal n
∀A⊂E(n),p(A)= card(A)
n
Théorème des probabilités totales
p(A⋃B)=p(A)+p(B)-p(A⋂B)
Si les événements sont incompatibles alors
p(A⋃B)=p(A)+p(B)
Axiome des probabilités conditionnelles
p(X*A)= p(X⋂A)
p(A)
Théorème des probabilités composées
p(A⋂B)=p(A)×p(B/A)
Si les événements sont indépendants alors
p(A⋂B)=p(A)×p(B)
Loi de Bernoulli
Soit une urne contenant des boules rouges (
X=1
), en proportion
ϖ
et des boules blanches (
X=0
), en proportion
1-ϖ
;
on tire une boule, alors :
p(X=1)=ϖ
;
p(X=0)=1-ϖ
Loi binomiale (tirage non exhaustif)
On tire successivement
n
boules, avec remise, dans une urne contenant des boules rouges et blanches, les boules rouges en
proportion
ϖ
(les boules blanches en proportion
1-ϖ
). Alors, la probabilité d’obtenir
k
boules rouges est égale à :
p(K=k)=n
kϖk(1-ϖ)n-k
Loi hypergéométrique (tirage exhaustif)
On tire
n
boules, sans remise, dans une urne contenant
N
boules parmi lesquelles
R
boules rouges et
N-R
boules
blanches. Alors la probabilité d’obtenir
k
boules rouges est égale à :
p(K=k)= R
kN-R n-k
N
n
Loi de Poisson
La densité de probabilité de la loi de Poisson est égale à :
p(K=k)=e-λ λk
k!
Elle constitue également la limite de la loi binomiale quand
n→∞
,
ϖ→0
et
nϖ=λ
fini (en pratique
n>50
et
ϖ<0.1
).
Espérance mathématique (!)
Loi de Bernouilli :
8(X)=ϖ
Loi binomiale :
8(X)=nϖ
Loi de Poisson :
8(X)=λ
Loi hypergéométrique :
8(X)=nϖ
Théorème de Bayes
Soit un événement
B
dont la réalisation dépend de l'une des causes
Ai
alors :
p(Ai*B)= p(Ai)×p(B/Ai)
∑kp(Ak)×p(B/Ak)
www.thierry-verdel.com