Devoir facultatif 6 Var aléa 2.doc

Devoir facultatif 6 Var aléa 2 On « rappelle » que
!!)( !kkn n
k
n
.
Partie A note : bien sûr,
n
k
k
kaA
0
1
.
1
11.
n
j
j
jaA
…et
1
1
k
r
r
k
r
k
.
1 ) Soient
a
et
b
des réels. Montrer que pour tout entier naturel
n
,
 n
k
knk
nba
k
n
ba 0
.
(formule dite du binôme de Newton). Ecrire avec le triangle de Pascal cette identité si
n
vaut 2, 3 ou 4.
2 ) Soit
X
une variable aléatoire suivant la loi binomiale
),( pnBin
. Montrer que
npXE )(
.
Partie B Intermède Quatre fois le même résultat
Une boite contient
0r
boules rouges et
0b
boules bleues, avec
2br
.
1 ) On en tire deux. Calculer P (« la deuxième est rouge »), oui, on distinguera les cas avec et sans remise !
2 ) On en tire trois. Calculer P (« la troisième est rouge »), oui…
3 ) On en tire
k
)( brk 
….. n’est pas demandé !
Partie C La question 2 pourrait être traitée plus efficacement avec une notion hors-programme (voir la correction).
Une boite contient
0r
boules rouges et
0b
boules bleues. On en tire
n
sans remise (
brn 0
).
On désigne par
X
la variable aléatoire : nombre de boules rouges obtenues. A priori
nX 0
.
1 ) Soit
k
entier entre 0 et
n
. Vérifier que
0)(  kXP
si on a la condition notée ( C ) :
rk 
ou (
bn
et
bnk 
).
2 ) On suppose que ( C ) n’est pas vérifiée et on considère une branche de l’arbre des probabilités menant à
l’obtention de
k
boules rouges. Expliquer (rapidement !) pourquoi sa probabilité est du type :
)...2)(1)(()...2)(1(.)...2)(1( brbrbr bbbrrr
. Combien y a –t-il de telles branches ?
Noter que
)!1( !
))...(2)(1(   ar r arrrr
. Prouver
n
rb
kn
b
k
r
kXP )(
.
3 ) Noter que si
yx 
,
0
x
y
. (variante : si
yx 
, on pose :
0
x
y
). Montrer que la formule obtenue
pour
)( kXP 
est vraie aussi lorsque ( C ) est vérifiée. La formule
1)(
0
n
kkXP
, qui s’écrit aussi
n
rb
kn
b
k
r
n
k0
est notée ( F ), plus lisible sous la forme
n
NN
kn
N
k
N
n
k
21
0
21
.
4 ) Déduire de ce qui précède en utilisant
1
1
k
r
r
k
r
k
(note au début de la partie A) et ( F ) avec un
léger changement d’indice, que
npXE )(
où
p
est la proportion des boules rouges au départ.