Exercice 1 Une urne contient des boules noires et des boules

Exercice 1
Une urne contient des boules noires et des boules blanches. Le nombre de boules
noires est le triple du nombre de boules blanches.
1. On tire au hasard une boule . Quelle est la probabilité que cette boule soit
noire ?
n blanches. 3n noires. 4n boules en tout. Succès = S= "obtenir une boule
noire".
3n
3
p = P (S) =
=
4n
4
2. On tire à présent trois boules successivement avec remise. X est la variable
aléatoire qui compte le nombre de boules noires obtenues.
Donner la loi de probabilité de X.
La précision "successif avec remise" est importante ici, car c’est elle qui
assure l’indépendance des épreuves successives, condition nécessaire pour
que X suive une loi binômiale
3
1
1
3
P (X = 0) =
p0 (1 − p)3 = 1 × 1 ×
=
0
4
64
2
3
1
9
3
P (X = 1) =
p1 (1 − p)2 = 3 × ×
=
1
4
4
64
2 1
27
3
3
×
=
P (X = 2) =
p2 (1 − p)1 = 3 ×
2
4
4
64
3
3
27
3
P (X = 3) =
p3 (1 − p)0 = 1 ×
×1=
3
4
64
Exercice 2
On lance six fois une pièce de monnaie équilibrée. Quelle est la probabilité
d’obtenir :
1. exactement trois fois Pile
reconnaître une loi binômiale B(6; 0, 5) puisqu’il y a 6 lancers indépendants
1
avec P(Succès)= p = .
2
3 3
1
1
20
5
6
P (X = 3) =
p3 (1 − p)3 = 20 ×
×
=
=
3
2
2
64
16
2. au plus deux fois Pile
1
6
15
, P (X = 1) =
et P (X = 2) =
64
64
64
22
Alors P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) =
64
De même P (X = 0) =
1
G.Gremillot
3. au moins une fois Pile.
1 − P (X = 0) − P (X = 1) = 1 −
1
6
57
−
=
64 64
64
Exercice 3
La durée de vie d’un composant est une variable aléatoire T (exprimée en jours)
qui suit une loi exponentielle de paramètre 0,005.
Calculer les probabilités des événements suivants :
1. la durée de vie excède 300 jours.
Z +∞
+∞
P (X ≥ 300) =
0, 005e−0,005x dx = −e−0,005x 300 = 0 + e−1,5
300
car lim − e−0,005x = 0.
x→+∞
Finalement, P (X ≥ 300) ≈ 0, 223.
2. la durée de vie est au plus une année.
Z 365
365
P (X ≤ 365) =
0, 005e−0,005x dx = −e−0,005x 0 = −e−1,825 + e0 ≈
0, 839
0
3. la durée de vie est entre un et deux ans.
Z 730
730
P (365 ≤ X ≤ 730) =
0, 005e−0,005x dx = −e−0,005x 365 = −e−3,65 +
e−1,825 ≈ 0, 135
365
2
G.Gremillot