Page 1 1ère Partie - La divisibilité dans

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1ère Partie - La divisibilité dans  - La leçon
1. Rappel
L’ensemble des entiers naturels est noté  .
 est constitué des entiers positifs ou nuls :   0;1;2;3;... .
Notation :  *   \ 0 .
L’ensemble des entiers relatifs est noté  .
 est constitué de tous les entiers positifs, négatifs ou nuls :
  .....; 2; 1;0;1;2;3;... .
Notation :  *   \ 0 et    
2. Les nombres parfaits, déficients et abondants
Définitions
Un entier naturel est parfait s’il est égal à la somme de ses diviseurs positifs
autre que lui-même.
Exemples de nombres parfaits : 6, 28, 496
Un entier naturel est déficient si la somme de ses diviseurs positifs propres lui
est inférieur.
Exemples de nombres déficients : 9, 25
Un entier naturel est abondant si la somme de ses diviseurs positifs propres lui
est supérieur.
Exemples de nombres abondants : 12, 18
3. La divisibilité dans 
3.1 Définition
Soit a, b et c trois entiers non nuls.
On dit que b divise a si et seulement si, il existe un entier relatif k tel que
a=kb.
3.2 Vocabulaire
b est appelé diviseur de a et a est un multiple de b.
3.3 Notation
a=kb se note aussi b/a
3.4 Remarques
 Tous les entiers relatifs non nuls sont des diviseurs de 0.
 0 est donc un multiple de tous les entiers
 1 et –1 sont diviseurs de tous les entiers relatifs.
3.5 Propriétés
P1 : Si a divise b et b divise c alors a divise c
Démonstration 1
P2 : Si b divise a et b divise c alors b divise ua+vc avec u et v entiers relatifs
Démonstration 2
3.6 Conséquences
•Si b divise a donc -b divise a
•Si b divise a alors b  a
•Si b divise a et a divise b alors b=a ou b=-a
•Si b divise a alors bc divise ac
4. Le raisonnement par récurrence
4.1 Le principe
Soit une propriété Pn dépendant d’un entier naturel n.
Pour démontrer que Pn est vraie pour tout entier n  no , il suffit de montrer
que :
(1) la propriété est vraie au rang no .
(2) pour un entier quelconque n n  no  , Pn vraie implique Pn  1 vraie.
4.2 La méthode : 3 étapes
Initialisation : on vérifie la propriété Pn au rang initial no soit PnO vraie
Hérédité : on suppose que la propriété Pn est vraie au rang quelconque n
avec n  no et on démontre sous cette hypothèse que la propriété est vraie au
rang Pn  1 .
Conclusion : l’axiome ci-dessus permet de conclure que la propriété est alors
vraie pour n  no .
1ère Partie - La divisibilité dans  - Les exercices
a et b sont deux entiers relatifs non nuls.
Exercice 1
Montrer que si a divise b et b divise a alors a=b ou a=-b
Exercice 2 ( raisonnement par disjonction de cas)
Démontrer que pour tout entier k, l’entier k(k+1) est pair.
Exercice 3 ( raisonnement par contraposée)
Démontrer que pour tout entier naturel n, si n2 est impair alors n est impair.
Exercice 4 ( raisonnement par récurrence)
Démontrer que pour tout entier naturel n non nul, n(n+1)(2n+1) est divisible par
6.divisible par 6
Exercice 5
Montrer que ab est un entier impair si et seulement si a et b sont impairs.
Exercice 6
Soit a et n deux entiers naturels.
Montrer que si a divise n+3 et a divise 3n+12 alors a divise 3 et déduire les
valeurs possibles de a.
Exercice 7
Déterminer les entiers relatifs n tels que n4 divise 3n17
Exercice 8
Déterminer les entiers relatifs n tels que n+2 divise 3n1
Exercice 9 Vrai / faux en justifiant rigoureusement
1) Si un entier est divisible par 49 et par 35 alors cet entier est divisible par
49x35=1715.
2) Si un nombre est divisible par 3 alors il est divisible par 9
3) Si a divise b et c alors a divise b-c
4) La somme de deux diviseurs d’un entier est encore un diviseur de cet entier.
5) Le produit de deux entiers pairs est pair
6) Le produit de deux entiers impairs est impair
Exercice 10
Deux entiers distincts sont dits « amis » si la somme des diviseurs positifs A
excepté A est égale à B et la somme des diviseurs positifs de B excepté B est
égale à A.
Démontrer que 220 est un nombre ami d’un autre entier.
Exercice 11
Déterminer tous les couples d’entiers naturels (a ;b) tels que : (a+4)(b-1)=14
Exercice 12
Démontrer que pour tout entier naturel n, 7n  2n est un multiple de 5.
Exercice 13
Démontrer que pour tout entier naturel n,
An  (n  1)(n  2)...(2n  1)(2n) est divisible par 2n .
Exercice 14
On considère le nombre A  n(n  1)(n  2)
1) Démontrer que A est divisible par 2
2) Démontrer que A est divisible par 3
3) Si A est divisible par 8, n est-il pair ?
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