Divisibilité : exercices

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Divisibilité : exercices
1. Déterminer tous les entiers ntels que 2n−3divise n+ 5 (former une combinaison
linéaire pour éliminer n)
Soit x= 2n−3et y=n+ 5. Alors 2y−x= 13.
Donc si xdivise yalors nécessairement il divise la combinaison linéaire 2y−x, donc
il divise 13 (c’est une condition nécessaire, mais on ne sait pas encore si elle est
suffisante).
13 est un nombre premier, ses seuls diviseurs sont 11,13,−1,−13..
On examine ensuite chacun de ces cas pour savoir s’il est bien solution du problème
initial.
x1 13 −1−13
n2 8 1 −5
y7 13 6 0
solution?oui oui oui oui
Donc l’ensemble des solutions est {−5,1,2,8}
2. Démontrer que, pour tout xentier relatif, on a l’équivalence :
x4est divisible par 3 ⇔xest divisible par 3 (envisager les trois cas 3k,3k+ 1,3k+ 2)
On utilise l’identité remarquable :
(a+b)4=a4+ 4a3b+ 6a2b2+ 4ab3+b4
Si x= 3k,x4= 81k4= 3 ×27k4, divisible par 3.
Si x= 3k+ 1,x4=· · · = 3K+ 1, non divisible par 3.
Si x= 3k+ 2,x4=· · · = 3K+ 1, non divisible par 3.
Or tout nombre entier s’écrit d’une des formes 3k,3k+ 1 ou 3k+ 2.
Donc le seul cas où x4est divisible par 4 est lorsque x= 3k, c’est-à-dire lorsque x
est multiple de 3.
Cela prouve l’équivalence demandée.
3. Déterminer tous les couples (x, y)d’entiers relatifs tels que y2= 9x2+ 25 (identité
remarquable, diviseurs de 25).
(y−3x)(y+ 3x)=52
Envisager ensuite tous les diviseurs de 52, pour chacun résoudre un système.
4. Démontrer l’équivalence suivante pour tout entier relatif n:
n+ 2 divise 3n2+ 7n+ 13 ⇔n+ 2 divise 11.
On utilisera (en l’admettant) le fait que les racines réelles du polnyôme 3x2+7x+2
sont −2et −1
3. Factoriser.
3n2+ 7n+ 13 = (3n+ 1)(n+ 2) + 11.
Théorème de la combinaison linéaire.
5. Démontrer l’équivalence : 49n2−1est divisible par 4 ⇔nest impair (envisager les
deux cas npair, nimpair).
Si n= 2p, alors 49n2−1 = · · · = 4k−1, donc non divisible par 4.
Si n= 2p+ 1, alors 49n2−1 = · · · = 4k.
6. Déterminer les entiers aqui divisent n−1et n2+n+3 (par des combinaisons linéaires,
faire apparaître n2−2n+ 1, puis 3n+ 2, puis 5).
Indications :
n2+n+ 3 = n2−2n+ 1 + 3n+ 2, donc 3n+ 2 = (n2+n+ 3) −(n−1)2.
Donc si adivise n−1et n2+n+ 3, alors il divise 3n+ 2 (combinaison linéaire).
Or 3n+ 2 = 3(n−1) + 5, donc 5=3n+ 2 −3(n−1), donc adivise 5 (combinaison
linéaire). Donc a∈ {−5,−1,1,5}.
•Réciproque : pour quels nles valeurs précédentes de asont-elles solutions ?
Pour a= 1 ou −1: la propriété est vraie pour tout n(1 et −1divisent tous les
nombres).
Pour a= 5 ou a=−5, le nombre 5 doit diviser n−1, donc n= 1 + 5ket dans ce
cas on a bien n2+n+3=1+1+3+5k0= 5K.
Réponse :
Si n= 1 + 5kalors les asolutions sont {−5,−1,1,5}.
Sinon les asolutions sont {−1,1}.
•Variante : n2+n+ 3 = n(n−1) + 2n+ 3 et 2n+ 3 = 2(n−1) + 5