Divisibilité : exercices

Divisibilité : exercices
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Divisibilité : exercices
1. Déterminer tous les entiers n tels que 2n − 3 divise n + 5 (former une combinaison
linéaire pour éliminer n)
Soit x = 2n − 3 et y = n + 5. Alors 2y − x = 13.
Donc si x divise y alors nécessairement il divise la combinaison linéaire 2y − x, donc
il divise 13 (c’est une condition nécessaire, mais on ne sait pas encore si elle est
suffisante).
13 est un nombre premier, ses seuls diviseurs sont 11, 13, −1, −13..
On examine ensuite chacun de ces cas pour savoir s’il est bien solution du problème
initial.
1
13 −1 −13
x
n
2
8
1
−5
y
7
13
6
0
solution? oui oui oui oui
Donc l’ensemble des solutions est {−5, 1, 2, 8}
2. Démontrer que, pour tout x entier relatif, on a l’équivalence :
x4 est divisible par 3 ⇔ x est divisible par 3 (envisager les trois cas 3k, 3k + 1, 3k + 2)
On utilise l’identité remarquable :
(a + b)4 = a4 + 4a3 b + 6a2 b2 + 4ab3 + b4
Si x = 3k, x4 = 81k 4 = 3 × 27k 4 , divisible par 3.
Si x = 3k + 1, x4 = · · · = 3K + 1, non divisible par 3.
Si x = 3k + 2, x4 = · · · = 3K + 1, non divisible par 3.
Or tout nombre entier s’écrit d’une des formes 3k, 3k + 1 ou 3k + 2.
Donc le seul cas où x4 est divisible par 4 est lorsque x = 3k, c’est-à-dire lorsque x
est multiple de 3.
Cela prouve l’équivalence demandée.
3. Déterminer tous les couples (x, y) d’entiers relatifs tels que y 2 = 9x2 + 25 (identité
remarquable, diviseurs de 25).
(y − 3x)(y + 3x) = 52
Envisager ensuite tous les diviseurs de 52 , pour chacun résoudre un système.
4. Démontrer l’équivalence suivante pour tout entier relatif n :
n + 2 divise 3n2 + 7n + 13 ⇔ n + 2 divise 11.
On utilisera (en l’admettant) le fait que les racines réelles du polnyôme 3x2 + 7x + 2
1
sont −2 et − . Factoriser.
3
3n2 + 7n + 13 = (3n + 1)(n + 2) + 11.
Théorème de la combinaison linéaire.
5. Démontrer l’équivalence : 49n2 − 1 est divisible par 4 ⇔ n est impair (envisager les
deux cas n pair, n impair).
Si n = 2p, alors 49n2 − 1 = · · · = 4k − 1, donc non divisible par 4.
Si n = 2p + 1, alors 49n2 − 1 = · · · = 4k.
6. Déterminer les entiers a qui divisent n − 1 et n2 + n + 3 (par des combinaisons linéaires,
faire apparaître n2 − 2n + 1, puis 3n + 2, puis 5).
Indications :
n2 + n + 3 = n2 − 2n + 1 + 3n + 2, donc 3n + 2 = (n2 + n + 3) − (n − 1)2 .
Donc si a divise n − 1 et n2 + n + 3, alors il divise 3n + 2 (combinaison linéaire).
Or 3n + 2 = 3(n − 1) + 5, donc 5 = 3n + 2 − 3(n − 1), donc a divise 5 (combinaison
linéaire). Donc a ∈ {−5, −1, 1, 5}.
• Réciproque : pour quels n les valeurs précédentes de a sont-elles solutions ?
Pour a = 1 ou −1 : la propriété est vraie pour tout n (1 et −1 divisent tous les
nombres).
Pour a = 5 ou a = −5, le nombre 5 doit diviser n − 1, donc n = 1 + 5k et dans ce
cas on a bien n2 + n + 3 = 1 + 1 + 3 + 5k 0 = 5K.
Réponse :
Si n = 1 + 5k alors les a solutions sont {−5, −1, 1, 5}.
Sinon les a solutions sont {−1, 1}.
• Variante : n2 + n + 3 = n(n − 1) + 2n + 3 et 2n + 3 = 2(n − 1) + 5