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C5 - Les probabilités
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Seconde
I. Les bases
E XERCICE 1 (Pour bien démarrer)
On considère un sac contenant 12 jetons numérotés de 1 à 12. On choisit un jeton au hasard.
1. Décrire cette expérience aléatoire.
2. Donner l’univers de cette expérience.
3. Donner un exemple d’événement élémentaire.
4. Donner un exemple d’événement.
5. Soit D l’événement « obtenir un multiple de 4 » . Donner l’ensemble des issues favorables à cet événement.
6. Décrire en français l’événement E = {9 ; 10 ; 11 ; 12 }.
E XERCICE 2 (Univers d’une expérience aléatoire)
Les questions sont indépendantes.
1. On écrit sur chacune des faces d’un dé cubique les lettres du mot CINÉMA. On lance le dé et on note le résultat
de la face supérieure.
(a) Déterminer l’univers Ω de cette expérience.
(b) Soit A l’événement « Obtenir une consonne », décrire A comme sous ensemble de Ω.
2. Une urne contient 3 boules rouges, 2 boules vertes et 2 boules noires. On tire au hasard une boule de l’urne et on
note sa couleur, déterminer Ω l’univers de l’expérience.
3. Une urne contient 3 boules rouges numérotées de 1 à 3, 2 boules vertes numérotées 1 et 2 et 2 boules noires
numérotées 1 et 2. On tire au hasard une boule de l’urne et on note sa couleur et son numéro.
(a) Déterminer U l’univers de cette expérience.
(b) Préciser l’événement B : « Obtenir une boule portant un numéro impair ».
E XERCICE 3 (Représentation d’un univers par un arbre)
semble des résultats obtenus.
1. On lance deux dés tétraèdriques et on s’intéresse à l’en-
(a) Représenter Ω l’univers de cette expérience à l’aide d’un tableau.
(b) Comment représenter autrement cette expérience aléatoire à l’aide d’un arbre ?
(c) Quel est le nombre d’événements élémentaires ?
2. On lance une pièce de monnaie trois fois de suite et on note P et F les événements P : « Obtenir pile »et F : « Obtenir
face ».
(a) Représenter U l’univers de cette expérience à l’aide d’un arbre.
(b) Combien l’expérience admet elle d’événements élémentaires ?
II. Première modélisation
E XERCICE 4
Une entreprise de démarchage par téléphone estime que le nombre de sonneries nécessaire pour qu’une personne
réponde au téléphone suit le modèle de probabilité suivant.
Nombre de sonneries
Probabilités
1
0,05
2
0,2
3
0,3
4
0,2
5
0,1
>5
?
1. En justifiant, donner la valeur en manquante du tableau.
2. Quelle est la probabilité pour que la personne réponde au téléphone en moins de 4 sonneries ?
E XERCICE 5
Un dé (à 6 faces) est truqué de la façon suivante : chaque chiffre pair a deux fois plus de chance de sortir qu’un numéro
impair.
1. Calculer la probabilité d’obtenir un 6.
2. On lance deux fois le dé.
(a) Calculer la probabilité d’obtenir deux fois un chiffre pair.
(b) Calculer la probabilité d’obtenir deux fois un 6.
N. SANS
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E XERCICE 6
En lançant un grand nombre de fois un dé cubique, on a observé que les fréquences d’apparition des faces 1, 2, 3, 4 et
5 étaient les mêmes, mais que la face 6 sortait trois fois plus souvent que chacune des autres faces.
Modéliser ce lancer de dé.
E XERCICE 7
Des modèles.
1. Une pièce est truquée. On s’aperçoit, en la lançant un grand nombre de fois, qu’on a deux fois plus de chances de
tomber sur « Pile » que sur « Face ».
Proposer un modèle de probabilité lié à cette expérience.
2. On fait tourner une roue à quatre couleurs : rouge, jaune, vert et bleu. Chaque secteur représente un quart du
disque. Lorsque la roue s’arrête, un curseur indique un secteur coloré sans jamais s’arrêter sur une frontière.
Quel modèle pouvez-vous choisir avec cette expérience aléatoire ?
E XERCICE 8
Une urne contient 5 boules rouges, 2 boules vertes et 3 boules noires. Les boules sont indiscernables au toucher, on tire
au hasard une boule de l’urne et on note sa couleur.
1. On note Ω l’univers de cette expérience aléatoire, déterminer Ω.
2. Calculer la probabilité de chacun des événements élémentaires de Ω. Justifier le raisonnement.
III. Les propriétés
E XERCICE 9
On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes, on note Ω l’univers de cette expérience. On considère les événements A : « La carte choisie est un as », B : « La carte choisie est une figure » et C : « La carte choisie est un coeur »
1. Décrire les événements suivants par une phrase puis expliciter les comme sous ensembles de Ω.
(a) A ∩ C
(b) A ∪ C
(c) B ∩ C
(d) B ∪ C
(e) B
2. Donner deux événements incompatibles et expliquer l’exemple.
E XERCICE 10
Dans un jeu de 32 cartes, on tire une carte au hasard. Chaque carte a la même probabilité d’être choisie.
On considère les deux événements suivants :
• A : « la carte tirée est un carreau » ;
• B : « la carte tirée est un roi » .
1. Calculer p(A) et p(B).
2. Définir l’événement contraire de A et calculer sa probabilité.
3. Définir A ∩ B puis calculer p(A ∩ B). Les événements A et B sont-ils disjoints ?
4. Définir A ∪ B puis calculer p(A ∪ B).
E XERCICE 11
E est l’ensemble des nombres de 1 à 20 inclus. On choisit au hasard l’un de ces nombres.
1. Quelle est la probabilité des évènements suivants :
• A : « il est un multiple de 2 »
• B : « il est un multiple de 4 »
• C : « il est un multiple de 5 »
• D : « il est un multiple de 2 mais pas de 4 »
2. Calculer la probabilité de :
• A ∩B ;
• A ∪B ;
• A ∩C ;
• A ∪C.
E XERCICE 12
Dans un lycée turinois, on choisit un élève au hasard et on en déduit les événements suivants :
F : « l’élève est une fille »
J : « l’élève est un supporter de la Juve »
T : « l’élève est un supporter du Toro » .
1. Exprimer en fonction de F et J l’événement suivant « l’élève est un garçon qui supporte la Juve » .
2. Exprimer par une phrase l’événement F∪ T.
3. Exprimer par une phrase l’événement F ∪ T , puis F ∩ T . Que remarquez-vous ? Justifier !
E XERCICE 13
Dans un lycée, 250 élèves font partie de l’association sportive : 120 élèves font partie de la section Voile, 90 élèves de la
section Surf et 50 des deux sections.
On désigne au hasard un élève de l’association sportive. Tous les élèves ont la même probabilité d’être désignés.
On considère les événements :
V : « l’élève fait partie de la section voile » et S : « l’élève fait partie de la section surf ».
N. SANS
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1. Déterminer le nombre d’élèves qui :
(a) font uniquement de la voile ;
(b) font uniquement du surf ;
(c) ne font ni surf ni voile.
2. Modéliser cette expérience aléatoire.
3. Définir par une phrase V ∩ S, puis calculer p(V ∩ S).
4. Définir par une phrase V ∪ S, puis calculer p(V ∪ S).
E XERCICE 14
Une urne contient 5 boules indiscernables au toucher numérotées de 1 à 5.
On tire au hasard une boule, on note son numéro, puis on la remet dans l’urne et on tire de nouveau une boule.
Le résultat de l’expérience est une liste de deux chiffres, par exemple 13.
1. Modéliser cette expérience aléatoire et calculer la probabilité de l’événement « obtenir un multiple de 3 » .
2. Faire de même mais dans le cas où on ne remet pas la première boule tirée dans l’urne.
E XERCICE 15
Dans une expérience aléatoire, Étienne s’intéresse à deux événements A et B et il trouve les résultats suivants :
p(A) = 0, 7
p(B) = 0, 6 et p(A ∩ B) = 0, 2.
Pourquoi est-on sûr qu’Étienne s’est trompé ?
E XERCICE 16
Soit A et B deux événements d’un univers Ω muni d’une loi de probabilité.
1. On donne p(B) = 0, 5 ;
p(A ∩ B) = 0, 2
2. On donne p(A) = 0, 28 ;
p(B) = 0, 35
et
et
p(A ∪ B) = 0, 6. Calculer p(A).
p(A ∪ B ) = 0, 6. Calculer p(A ∩ B).
IV. De la méthode
E XERCICE 17 (Avec un tableau)
On envoie un questionnaire à 300 personnes, dont 60 % de femmes, portant sur les loisirs :« Faire du sport, regarder la
télévision ou lire un livre : lequel de ces loisirs préférez-vous ? ».
55% des hommes et 30 % des femmes répondent « Faire du sport ». 42 femmes préfèrent lire un livre.
114 personnes répondent « regarder la télévision ».
1. Compléter le tableau suivant.
Sport
Télévision
Lecture
Total
Homme
Femme
Total
2. Tous les questionnaires ont la même probabilité d’être sélectionné. On choisit un questionnaire au hasard.
Déterminer la probabilité que ce soit celui d’une personne préférant regarder la télévision.
3. Le questionnaire indique que la personne préfère faire du sport.
Quelle est la probabilité que ce soit une femme ?
E XERCICE 18 (Avec un diagramme)
Dans un lot de 1000 cachets contrôlés par un laboratoire, on trouve 38 comprimés ayant un défaut de taille (T) et 57
ayant un défaut de couleur (C). 13 comprimés présentent les deux défauts. Déterminer la probabilité p qu’un comprimé
tiré au hasard dans ce lot n’ait aucun défaut.
E XERCICE 19
Dans une région imaginaire, les météorologistes ont constaté, suite à de nombreux relevés, que :
5
• Si le temps est sec (S) un jour, la probabilité qu’il soit sec le lendemain est de ;
6
2
• Si le temps est humide (H) un jour, la probabilité qu’il soit humide le lendemain est de .
3
Nous sommes un dimanche et le temps est sec. Quelle est la probabilité qu’il soit sec le mardi suivant ?
N. SANS
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V. Méli-mélo
E XERCICE 20
On lance deux dés cubiques parfaitement équilibrés.
1. Déterminer un univers équiprobable de cette expérience.
2. Le jeu consiste à noter l’écart absolu entre les deux nombres obtenus (c’est-à-dire la différence positive).
Compléter le tableau suivant en y indiquant l’écart absolu obtenu.
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
3. En déduire la probabilité de l’événement A : « obtenir un écart de 1 » .
4. En déduire la probabilité de l’événement B : « obtenir un écart d’au plus 2 » .
5. Donner la signification de l’événement B et calculer sa probabilité.
E XERCICE 21
Aurélien possède une clé USB sur laquelle il a mis ses jeux préférés. Sur sa clé, il y a :
• 7 jeux cérébraux numérotés de 1 à 7 ;
• 35 jeux d’aventure numérotés de 8 à 42 ;
• 32 jeux de combats numérotés de 43 à 74 ;
• 26 jeux d’enquêtes numérotés de 75 à 100.
Tous les jeux ont la même probabilité d’être choisis. Aurélien choisit un jeu au hasard sur sa clé.
On considère les événements A : « le jeu est un jeu de combat » et B : « le jeu n’est pas un jeu cérébral ».
1. Déterminer la probabilité de l’événement A.
2. Déterminer la probabilité de l’événement B et en déduire p(B).
3. On considère l’algorithme suivant qui simule le choix d’Aurélien.
Variables :
N, K deux nombres entiers
Début
Affecter à K la valeur 0
Affecter à N un nombre aléatoire entre 1 et 100
Tant que N 6 74
Affecter à K la valeur K+1
Affecter à N un nombre aléatoire entre 1 et 100
Fin Tant que
Afficher K
(a) Quel type de jeu souhaite Aurélien ?
(b) Dans cet algorithme, que représente K ?
E XERCICE 22
Dans un magasin, une enquête menée sur les 500 derniers achats révèle les informations suivantes :
• 50 % des achats sont payés par chèque
• 70 % des achats ont un montant inférieur ou égal à 200 ( , et 20 % d’entre eux sont réglés en espèces
• 15 % des achats sont réglés par carte et ont un montant inférieur ou égal à 200 (
• 2 % des achats ont un montant supérieur à 200 ( et ils sont réglés en espèces
1. Compléter le tableau des effectifs ci - dessous sans justifier :
Mode de paiement
Montant des achats x en (
x 6 200 (M)
x > 200
Total
Espèces (A)
Chèques (B)
Carte (C)
Total
N. SANS
500
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Le double des tickets de caisse de ces achats est conservé dans un tiroir et on choisit l’un d’entre eux au hasard. On
suppose que tous les tickets sont identiques, et on note les événement suivants :
A : « l’achat est réglé en espèces »
B : « l’achat est réglé par chèque »
C : « l’achat est réglé par carte »
M : « le montant de l’achat est inférieur ou égal à 200 ( »
2. Indiquer ce que représente l’événement M et calculer sa probabilité. En déduire P (M).
3. Décrire par une phrase l’événement A ∩ M puis calculer P (A ∩ M).
4. Décrire l’événement A ∪ M puis calculer sa probabilité.
5. On considère l’événement E défini par le ticket choisi a un montant qui n’est pas inférieur ou égal à 200 ( et
l’achat n’a pas été payé en espèce.
(a) Comment peut - on noter cet événement en utilisant les événements prédéfinis ?
(b) Calculer la probabilité P (E ).
E XERCICE 23
Lors d’un concours, Bruno doit répondre à trois questions de type « vrai ou faux » .
Ne connaissant aucune réponse, il décide de répondre au hasard.
1. À l’aide d’un arbre de probabilité, décrire la situation en utilisant V : « Bruno choisit vrai » et F : « Bruno choisit
faux » .
2. Calculer les probabilités des événements suivants :
• « Bruno n’a aucune bonne réponse »
• « Bruno a exactement deux bonnes réponses »
• « Bruno a au-moins une bonne réponse »
VI. Du dénombrement
E XERCICE 24
Mathieu doit visiter quatre villes A, B, C et D mais il hésite sur l’ordre de passage.
1. Préciser tous les chemins possibles.
2. Il choisit au hasard un de ces chemins. Quelle est la probabilité que le chemin choisi :
(b) finisse en C ?
(a) démarre par B ?
(c) passe en C juste après B ?
E XERCICE 25
Dans une classe de 30 élèves dont Yvonne et Gérard, deux élèves se serrent la main.
Quelle est la probabilité que Gérard sert la main à Yvonne ?
E XERCICE 26
Un tableau est constitué de huit cases numérotées de 1 à 8. On place au hasard sur chaque case une lettre choisie au
hasard parmi a et b. Calculer la probabilité que le tableau contienne au moins un a.
VII. Des marches aléatoires
E XERCICE 27 (les sauts du kangourou)
Un kangourou paresseux se trouve sur une route. Il ne peut avancer que par sauts successifs.
On représente la route par une droite graduée. Le kangourou se trouve à l’origine O et on suppose que le mouvement
de l’animal est guidé selon l’algorithme suivant, dans lequel x représente l’abscisse du point où se trouve le kangourou.
Variables
Initialisation
Traitement
Sortie
x entier naturel
x prend la valeur 0
Si random()<0,2 alors
x prend la valeur x + 1
FinSi
Afficher x
1. Pourquoi le déplacement n’est-il qu’aléatoire ?
2. Pourquoi qualifier le kangourou de « paresseux » ?
3. Le kangourou envisage, toujours avec la méthode précédente, trois déplacements éventuels et consécutifs.
Modifier l’algorithme précédent de façon à simuler ces trois sauts et à afficher sa position fianle.
4. Quelles sont, à l’arrivée, les valeurs possibles de l’abscisse du kangourou ?
5. Donner un modèle de probabilité adapté pour la position aléatoire du kangourou qui a envisagé ces trois sauts.
N. SANS
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IX. En route vers de nouveaux horizons
E XERCICE 28
On dispose d’une pièce déséquilibré. On sait que la probabilité d’obtenir pile est supérieure de 0,2 à celle d’obtenir face.
1. Déterminer la probabilité d’obtenir pile en un lancer. En déduire la probabilité d’obtenir face en un lancer.
2. Une expérience aléatoire consiste à lancer trois fois de suite cette pièce et à noter dans l’ordre d’apparition les 3
côtés, pile ou face, obtenus.
(a) À l’aide d’un arbre, déterminer l’univers Ω et préciser la probabilité de chacune des issues.
(b) Soit A l’événement « on obtient plus de pile que de face ». Déterminer p(A).
E XERCICE 29
Pour se rendre à son travail, un automobiliste rencontre trois feux tricolores. On suppose que les feux fonctionnent de
manière indépendante, que l’automobiliste s’arrête s’il voit le feu orange ou rouge et qu’il passe si le feu est vert. On
suppose de plus que chaque feu est vert durant un temps égal à rouge et orange (autrement dit, l’automobiliste à autant
de chance de passer que de s’arrêter).
1. Faire un arbre représentant toutes les situations possibles.
2. Quelle est la probabilité que l’automobiliste ait :
(a) les trois feux verts ?
(b) deux des trois feux verts ?
E XERCICE 30 (Contrôle de qualité)
Dans une production de 100000 pièces d’usine, on tire au hasard une pièce et on contrôle sa qualité.
Toutes les pièces ont la même probabilité d’être choisie.
À l’issue du contrôle, la pièce est soit acceptée, soit refusée.
Cependant, il arrive que le contrôle fasse des erreurs de diagnostic.
On définit les événements suivants :
V : « la pièce est valable » ;
A : « la pièce est acceptée ».
5 % des pièces sont non valables (défectueuses).
Une pièce valable a 2 % de chances d’être refusée.
Une pièce défectueuse a 20 % de chances d’être acceptée.
1. Compléter le tableau suivant :
Acceptée
Refusée
Total
Valable
Défectueuse
Total
2. On choisit une pièce au hasard dans ce lot.
(a) Quelle est la probabilité pour cette pièce d’être acceptée ?
(b) Le risque de l’acheteur est la probabilité d’avoir une pièce défectueuse alors qu’elle est acceptée.
Déterminer le risque de l’acheteur.
(c) Définir le risque du vendeur et le déterminer.
N. SANS
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