DEVOIR MAISON NO 5

Lycée Dupuy de Lôme – 2016/2017 Mathématiques – ECS 1
DEVOIR MAISON NO5
Pour le jeudi 17 novembre 2016
Toute réponse doit être soigneusement justifiée et rédigée.
EXERCICE 1
Le directeur d’un zoo dispose de ncages pour y enfermer les animaux malades. Par mesure
d’hygiène il choisit de mettre au plus un animal par cage et de ne jamais remplir deux cages
voisines. On s’intéresse au nombre unde manières différentes de placer des animaux dans ces
ncages en suivant cette règle. On convient que u0=1.
1. Déterminer u1.
2. Déterminer u2.
3. Montrer que pour tout n∈N,un+2=un+1+un.
4. En déduire unen fonction de n.
EXERCICE 2
1. On considère la suite (un)n∈Ndéfinie par u0=0 et ∀n∈N,un+1= −2un+3.
(a) Écrire un programme Scilab qui demande un entier naturel nà l’utilisateur, calcule
tous les termes de la suite jusqu’à un, puis affiche un.
(b) Déterminer l’expression de unen fonction de n. Étudier la limite de la suite (un).
(c) Écrire un programme Scilab qui demande un réel bà l’utilisateur et qui affiche le
plus petit entier ntel que un>b.
2. On considère la matrice A=
−5 0 −6
313
304
. Soit Mla matrice telle que A=I3+3M.
(a) Donner Mpuis calculer M2.
(b) Démontrer que ∀n∈N,An=I3+unM.
(c) En déduire Anen fonction de n.
EXERCICE 3
Soit A=
312
103
211
.
1. Montrer que Aest inversible et calculer son inverse.
2. Résoudre le système suivant, d’inconnues (x,y,z)∈R3:
(S) : 
3x+y+2z=2
x−3z=4
2x+y+z= −2
1/1