DEVOIR MAISON NO 5

Lycée Dupuy de Lôme – 2016/2017
Mathématiques – ECS 1
D EVOIR MAISON N O 5
Pour le jeudi 17 novembre 2016
Toute réponse doit être soigneusement justifiée et rédigée.
E XERCICE 1
Le directeur d’un zoo dispose de n cages pour y enfermer les animaux malades. Par mesure
d’hygiène il choisit de mettre au plus un animal par cage et de ne jamais remplir deux cages
voisines. On s’intéresse au nombre u n de manières différentes de placer des animaux dans ces
n cages en suivant cette règle. On convient que u 0 = 1.
1. Déterminer u 1 .
2. Déterminer u 2 .
3. Montrer que pour tout n ∈ N, u n+2 = u n+1 + u n .
4. En déduire u n en fonction de n.
E XERCICE 2
1. On considère la suite (u n )n∈N définie par u 0 = 0 et ∀n ∈ N, u n+1 = −2u n + 3.
(a) Écrire un programme Scilab qui demande un entier naturel n à l’utilisateur, calcule
tous les termes de la suite jusqu’à u n , puis affiche u n .
(b) Déterminer l’expression de u n en fonction de n. Étudier la limite de la suite (u n ).
(c) Écrire un programme Scilab qui demande un réel b à l’utilisateur et qui affiche le
plus petit entier n tel que u n > b.


−5 0 −6
2. On considère la matrice A =  3 1 3 . Soit M la matrice telle que A = I 3 + 3M .
3 0 4
(a) Donner M puis calculer M 2 .
(b) Démontrer que ∀n ∈ N, A n = I 3 + u n M .
(c) En déduire A n en fonction de n.
E XERCICE
3


3 1 2
Soit A = 1 0 3.
2 1 1
1. Montrer que A est inversible et calculer son inverse.
2. Résoudre le système suivant, d’inconnues (x, y, z) ∈ R3 :



3x + y + 2z = 2
(S) : x − 3z = 4


2x + y + z = −2
1/1