Devoir commun

Devoir commun
Samedi 29 novembre 2014
Mathématiques
Classes de Terminales S
Durée de l’épreuve : trois heures
Ce sujet comporte 4 pages numérotées de 1 à 4.
Chaque exercice sera rédigé sur une copie séparée.
L’utilisation d’une calculatrice est autorisée.
Le sujet est composé de quatre exercices indépendants.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements
entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.
E XERCICE 1
5 points
Un volume constant de 2 200 m3 d’eau est réparti entre deux bassins A et B.
Le bassin A refroidit une machine. Pour des raisons d’équilibre thermique on crée un courant d’eau
entre les deux bassins à l’aide de pompes.
On modélise les échanges entre les deux bassins de la façon suivante :
• au départ, le bassin A contient 800 m3 d’eau et le bassin B contient 1 400 m3 d’eau ;
• tous les jours, 15% du volume d’eau présent dans le bassin B au début de la journée est transféré vers le bassin A ;
• tous les jours, 10% du volume d’eau présent dans le bassin A au début de la journée est transféré vers le bassin B.
Pour tout entier naturel n, on note :
• a n le volume d’eau, exprimé en m3 , contenu dans le bassin A à la fin du n-ième jour de fonctionnement ;
• b n le volume d’eau, exprimé en m3 , contenu dans le bassin B à la fin du n-ième jour de fonctionnement.
On a donc
a 0 = 800 et b 0 = 1 400
1. Par quelle relation entre a n et b n traduit-on la conservation du volume total d’eau du circuit ?
2. Justifier que, pour tout entier naturel n,
3
a n+1 = a n + 330
4
3. L’algorithme ci-dessous permet de déterminer la plus petite valeur de n à partir de laquelle a n
est supérieur ou égal à 1 100.
Recopier cet algorithme en complétant les parties manquantes.
Variables :n est un entier naturel
a est un réel
Initialisation : Affecter à n la valeur 0
Affecter à a la valeur 800
Traitement :
Tant que a < 1 100 faire
Affecter à a la valeur · · ·
Affecter à n la valeur · · ·
FinTantque
Sortie
Afficher n
Fin Algorithme
4. Pour tout entier naturel n, on note u n = a n –1 320
a. Montrer que la suite (u n ) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et
la raison.
b. Exprimer u n en fonction de n. En déduire que, pour tout entier naturel n,
µ ¶n
3
a n = 1 320 − 520 ×
4
c. À combien peut-on estimer le volume d’eau contenu dans le bassin A au bout d’une année ?
1
E XERCICE 2
6 points
→
− →
−´
Le plan est rapporté à un repère orthonormé O, ı , 
³
Soit f la fonction définie sur R par :
¡
¢p
x2 + 1
f (x) = x 3 − 1
1. Faire apparaître sur l’écran de la calculatrice graphique la courbe représentative de cette fonction dans la fenêtre
−5 ≤ x ≤ 5 et − 4 ≤ y ≤ 4
Reproduire l’allure de la courbe obtenue sur la copie.
2. Déterminer les limites de f en −∞ et +∞
3. On se propose maintenant d’étudier plus précisément la fonction f .
a. Déterminer la fonction dérivée f 0 de la fonction f et en déduire que le signe de f 0 (x) est le
même que celui de P(x) = 4x 4 + 3x 2 –x
b. Soit
Q(x) = 4x 3 + 3x–1
Étudier les variations de Q sur R et démontrer que l’équation Q(x) = 0 admet une unique
solution α sur R dont on donnera une valeur approchée à 10−3 près.
c. En déduire le signe de Q(x) puis le signe de f 0 (x).
d. Dresser le tableau de variations de f sur R.
4. On veut représenter sur l’écran de la calculatrice les informations trouvées dans la question 3,
quels intervalles choisir pour la fenêtre de la calculatrice ? On donnera un intervalle d’amplitude 0,5 en abscisse et d’amplitude 0,02 en ordonnée.
2
E XERCICE 3
5 points
Voici le tableau de répartition des principaux groupes sanguins des habitants de France :
Rhésus +
Rhésus -
O
35,0 %
9,0 %
A
38,1 %
7,2 %
B
6,2 %
1,2 %
AB
2,8 %
0,5 %
Dans cet exercice, les résultats numériques demandés seront, s’il y a lieu, arrondis à trois décimales. L’expérience consiste à choisir une personne au hasard dans la population donnée (les habitants de la France).
On note Rh+ l’évènement « La personne a le facteur Rh+ ».
On note O l’évènement « La personne appartient au groupe O ».
1. Déterminer la probabilité de l’événement Rh+.
2. Déterminer la probabilité que la personne soit du groupe O sachant qu’elle a le facteur Rh+
3. a. Démontrer que la probabilité que la personne soit du groupe O est 0,440
b. Quelle est la probabilité pour qu’une personne appartenant au groupe O ait le facteur Rh+ ?
4. a. On considère n personnes choisies au hasard dans la population donnée (les habitants de
la France).
Calculer, en fonction de n, la probabilité p pour qu’il y ait, parmi elles, au moins une personne du groupe O.
b. Écrire un algorithme permettant de déterminer la plus petite valeur de n pour laquelle on
a p > 0, 999.
3
E XERCICE 4
4 points
On considère une fonction f définie et dérivable sur ]0, +∞[ qui vérifie
f (1) = 0 et
f 0 (x) =
1
x
1. On considère la fonction ϕ définie sur [0, +∞[, par
x2
ϕ(x) = f (1 + x) − x −
2
µ
¶
a. En étudiant le sens de variation de la fonction ϕ montrer que, pour tout x dans [0, +∞[
x−
x2
≤ f (1 + x)
2
b. Par une méthode analogue, en introduisant une fonction ψ convenablement choisie, montrer que, pour tout x dans [0, +∞[, on a
f (1 + x) ≤ x −
x2 x3
+
2
3
c. En déduire un encadrement de f (1 + x) valable pour tout x appartenant à [0, +∞[
2. En utilisant l’encadrement obtenu à la question précédente, déterminer la limite de
f (1 + x) − x
x2
lorsque x tend vers 0
4