Devoir commun

Devoir commun
Samedi 29 novembre 2014
Mathématiques
Classes de Terminales S
Durée de l’épreuve : trois heures
Ce sujet comporte 4pages numérotées de 1à4.
Chaque exercice sera rédigé sur une copie séparée.
L’utilisation d’une calculatrice est autorisée.
Le sujet est composé de quatre exercices indépendants.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements
entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.

EXERCICE 1 5 points
Un volume constant de 2 200 m3d’eau est réparti entre deux bassins A et B.
Le bassin A refroidit une machine. Pour des raisons d’équilibre thermique on crée un courant d’eau
entre les deux bassins à l’aide de pompes.
On modélise les échanges entre les deux bassins de la façon suivante :
•au départ, le bassin A contient 800 m3d’eau et le bassin B contient 1 400 m3d’eau ;
•tous les jours, 15% du volume d’eau présent dans le bassin B au début de la journée est trans-
féré vers le bassin A ;
•tous les jours, 10% du volume d’eau présent dans le bassin A au début de la journée est trans-
féré vers le bassin B.
Pour tout entier naturel n, on note :
•anle volume d’eau, exprimé en m3, contenu dans le bassin A à la fin du n-ième jour de fonc-
tionnement ;
•bnle volume d’eau, exprimé en m3, contenu dans le bassin B à la fin du n-ième jour de fonc-
tionnement.
On a donc
a0=800 et b0=1400
1. Par quelle relation entre anet bntraduit-on la conservation du volume total d’eau du circuit ?
2. Justifier que, pour tout entier naturel n,
an+1=3
4an+330
3. L’algorithme ci-dessous permet de déterminer la plus petite valeur de nà partir de laquelle an
est supérieur ou égal à 1100.
Recopier cet algorithme en complétant les parties manquantes.
Variables :nest un entier naturel
aest un réel
Initialisation : Affecter à nla valeur 0
Affecter à ala valeur 800
Traitement :
Tant que a<1100 faire
Affecter à ala valeur · · ·
Affecter à nla valeur · · ·
FinTantque
Sortie
Afficher n
Fin Algorithme
4. Pour tout entier naturel n, on note un=an–1320
a. Montrer que la suite (un) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et
la raison.
b. Exprimer unen fonction de n. En déduire que, pour tout entier naturel n,
an=1320−520×µ3
4¶n
c. À combien peut-on estimer le volume d’eau contenu dans le bassin A au bout d’une année ?
1

EXERCICE 2 6 points
Le plan est rapporté à un repère orthonormé ³O, −→ ı,−→ ´
Soit fla fonction définie sur Rpar :
f(x)=¡x3−1¢px2+1
1. Faire apparaître sur l’écran de la calculatrice graphique la courbe représentative de cette fonc-
tion dans la fenêtre
−5≤x≤5 et −4≤y≤4
Reproduire l’allure de la courbe obtenue sur la copie.
2. Déterminer les limites de fen −∞ et +∞
3. On se propose maintenant d’étudier plus précisément la fonction f.
a. Déterminer la fonction dérivée f0de la fonction fet en déduire que le signe de f0(x) est le
même que celui de P(x)=4x4+3x2–x
b. Soit
Q(x)=4x3+3x–1
Étudier les variations de Q sur Ret démontrer que l’équation Q(x)=0 admet une unique
solution αsur Rdont on donnera une valeur approchée à 10−3près.
c. En déduire le signe de Q(x) puis le signe de f0(x).
d. Dresser le tableau de variations de fsur R.
4. On veut représenter sur l’écran de la calculatrice les informations trouvées dans la question 3,
quels intervalles choisir pour la fenêtre de la calculatrice ? On donnera un intervalle d’ampli-
tude 0,5 en abscisse et d’amplitude 0,02 en ordonnée.
2

EXERCICE 3 5 points
Voici le tableau de répartition des principaux groupes sanguins des habitants de France :
O A B AB
Rhésus + 35,0 % 38,1 % 6,2 % 2,8 %
Rhésus - 9,0 % 7,2 % 1,2 % 0,5 %
Dans cet exercice, les résultats numériques demandés seront, s’il y a lieu, arrondis à trois déci-
males. L’expérience consiste à choisir une personne au hasard dans la population donnée (les habi-
tants de la France).
On note Rh+l’évènement « La personne a le facteur Rh+ ».
On note O l’évènement « La personne appartient au groupe O ».
1. Déterminer la probabilité de l’événement Rh+.
2. Déterminer la probabilité que la personne soit du groupe O sachant qu’elle a le facteur Rh+
3. a. Démontrer que la probabilité que la personne soit du groupe O est 0,440
b. Quelle est la probabilité pour qu’une personne appartenant au groupe O ait le facteur Rh+ ?
4. a. On considère npersonnes choisies au hasard dans la population donnée (les habitants de
la France).
Calculer, en fonction de n, la probabilité ppour qu’il y ait, parmi elles, au moins une per-
sonne du groupe O.
b. Écrire un algorithme permettant de déterminer la plus petite valeur de npour laquelle on
ap>0,999.
3

EXERCICE 4 4 points
On considère une fonction fdéfinie et dérivable sur ]0, +∞[ qui vérifie
f(1) =0 et f0(x)=1
x
1. On considère la fonction ϕdéfinie sur [0, +∞[, par
ϕ(x)=f(1+x)−µx−x2
2¶
a. En étudiant le sens de variation de la fonction ϕmontrer que, pour tout xdans [0, +∞[
x−x2
2≤f(1+x)
b. Par une méthode analogue, en introduisant une fonction ψconvenablement choisie, mon-
trer que, pour tout xdans [0, +∞[, on a
f(1+x)≤x−x2
2+x3 3
c. En déduire un encadrement de f(1 +x) valable pour tout xappartenant à [0, +∞[
2. En utilisant l’encadrement obtenu à la question précédente, déterminer la limite de
f(1+x)−x
x2
lorsque xtend vers 0
4