LOGIQUE ET ENSEMBLES - EXERCICES SUPPLÉMENTAIRES

BCPST 1A Exercices - Mathématiques
M. Molin - Lycée Marcelin Berthelot
Année 2016-2017
LOGIQUE ET ENSEMBLES -EXERCICES SUPPLÉMENTAIRES
Exercices d’approfondissement pour ceux qui sont à l’aise avec ceux de la feuille de TD.
EXERCICE 1 (**)
Pour tout m∈R, on définit la droite Dmpar l’équation
Dm: 12mx −9y=3m+6
Montrer que toutes les droites Dmsont concourantes en un
point.
En d’autres termes, montrer que \
m∈R
Dmest un singleton.
EXERCICE 2 (**)
On définit les ensembles
K=[2, 5] ×[−1,4] et D=©(x,y)∈R2,y≤xª
1) Représenter dans le plan
(a) le domaine correspondant aux points M(x,y)
pour (x,y)∈K.
(b) le domaine correspondant aux points M(x,y)
pour (x,y)∈D.
2) L’implication suivante est-elle vraie ?
∀(x,y)∈R2, (x,y)∈K⇒(x+1, y−1) ∈D
3) La réciproque est-elle vraie ?
4) Montrer que K∩D6= ;
EXERCICE 3 (***)
Existe-t-il une fonction f:N→Ntelle que
∀(x,y)∈N2,³f(x)f(y)´=yx
EXERCICE 4 (***)
Aet Bsont deux ensembles non vides de E. Montrer que
µ∀X⊂E,∀Y⊂E,½A∩X=A∩Y
B∩X=B∩Y⇒X=Y¶⇐⇒ A∪B=E
EXERCICE 5 (***)
On définit le logarithme décimal de x: log(x) comme
l’unique ytel que 10y=x. Montrer que log2 ∈R\Q.
EXERCICE 6 (*** *) Montrer qu’il existe une unique appli-
cation f:N→Ntelle que
∀n∈N,f(n+1) >f¡f(n)¢
Pour vous aider :
1) Analyse : supposons qu’il existe une application f
vérifiant les hypothèses
(a) Que peut-on dire de l’ensemble des k∈Ntels
que f(k)=min©f(n), n∈Nª?
(b) En déduire que ∀m∈N∗,f(m)>f(0)
(c) Montrer que ∀n∈N,
∀m∈N∗,m>n⇒f(m)>f(n)
Indication : on pourra s’intéresser à ktel que
f(k)=min©f(m), m>nª.
(d) En déduire que fest strictement croissante.
(e) Montrer par l’absurde que ∀n∈N,f(n)≤n.
(f) En déduire l’application f.
2) Rédiger la synthèse.