LOGIQUE ET ENSEMBLES - EXERCICES SUPPLÉMENTAIRES

M. Molin - Lycée Marcelin Berthelot
BCPST 1A
Exercices - Mathématiques
Année 2016-2017
L OGIQUE ET ENSEMBLES - EXERCICES SUPPLÉMENTAIRES
Exercices d’approfondissement pour ceux qui sont à l’aise avec ceux de la feuille de TD.
E XERCICE 1 (**)
Pour tout m ∈ R, on définit la droite Dm par l’équation
Dm : 12mx − 9y = 3m + 6
Montrer que toutes les droites Dm sont concourantes en un
point.
\
En d’autres termes, montrer que
Dm est un singleton.
m∈R
E XERCICE 2 (**)
On définit les ensembles
Indication :© on pourra ªs’intéresser à k tel que
f (k) = min f (m), m > n .
(d) En déduire que f est strictement croissante.
(e) Montrer par l’absurde que ∀n ∈ N, f (n) ≤ n.
2) Rédiger la synthèse.
1) Représenter dans le plan
(a) le domaine correspondant aux points M (x, y)
pour (x, y) ∈ K .
(b) le domaine correspondant aux points M (x, y)
pour (x, y) ∈ D.
2) L’implication suivante est-elle vraie ?
(x, y) ∈ K ⇒ (x + 1, y − 1) ∈ D
3) La réciproque est-elle vraie ?
4) Montrer que K ∩ D 6= ;
E XERCICE 3 (***)
Existe-t-il une fonction f : N → N telle que
³
´
∀(x, y) ∈ N2 , f (x) f (y) = y x
E XERCICE 4 (***)
A et B sont deux ensembles non vides de E . Montrer que
µ
½
A ∩ X = A ∩Y
∀X ⊂ E , ∀Y ⊂ E ,
B ∩ X = B ∩Y
¶
⇒X =Y
⇐⇒ A∪B = E
E XERCICE 5 (***)
On définit le logarithme décimal de x : log(x) comme
l’unique y tel que 10 y = x. Montrer que log 2 ∈ R \ Q.
E XERCICE 6 (*** *) Montrer qu’il existe une unique application f : N → N telle que
∀n ∈ N,
∀m ∈ N∗ , m > n ⇒ f (m) > f (n)
(f ) En déduire l’application f .
©
ª
K = [2, 5] × [−1, 4] et D = (x, y) ∈ R2 , y ≤ x
∀(x, y) ∈ R2 ,
(c) Montrer que ∀n ∈ N,
¡
¢
f (n + 1) > f f (n)
Pour vous aider :
1) Analyse : supposons qu’il existe une application f
vérifiant les hypothèses
(a) Que peut-on dire
des k ∈ N tels
© de l’ensemble
ª
que f (k) = min f (n), n ∈ N ?
(b) En déduire que ∀m ∈ N∗ , f (m) > f (0)