TS3 Contrôle de mathématiques n° 8 (Jeudi 28 avril) Année 2010/2011

TS3
Contrôle de mathématiques n° 8 (Jeudi 28 avril)
Année 2010/2011
E XERCICE 1
Dans cet exercice, les résultats approchés seront donnés à 0,000 1 près.
8 points
Lors d’une épidémie chez des bovins, on s’est aperçu que si la maladie est diagnostiquée suffisamment tôt chez un animal,
on peut le guérir ; sinon la maladie est mortelle.
Un test est mis au point et essayé sur un échantillon d’animaux dont 1 % est porteur de la maladie.
On obtient les résultats suivants :
• si un animal est porteur de la maladie, le test est positif dans 85 % des cas ;
• si un animal est sain, le test est négatif dans 95 % des cas.
On choisit de prendre ces fréquences observées comme probabilités pour la population entière et d’utiliser le test pour
un dépistage préventif de la maladie.
On note :
M, l’évènement : « l’animal est porteur de la maladie » ;
T, l’évènement : « le test est positif ».
1) Construire un arbre pondéré modélisant la situation proposée.
2) Un animal est choisi au hasard.
a) Quelle est la probabilité qu’il soit porteur de la maladie et que son test soit positif ?
b) Montrer que la probabilité pour que son test soit positif est 0, 058.
3) Un animal est choisi au hasard parmi ceux dont le test est positif. Quelle est la probabilité pour qu’il soit porteur de la
maladie ?
4) On choisit cinq animaux au hasard. La taille de ce troupeau permet de considérer les épreuves comme indépendantes
et d’assimiler les tirages à des tirages avec remise. On note X la variable aléatoire qui, aux cinq animaux choisis, associe
le nombre d’animaux ayant un test positif.
a) Quelle est la loi de probabilité suivie par X ?
b) Quelle est la probabilité pour qu’au moins un des cinq animaux ait un test positif ?
5) Le coût des soins à prodiguer à un animal ayant réagi positivement au test est de 100 euros et le coût de l’abattage d’un
animal non dépisté par le test et ayant développé la maladie est de 1 000 euros. On suppose que le test est gratuit.
D’après les données précédentes, la loi de probabilité du coût à engager par animal subissant le test est donnée par le
tableau suivant :
Coût
Probabilité
0
0,940 5
100
0,058 0
1 000
0,001 5
a) Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoire associant à un animal le coût à engager.
b) Un éleveur possède un troupeau de 200 bêtes. Si tout le troupeau est soumis au test, quelle somme doit-il prévoir
d’engager ?
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Contrôle de mathématiques n° 8 (Jeudi 28 avril)
Année 2010/2011
E XERCICE 2
2 points
Un internaute souhaite faire un achat par l’intermédiaire d’internet. Quatre sites de vente, un français, un allemand, un
canadien et un indien présentent le matériel qu’il souhaite acquérir.
Sur 1 000 internautes ayant acheté ce matériel, on a établi la statistique suivante :
Effectif
d’acheteurs
Sites
européens
Site canadien
Site indien
335
310
355
1) On note respectivement f 1 , f 2 et f 3 les fréquences associées aux effectifs précédents.
¶
µ
k=3
X
1 2
.
On pose : d 2 =
fk −
3
k=1
Calculer d 2 puis 1 000d 2 .
2) On simule 3 000 fois l’expérience consistant à tirer un nombre au hasard parmi {1 ; 2 ; 3} avec équiprobabilité. Pour
chacune de ces simulations on obtient une valeur de 1 000d 2 . Voici les résultats :
Minimum
Premier décile
Premier quartile
Médiane
Troisième
quartile
Neuvième décile
Maximum
0,000 5
0,076 3
0,211 1
0,488 45
0,940 1
1,510 4
5,925 6
Au risque 10 %, peut-on considérer que le choix d’un site européen, nord-américain ou asiatique se fait de manière
équiprobable ?
E XERCICE 3
10 points
³ →
− →
−´
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct O, u , v d’unité graphique 2 cm.
On considère les points
A, B et Cp
d’affixes respectives
p
z A = −2i, z B = − 3 + i et z C = 3 + i.
1) a) Écrire z A , z B et z C sous forme exponentielle.
b) En déduire le centre et le rayon du cercle Γ passant par les points A, B et C.
c) Faire une figure et placer le point A, tracer le cercle Γ puis placer les points B et C.
zB − zA
2) a) Écrire le quotient
sous forme algébrique puis sous forme exponentielle.
zC − zA
b) En déduire la nature du triangle ABC .
π
3) On note r la rotation de centre A et d’angle mesurant radians.
3
p
a) Montrer que le point O′ , image de O par r , a pour affixe − 3 − i.
b) Démontrer que les points C et O′ sont diamétralement opposés sur le cercle Γ.
c) Tracer l’image Γ′ du cercle Γ par la rotation r.
d) Justifier que les cercles Γ et Γ′ se coupent en A et B.
4) a) Déterminer
l’ensemble
(E ) des points M d’affixe z tels que :
¯
¯
p
¯
¯
|z| = ¯z + 3 + i¯.
b) Montrer que les points A et B appartiennent à (E ).
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