TS3 Contrôle de mathématiques n° 8 (Jeudi 28 avril) Année 2010/2011

TS3 Contrôle de mathématiques n° 8 (Jeudi 28 avril) Année 2010/2011
EXERCICE 1 8 points
Dans cet exercice, les résultats approchés seront donnés à 0,0001 près.
Lors d’une épidémie chez des bovins, on s’est aperçu que si la maladie est diagnostiquée suffisamment tôt chez un animal,
on peut le guérir ; sinon la maladie est mortelle.
Un test est mis au point et essayé sur un échantillon d’animaux dont 1 % est porteur de la maladie.
On obtient les résultats suivants :
•si un animal est porteur de la maladie, le test est positif dans 85 % des cas ;
•si un animal est sain, le test est négatif dans 95 % des cas.
On choisit de prendre ces fréquences observées comme probabilités pour la population entière et d’utiliser le test pour
un dépistage préventif de la maladie.
On note :
M, l’évènement : « l’animal est porteur de la maladie » ;
T, l’évènement : « le test est positif ».
1) Construire un arbre pondéré modélisant la situation proposée.
2) Un animal est choisi au hasard.
a) Quelle est la probabilité qu’il soit porteur de la maladie et que son test soit positif ?
b) Montrer que la probabilité pour que son test soit positif est 0,058.
3) Un animal est choisi au hasard parmi ceux dont le test est positif. Quelle est la probabilité pour qu’il soit porteur de la
maladie ?
4) On choisit cinq animaux au hasard. La taille de ce troupeau permet de considérer les épreuves comme indépendantes
et d’assimiler les tirages à des tirages avec remise. On note X la variable aléatoire qui, aux cinq animaux choisis, associe
le nombre d’animaux ayant un test positif.
a) Quelle est la loi de probabilité suivie par X ?
b) Quelle est la probabilité pour qu’au moins un des cinq animaux ait un test positif?
5) Le coût des soins à prodiguer à un animal ayant réagi positivement au test est de 100 euros et le coût de l’abattage d’un
animal non dépisté par le test et ayant développé la maladie est de 1 000 euros. On suppose que le test est gratuit.
D’après les données précédentes, la loi de probabilité du coût à engager par animal subissant le test est donnée par le
tableau suivant :
Coût 0 100 1 000
Probabilité 0,940 5 0,058 0 0,001 5
a) Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoire associant à un animal le coût à engager.
b) Un éleveur possède un troupeau de 200 bêtes. Si tout le troupeau est soumis au test, quelle somme doit-il prévoir
d’engager ?
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TS3 Contrôle de mathématiques n° 8 (Jeudi 28 avril) Année 2010/2011
EXERCICE 2 2 points
Un internaute souhaite faire un achat par l’intermédiaire d’internet. Quatre sites de vente, un français, un allemand, un
canadien et un indien présentent le matériel qu’il souhaite acquérir.
Sur 1 000 internautes ayant acheté ce matériel, on a établi la statistique suivante :
Sites
européens Site canadien Site indien
Effectif
d’acheteurs 335 310 355
1) On note respectivement f1,f2et f3les fréquences associées aux effectifs précédents.
On pose : d2=
k=3
X
k=1µfk−1
3¶2
.
Calculer d2puis 1000d2.
2) On simule 3 000 fois l’expérience consistant à tirer un nombre au hasard parmi {1 ; 2 ; 3} avec équiprobabilité. Pour
chacune de ces simulations on obtient une valeur de 1000d2. Voici les résultats :
Minimum Premier décile Premier quartile Médiane Troisième
quartile
Neuvième décile Maximum
0,000 5 0,076 3 0,211 1 0,488 45 0,940 1 1,510 4 5,925 6
Au risque 10 %, peut-on considérer que le choix d’un site européen, nord-américain ou asiatique se fait de manière
équiprobable ?
EXERCICE 3 10 points
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct ³O, −→ u,−→ v´d’unité graphique 2 cm.
On considère les points A, B et C d’affixes respectives
zA=−2i, zB= −p3+i et zC=p3+i.
1) a) Écrire zA,zBet zCsous forme exponentielle.
b) En déduire le centre et le rayon du cercle Γpassant par les points A, B et C.
c) Faire une figure et placer le point A, tracer le cercle Γpuis placer les points B et C.
2) a) Écrire le quotient zB−zA
zC−zAsous forme algébrique puis sous forme exponentielle.
b) En déduire la nature du triangle ABC .
3) On note rla rotation de centre A et d’angle mesurant π
3radians.
a) Montrer que le point O′, image de O par r, a pour affixe −p3−i.
b) Démontrer que les points C et O′sont diamétralement opposés sur le cercle Γ.
c) Tracer l’image Γ′du cercle Γpar la rotation r.
d) Justifier que les cercles Γet Γ′se coupent en A et B.
4) a) Déterminer l’ensemble (E) des points Md’affixe ztels que :
|z|= ¯
¯
¯z+p3+i¯
¯
¯.
b) Montrer que les points A et B appartiennent à (E).
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