1 Divisibilité dans K[X] 2 PGCD

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Résumé de cours sur l’arithmétique des polynômes
Vous remarquerez à quel point l’arithmétique des polynômes ressemble à l’arithmétique des
entiers. Dans tout le chapitre, Kdésignera le corps Rou C.
1 Divisibilité dans K[X]
Définition 1 Soit Aet Bdeux polynômes de K[X]. On dit que Adivise Bs’il existe un polynôme
Pde K[X]tel que B=AP .
Exemples : tout polynôme divise 0et A−Bdivise An−Bn.
Propriétés :
Si Aest non nul et que Pdivise A, alors deg P6deg A.
Si Ddivise Aet B, alors D|A+Bet D|AU +BV avec Uet Vdans K[X].
Nous rappelons que comme sur Z, il y a une division euclidienne sur K[X]. C’est essentiellement
grâce à cet outil fondamental que les anneaux Zet K[X]se ressemblent beaucoup d’un point de
vue arithmétique.
Théorème 2 (Division euclidienne) Soit Aet Bdans K[X]avec Bnon nul. Il existe un unique
couple (Q, R)de polynômes de K[X]tels que
A=BQ +Ret deg R < deg B.
2 PGCD
2.1 Définition et méthode de calcul
Définition 3 soit Aet Bdeux polynômes de K[X].
– Si (A, B) = (0,0), on pose pgcd(A, B)=0.
– Si (A, B)6= (0,0), on appelle pgcd(A, B)le polynôme unitaire de plus grand degré qui divise
Aet B.
Pour avoir l’unicité du PGCD, on impose à celui-ci (s’il est non nul) d’être unitaire.
On notera parfois pgcd(A, B) = A∧B.
Exemple : si A=a0+· · · +anXn∈K[X]avec an6= 0 alors pgcd(A, 0) = A
an.
Pour calculer le pgcd, on utilise l’algorithme d’Euclide qui repose sur la propriété suivante (*) :
Proposition 4 Soit Aet Bdeux polynômes de K[X]avec Bnon nul. On note Rle reste de la
division euclidienne de Apar B. On a alors
D(A)∩ D(B) = D(B)∩ D(R)et pgcd(A, B) = pgcd(B, R).
2.2 Coefficients de Bezout
Proposition 5 Soit Aet Bdeux polynômes de K[X]. Alors il existe deux polynômes Uet Vde
K[X]tels que
pgcd(A, B) = AU +BV.
Les polynômes Uet Vsont appelés des coefficients de Bezout.
Attention la réciproque est fausse et il y a une infinité de coefficients de Bezout possibles.
Application à la recherche d’une solution particulière d’une équation diophantienne linéaire
AX +BY =C.
Théorème 6 (Caractérisation du pgcd) Soit Aet Bdeux polynômes de K[X]et Dun poly-
nôme nul ou unitaire de K[X].
Le polynôme Dest le pgcd de Aet Bssi il vérifie les deux propriétés suivantes :

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–D|Aet D|B.
–∀C∈K[X],(C|Aet C|B)⇒C|D.
Ce théorème exprime que pgcd(A, B)est le plus grand diviseur commun de Aet Bau sens de
la divisibilité.
2.3 Polynômes premiers entre eux
Définition 7 Deux polynômes de K[X]sont dits premiers entre eux si leur pgcd vaut 1, c’est à
dire si leurs seuls diviseurs communs sont les scalaires non nuls (éléments de K∗).
Théorème 8 (Bezout) deux polynômes Aet Bde K[X]sont premiers entre eux ssi il existe deux
polynômes Uet Vde K[X]tels que AU +BV = 1.
2.4 Théorème de Gauss
Question : si A|BC, a-t-on A|B? Réponse : non en général (X3|X4=X2×X2mais X3
ne divise pas X2), oui si a∧b= 1, c’est le théorème de Gauss (*).
Théorème 9 (Gauss) Si A|BC et A∧B= 1, alors A|C
Question : si A|Cet B|C, a-t-on AB |C? Réponse : non en général (X3|X4et X2|X4
mais X3×X2=X5ne divise pas X4), oui si A∧B= 1,
Proposition 10 Si A∧B= 1 et si A|Cet B|C, alors AB |C.
3 Polynômes irréductibles
3.1 Généralités
Définition 11 Un polynôme Ade K[X]est dit irréductible si deg A>1et si ses seuls diviseurs
sont les scalaires non nuls et ses polynômes associés, c’est à dire de la forme λA avec λ∈K∗.
Les polynômes irréductibles sont aux polynômes ce que sont les nombres premiers pour les
entiers.
Exemples :
– tout polynôme de degré 1 est irréductible.
– soit P∈K[X]avec deg P>2. Si Padmet une racine adans Kalors Pn’est pas irréductible
car divisible par X−a.
– La réciproque est fausse puisque (X2+ 1)2n’admet pas de racines réelles mais est réductible
dans R[X].
– Attention la notion d’irréductibilité dépend du corps de base : X2+ 1 est irréductible dans
R[X]mais pas dans C[X]car X2+ 1 = (X−i)(X+i).
3.2 Description des polynômes irréductibles de K[X]
Le théorème de D’alembert Gauss affirme que tout polynôme non constant de C[X]admet au
moins une racine complexe. On en déduit :
Proposition 12 Les polynômes irréductibles de C[X]sont les polynômes de degré 1.
Sur R, nous avions démontré que tout polynôme de R[X]pouvait s’écrire comme un produit
de polynômes de degré 1 ou de aussi quasiment tout fait, on a : degré 2 à discriminant strictement
négatif.
Proposition 13 Les polynômes irréductibles de R[X]sont :
– les polynômes de degré 1
– les polynômes de degré 2 à discriminant strictement négatif.
Les factorisations que nous avions appelées «maximales» sont donc des factorisations à l’aide
de polynômes irréductibles. C’est l’équivalent de la décomposition en produit de facteurs premiers
pour les entiers.

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4 Exercices
Exercice 1 (Un vrai-faux)
1. Les diviseurs du polynôme Xsont les polynômes λX avec λ∈K.
2. Soit Aet Bdans K[X]tels que Adivise Bet Bdivise A. A-t-on A=B?
3. Soit Aet Bdans K[X]tels que Adivise B. Alors deg A6deg B.
4. Un polynôme de K[X]qui admet une racine n’est pas irréductible.
5. Un polynôme de C[X]qui n’admet pas de racine dans Kest irréductible.
6. Un polynôme de R[X]qui n’admet pas de racine dans Kest irréductible.
7. Un polynôme de K[X]de degré 2ou 3qui n’admet pas de racine est irréductible.
8. Le polynôme X2−2est irréductible dans Q[X].
Exercice 2 Décomposer en produit de facteurs irréductibles sur Cpuis sur Rle polynôme X8−1.
Exercice 3 (Oral CCP) On considère les polynômes P= 3X4−9X3+ 7X2−3X+ 2 et Q=
X4−3X3+ 3X2−3X+ 2.
1. Décomposer Pet Qen facteurs premiers sur R, puis sur C(on pourra calculer les valeurs de
Pet Qen 1et 2).
2. En déduire le ppcm et le pgcd des polynômes Pet Q.
3. Indiquer une autre méthode permettant d’obtenir le pgcd de Pet Q.
Exercice 4 Pour chaque polynôme, calculer le PGCD (unitaire) des polynômes et déterminer un
couple de coefficients de Bezout. On pourra vérifier ces résultats avec la fonction gcd de MAPLE.
1. X4+X3−3X2−4X−1et X3+X2−X−1
2. X5−X4+ 2X3+ 1 et X5+X4+ 2X2−1
3. X7+X6+X5+X4+X3+X2+X+ 1 et X5+X4+X3+X2+X+ 1.
Exercice 5 Soit aet bdans Ket pet qdans N∗.
1. Déterminer le PGCD des polynômes X−aet X−b.
2. Déterminer le PGCD des polynômes (X−a)pet (X−b)q.
Exercice 6 Soit Pet Qdans K[X]. Démontrer que
(P+Q)∧P Q = 1 ⇒P∧Q= 1.
Exercice 7 Déterminer les polynômes P∈C[X]tels que P0divise P.
Exercice 8 (Autour de Pet P0)Soit P∈K[X].
1. Démontrer que si Pet P0sont premiers entre eux, alors Pn’a que des racines simples sur K.
2. Démontrer que la réciproque est vraie si K=Cmais fausse si K=R.
Exercice 9 (Difficile) Soit net mdans N∗tels que n>m. Le but de l’exercice est de déterminer
le PGCD des polynômes Xn−1et Xm−1
1. Déterminer le PGCD de X8−1et X6−1.
2. Déterminer le PGCD de X63 −1et X28 −1puis le PGCD des entiers 63 et 28.
3. Effectuer la division euclidienne de Xn−1par Xm−1, en écrivant celle de npar m.
4. En déduire que PGCD(Xn−1, Xm−1) = XPGCD(n,m) −1.
Exercice 10 (Oral CCP) Soient θ∈Ret n∈N∗. Décomposer en produit de polynômes irré-
ductibles dans C[X], puis dans R[X]le polynôme
P=X2n−2Xncos(nθ)+1.