Anneau des fonctions arithmétiques

Anneau des fonctions arithm´etiques
M. E. Charkani
Juin 2007
1 Pr´eliminaires et notations
On commence par rappeler certains notions arithm´etiques ´el´ementaires. Soit nun entier
naturel de IN. On sait que le th´eor`eme fondamentale d’arithm´etique affirme que n=pα1
1. . . pαr
r
o`u p1, p2, ..., prsont des nombres premiers distincts deux `a deux. Pour tout i= 1,2, . . . , r ,
l’exposant αide piest appel´e la pi-valuation de n et on le note vpi(n). On convient de poser
vp(n) = 0 si pne divise pas n. Donc l’entier ns’´ecrit aussi
n=Y
p∈ P
pvp(n)
o`u Pest l’ensemble de tous les nombres premiers.
On appelle fonction arithm´etique toute fonction de IN∗dans IC. On d´efinit les fonctions
arithm´etiques classiques suivantes :
1. d(n) le nombre des diviseurs de n.
2. υ(n) le nombre des facteurs premiers dans la d´ecomposition de n en produit de facteurs
premiers.
3. σ(n) la somme des diviseurs de n.
4. φ(n) le nombre des entiers inf´erieurs `a net premiers avec n.
5. Ω(n) le nombre total des facteurs premiers dans la d´ecomposition de n en produit de
facteurs premiers.
Il est clair que si n=pα1
1. . . pαr
ralors d(n) = Qr
i=1(αi+ 1) (il y a une bijection entre les di-
viseurs de n et les ´el´ements du produit cart´esien [α1]×[α2]×...×[αr] o`u [m] = {0,1, ..., m−1}).
Soit n=pα1
1. . . pαr
run entier naturel de IN, alors il est clair que Ω(n) = α1+α2+... +αr
et comme les p-valuations sont additives alors la fonction Ω v´erifie Ω(nm) = Ω(n) + Ω(m).
Remarque 1.1 Si n=pα1
1. . . pαr
run entier naturel de IN alors σ(n) = Qr
i=1 Sαi+1(pi)o`u
Sn(X)d´efinie par Sn(X) = Pn−1
i=1 Xi.
Nous achevons cette section par rappeler le r´esultat int´eressant suivant :
1

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Proposition 1.1 Si n=pα1
1. . . pαr
run entier naturel de IN alors
d(n) =
r
Y
i=1
(αi+ 1).
2 Anneau des fonctions arithm´etiques
Soit Run anneau unitaire. Soit RIN l’ensemble des fonctions de IN dans R. Pour f, g ∈RIN ,
on d´efinit la loi f ? g par f ? g(n) = Pd|nf(d)g(n
d). Il est clair que la loi ?est associative et
commutative si Rest un anneau commutatif. On muni RIN par l’addition ponctuelle et la loi
?qui attribue `a RIN une structure d’anneau not´e A(R). Noter que A(R)=(RIN ,+, ?) est
un anneau unitaire ayant pour ´el´ement neutre la fonction :
e(n) = 1 si n= 1
0 sinon
De mˆeme on d´efinit les fonctions arithm´etiques suivantes : i(n) = n, z(n)=1.La fonction
de M¨obius est d´efinie par
µ(n) = (−1)υ(n)si nest sans facteurs carr´ee.
0 sinon
Proposition 2.1 Soit A(R)l’ensemble des fonctions f de IN dans R. Une fonction f∈ A(R)
est inversible si et seulement si f(1) est non nul.
Proposition 2.2 La fonction µest inversible et son inverse dans A(R)est la fonction z.
Preuve. En effet µ(1) est non nul et on montre µ ? z =epar recurrence.
Une cons´equence imm´ediate de la proposition pr´ec´edente est la formule d’inversion de
M¨obius :
Corollaire 2.1 Soit fune fonction arithm´etique `a valeurs dans R. Alors g(n) = Pd|nf(d)
si et seulement si f(n) = Pd|ng(d)µ(n
d).
Autrement dit le corollaire 2.1 pr´ec´edent nous donne la formule d’inversion de M¨obius
suivante : g=f ? z si et seulement si f=g ? µ.
Proposition 2.3 Les fonctions arithm´etiques σ,µet φv´erifient :
1. i ? z =σ
2. µ ? d =z
3. φ ? z =i

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Remarque 2.1 En applicant la formule d’inversion de M¨obius cite dans le corollaire 2.1, aux
relations de la proposition pr´ec´edente permet de voir que
1. i=σ ? µ
2. d=z ? z
3. φ=i ? µ
3 Formule d’inversion de M¨obius pour les mono¨ıdes
Soit (M, .) un mono¨ıde commutatif not´e multiplicativement. Alors l’action naturelle de IN
sur M, not´e par l’exposant est une action `a droite. Il est clair alors que l’ensemble MIN des
fonctions f de IN dans Mest un mono¨ıde commutatif. En plus l’action
A(IN)×MIN 99K MIN
f×G→(Gf)(n) = Y
d|n
G(d)f(n
d)
v´erifie les axiomes d’action de mon¨ıde `a droite et permet de retrouver la structure de A(ZZ)-
module sur MIN .
Proposition 3.1 Soit (M, .)un mono¨ıde commutatif not´e multiplicativement. Soient fet h
deux fonctions de IN dans IN et Gune fonction de IN dans M. Alors
(Gf)h=Gf? h.
Corollaire 3.1 Soit (M, .)un mono¨ıde commutatif r´egulier. Soient fet gdeux fonctions de
IN dans M. Alors g(n) = Qd|nf(d)) si et seulement si f(n) = Qd|ng(d)µ(n
d).
Exemples 3.1 1) Soit Tla fonction de IN dans ZZ[X]d´efinie par T(n) = Xn−1. Alors d|n
si et seulement si T(d)|T(n).
2) Soit Φla fonction de IN dans ZZ[X]d´efinie par Φ(n) = Φn(X)o`u Φn(X)est le ni`eme
polynˆome cyclotomique. Alors Φz=T.
Corollaire 3.2 Soit fune fonction arithm´etique `a valeurs dans le ZZ. Alors Tf∈ZZ[X]si
et seulement si f ? z >0.
Preuve. En effet T= Φzet Φg∈ZZ[X] si et seulement si g>0.
4 Formule d’inversion de M¨obius pour les modules
Soit Run anneau commutatif non nul. Soit Mun R-module. On note par M[[IN ]] l’en-
semble des fonctions f de IN dans M. Alors l’action
A(R)×M[[IN]] 99K M[[IN]]

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f×g→(f.g)(n) = X
d|n
f(d)g(n
d)
v´erifie les axiomes de la loi externe de la structure de A(R)-module sur M[[IN]].
Proposition 4.1 Soit Mun R-module. Alors l’ensemble M[[IN]] des fonctions f de IN dans
Mest un A(R)-module.
Une cons´equence imm´ediate de la proposition pr´ec´edente est la formule d’inversion de M¨obius
g´en´erale pour les R-modules.
Corollaire 4.1 Soient fet gdeux fonctions de IN dans le R-module M. Alors g(n) =
Pd|nf(d)si et seulement si f(n) = Pd|nµ(n
d)g(d).
5 Lien avec l’anneau des s´eries formelles
Soit Run anneau commutatif non nul. Soit (S, +) un mono¨ıde commutatif. On note par
R[[S]] l’ensemble des fonctions f de Sdans R. On suppose que pour tout s∈Sl’ensemble
{(x, y)∈S×S|x+y=s}est fini. On d´efinit sur R[[S]] une deuxi`eme loi, not´ee multiplicative,
par ∀f, g ∈R[[S]]; ∀x∈S:
(f.g)(x) = X
u.v=x
f(u).g(v)
avec u, v ∈Set u.v =x. Ainsi (R[[S]],+, .) est un anneau appel´e anneau des s´eries formelles
associ´e au semi-groupe S.
Proposition 5.1 Soit Run anneau commutatif. Alors l’anneau A(R)des fonctions arithm´etiques
`a valeurs dans Rest isomorphe `a l’anneau des series formelles R[[IN∗]] associ´e au mono¨ıde
multiplicatif (IN∗,×).
6 Fonctions arithm´etiques multiplicatives
D´efinition 6.1 Une fonction arithm´etique est dite multiplicative si f(1) = 1 et si f(m. n) =
f(m). f(n)`a chaque fois que met nsont premiers entre eux.
Proposition 6.1 Soit fune fonction arithm´etique. Si fest multiplicative alors f ? z l’est.
Corollaire 6.1 Les fonctions arithm´etiques σet dsont des fonctions multiplicatives.
Preuve. En effet σ=i ? z et d=z ? z et par consequence σet dsont multiplicatives car
les fonctions arithm´etiques zet ile sont.

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Proposition 6.2 La fonction arithm´etique d’Euler φest une fonction multiplicative.
Nous achevons cette section par rappeler le r´esultat int´eressant suivant :
Proposition 6.3 Si n62est un entier naturel de IN alors
n
2φ(n) =
n
X
k=1,(k, n)=1
k.
7 Fonction de M¨obius d’un ensemble ordonn´e
Soit Lun ensemble ordonn´e localement fini. Soit Run anneau commutatif. Soit A(L) =
RL×Ll’ensemble des fonctions de L×Ldans R. Pour f, g ∈E, on d´efinit f ? g par :
f ? g(x, y) = Pz∈[x,y]f(x, z)g(z, y) si x6y
0 sinon
A(L) muni de cette lois est associative et que (A(L),+, ?) est un anneau commutatif unitaire
ayant pour ´el´ement neutre la fonction ρLde L×Ldans Rd´efinit par :
ρL(x, y) = 1 si x=y
0 sinon
Proposition 7.1 Soit Lun ensemble ordonn´e localement fini. Soit I(L)l’ensemble des fonc-
tions f de L×Ldans Rtelles que f(x, y)=0si x > y. Alors I(L)est un sous-anneau de
(A(L),+, ?).
Le th´eor`eme suivant caract´erise les ´el´ements inversibles de I(L).
Th´eor`eme 7.1 Soit Lun ensemble ordonn´e localement fini. Une application f∈ I(L)est
inversible si et seulement si f(x, x)est non nul pour tout x∈L.
Preuve. On montre par r´ecurrence sur le cardinale de [x,y] que si f(x, x) est non nul pour
tout x∈Lalors son inverse est d´efini.
D´efinition 7.1 Soit Lun ensemble ordonn´e localement fini. Soit E=RL×Ll’ensemble des
fonctions de L×Ldans un anneau commutatif R. On d´efinit la fonction ζLde L×Ldans R
par :
ζL(x, y) = 1si x<y
0sinon
Son inverse existe, c’est la fonction µLde L×Ldans R, appel´ee la fonction de M¨obius de L.