Loi binomiale - Maths Paradise

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Table des matières
I
Epreuve de Bernoulli
1
II Schema de Bernoulli
1
III Loi Binomiale
2
IV Détermination pratique des probabilités dans une loi binomiale
a)
Calcul direct à la calculatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b)
En détaillant les calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
3
V Exercices
4
Loi binomiale
I Epreuve de Bernoulli
Définition
Une épreuve de Bernoulli est une épreuve n’admettant que deux issues, c’est à dire que deux
résultats possibles.
On appelle en général ces issues Succès (noté S) et Echec (noté S).
On a alors p(S) = p et p(S) = 1 − p où p est une réel compris entre 0 et 1.
Exemples
• Jet d’un dé : S : " obtenir le 6 " et on a p(S) = 16 .
• Etude du matériel d’une entreprise : S : « le matériel est défectueux ».
• Epidémie dans une population S : « être sain »
•
Définition
On dit qu’une variable aléatoire X suit une loi de Bernoulli si elle ne peut prendre que deux
valeurs a et b.
On a alors p(X = a) = p et p(X = b) = 1 − p .
II Schema de Bernoulli
Définition
Un schéma de Bernoulli est une expérience au cours de laquelle on répète n épreuves de
Bernoulli identiques et indépendantes.
Exemple 1
Pour étudier la fiabilité du matériel d’une entreprise on prélève un objet dans la production et on
note S l’événement « le matériel est défectueux ». On a donc face une épreuve de Bernoulli.
Si maintenant on prélève au hasard 4 objets de l’entreprise, l’expérience est un schéma de Bernoulli.
Exemple 2
On considère l’expérience aléatoire consistant tirer une carte d’un jeu de 32 cartes, à noter sa couleur puis à la remettre dans le jeu.
On appelle "succès" l’événement S : « On obtient un coeur».
On répète trois fois cette expérience.
1. Quelle est la probabilité de S ?
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Loi binomiale
2. Les tirages sont-ils indépendants ? En déduire la probabilité d’obtenir 3 succès successifs, puis
d’aucun succès.
3. Compléter l’arbre suivant :
...
S
...
S
...
S
...
S
...
S
...
S
...
S
...
S
...
S
S
...
...
S
...
...
S
S
...
S
4. Déterminer les probabilités d’avoir :
• 2 succès ;
• 1 succès.
Exemple 3
On jette un dé et on considère l’événement S : « obtenir un 6 » : c’est donc une épreuve de Bernoulli.
On renouvelle alors 4 fois cette expérience en jetant ce même dé.
Les épreuves sont identiques (chaque succès a la même probabilité à l’issu d’un jet) et sont indépendantes (le résultat d’un lancé n’influence pas le résultat d’un autre).
1. Faire un arbre.
2. a. Quelle est la probabilité de l’événement (S,S,S,S) ?
b. Quelle est la probabilité d’avoir exactement un succès ?
3. a. Quelle est la probabilité de l’événement (S,S,S,S) ?
b. Quelle est la probabilité d’avoir exactement deux succès ?
4. Quelle est la probabilité d’avoir au moins un succès ?
III Loi Binomiale
Définition
Considérons un schéma de Bernoulli, répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et
indépendantes et dont la probabilité du succès vaut p.
On dit que la variable aléatoire X qui compte le nombre de succès à l’issue de ces n épreuves
suit la loi binomiale de paramètre n et p, notée B(n,p) .
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Propriété
Soit X une variable aléatoire qui suit une loi binomiale B(n,p) .
– X ne peut prendre que des valeurs k entières, comprisesµ entre
¶ 0 et n.
n k
– Pour tout entier k compris entre 0 et n, on a p(X = k) =
p (1 − p)n−k .
k
µ ¶
n
est le nombre de chemins dans l’arbre.
k
Propriété
Pour une loi binomiale de paramètres n et p, on a :
E(X) = np
V(X) = np(1 − p)
IV Détermination pratique des probabilités dans une loi binomiale
a) Calcul direct à la calculatrice
La plupart des calculatrices donnent directement
:
✞
☎
☎
✞ la réponse
VARS
)
on
choisit
binompdf( ou binomcdf(
Sur TI83 : On appuie sur la touche DIST ( ✝2nd ✆
✝
✆
binompdf(10,0.2,2) permet de calculer p(X = 2) dans la loi binomiale B(10 ; 0,2)
binomcdf(12,0.4,5) permet de calculer p(X É 5) dans la loi binomiale B(12 ; 0,4)
Sur CASIO Graph 35 :
☎
✞
puis on choisit STAT puis DIST et BINM
Dans l’écran de calcul, on appuie sur la touche ✝OPTN ✆
puis enfin Bpd ou Bcd . On obtient :
BinomialPD(2,10,0.2) permet de calculer p(X = 2) dans la loi binomiale B(10 ; 0,2)
BinomialPD(5,12,0.4) permet de calculer p(X É 5) dans la loi binomiale B(12 ; 0,4)
b) En détaillant les calculs
µ ¶
n
Les coefficients binomiaux
peuvent être déterminés à l’aide du triangle de PASCAL :
k
n
nombre de succès : k
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
6
1
3
6
10
15
1
4
10
20
1
5
15
1
6
1
Ils peuvent être aussi déterminés avec la calculatrice :
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Loi binomiale
µ
10
Sur TI83 : Pour calculer
2
¶
✞
☎
On commence par taper 10, on appuie ensuite sur la touche ✝Math ✆et on choisit le menu PRB et
on selectionne nCr puis pour finir on tape 2 :
10 nCr 2 et on obtient 45
µ ¶
10
Sur Casio graph 35 : Pour calculer
2
✞
☎
, on choisit PRB puis
On commence par taper 10, on appuie sur la touche ✝OPTN ✆
pour finir on tape 2 :
10C2 et on obtient 45
nCr
puis
V Exercices
Exercice 4
Dans un jeu vidéo, le héros Mario veut atteindre, en sautant, un trésor qui se trouve sur un nuage.
S’il touche le trésor, il peut obtenir :
– Aucune pièce d’or et voir sortir un monstre avec une probabilité p 0 = 0,4.
– une pièce d’or avec la probabilité p 1 = 0,3.
– deux pièces avec la probabilité p 2 .
– trois pièces avec la probabilité p 3 = 0,1.
1. Calculer p 2 .
2. Mario ne fait qu’un seul saut. On note G la variable aléatoire égale au nombre de pièces d’or de
Mario.
a. Donner la loi de probabilité de G.
b. Calculer l’espérance de G : interpréter le résultat obtenu.
3. Mario saute 6 fois de suite. Chaque saut est indépendant du précédent.
On note X la variable aléatoire qui compte le nombre de sauts où le monstre est apparu.
a. Montrer que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont vous préciserez les paramétres.
b. Calculer la probabilité que le monstre n’apparaisse pas.
c. Calculer la probabilité que le monstre apparaisse exactement deux fois.
d. Calculer la probabilité que le monstre apparaisse au moins deux fois.
e. Calculer p(2 É X É 4).
f. Calculer l’espérance de X et en donner une interprétation.
Exercice 5
Les compagnies aériennes ont remarqué que 5% des personnes ayant acheté un billet ne prennent
pas l’avion, ils changent de vol ou se font rembourser. C’est pour cela que pour un avion de 100
places elles vendent 103 billets.
Quelle est la probabilité que le jour du vol, toutes les personnes se présentant à l’embarquement
aient une place ?
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