les fonctions affines

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LES FONCTIONS AFFINES
I. Généralités :
1) Définition :
Soit a et b deux réels.
La fonction f telle que f (x) = a x + b est appelée fonction affine.
Son ensemble de définition est Df = ] – ; + [ = IR.
2) Représentation graphique :
La représentation graphique de f est une droite d’équation y = a x + b
a est appelé coefficient directeur
b est appelé ordonnée à l’origine
Comment tracer la droite d'équation y = ax + b ?
a) On peut remplir un tableau de valeurs :
Remarque : 3 points suffisent pour tracer une droite !
x
f (x)
b) On peut utiliser a et b :
f (x) = – 0,5 x + 2
b = 2 donc la droite passe par ( 0 ; 2 )
a = – 0,5 donc à partir du point précédent
on se décale de 1 unité vers la droite puis
on descend de 0,5 unité.
1
O
1
2
On peut aussi se décaler de 2 unités vers
la droite et de 1 unité vers le bas.
Remarque : a = – 0,5 = –
1
3) Cas particuliers :
Si a = 0 alors f (x) = b
est une fonction constante. Elle est représentée par une droite parallèle à l'axe des abscisses.
Cette droite a pour équation y = b.
Si b = 0 alors f (x) = a x
est une fonction linéaire.Elle représente une situation de proportionnalité .
a est le coefficient de proportionnalité .
Elle est représentée par une droite passant par l'origine du repère, d'équation y = a x .
Exemples : Tracer dans un même repère , les deux droites y = –2 et y = 3 x .
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II.Variations d'une fonction affine :
1) Sens de variation d'une fonction affine :
Si a > 0 alors f est croissante
x
–
Si a < 0 alors f est décroissante
+
x
variations
de f (x)
Si
–
+
variations
de f (x)
a = 0 alors la fonction f est constante .
2) Théorème de caractérisation d'une fonction affine :
f est une fonction afiine définie sur IR par f (x) = a x + b
Théorème :
pour tout x1 et x2 réels distincts on a
f(x1 ) – f(x2)
= a.
x 1 – x2
Remarques : On appelle accroissement de l'image et on note y la quantité f (x1 ) – f (x2).
On appelle accroissement de la variable et on note x la quantité x1 – x2 .
f(x1 ) – f(x2)
Le quotient
est appellé taux de variation de la fonction affine f .
x1 – x2
Autre manière d'exprimer le théorème :
f est une fonction affine
l'accroissement y de l'image est proportionnel à l'accroissement x de la variable.
3) Utilisation du théorème de caractérisation :
Exemple 1 : Soit A ( 5 ; –2 ) et B ( –1 ; 3 ) deux points du plan. Déterminer la fonction affine f représentée par la droite ( AB) .
La fonction f étant représentée par une droite ,c'est une fonction affine. Posons f (x) = a x + b .
a=
f(xA ) – f(xB)
y – yB
–2 – 3
5
= A
=
=–
xA – xB
xA – xB
5+1
6
f (xA) = –
5
x + b d'où
6 A
b = –2 +
5
6
5 = –2 +
donc
f (x) = –
5
x +b
6
25
12 25 13
=– +
=
donc
6
6
6
6
5
13
f(x) = – x +
6
6
Le théorème de caractérisation permet de retrouver la fonction affine représentée par une droite dont on connaît les
coordonnées de deux points distincts.
Exemple 2 : Soit f une fonction affine telle que f(–4) = 3 et f(7) = 1. Déterminer la fonction affine f .
Posons f (x) = a x + b.
f(x1 ) – f(x2)
3–1
2
2
a=
=
= –
donc f (x) = – x + b
x1 – x2
–4 – 7
11
11
f (–4) = 3
–
2
11
( –4 ) + b = 3 d'où b = 3 –
8 33 8 25
= –
=
11 11 11 11
donc
f(x) = –
2
25
x+
11
11
Le théorème de caractérisation permet de retrouver une fonction affine quand on connaît les images de deux réels distincts.
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4) Lectures graphiques de a et b :
Soit A ( xA ; yA ) et B ( xB ; yB ) deux points de la droite représentant une fonction affine f .
yB – yA
xB – xA
B( – 4 ; –1 )
A(2;2)
a=
Alors a =
yB – yA
–1–2
1
=
=
xB – xA
–4–2
2
1
1
O
L’ordonnée à l’origine b est f(0) ou l’image de 0 par f .
Donc la droite représente la fonction f telle que : f (x) =
Dans le cas ci-dessus, b = 1
1
x +1
2
En pratique, pour la détermination de a , coefficient directeur de la droite :
o
On regarde d’abord si la droite " monte " ou " descend ".
Si elle " monte " , alors a > 0
o
Si elle " descend " alors a < 0
On choisit 2 points de la droite dont on connaît bien les coordonnées (valeurs entières de préférence)
puis on lit le rapport :
différence des ordonnées entre les 2 points
différence des abscisses entre les 2 points
o
Donc
a
y
x
y
x
signe
Exemple :
Retrouver la fonction affine f représentée par
cette droite.
La droite " descend " donc a < 0
Si A ( 0 ; 2 ) et B ( 5 ; 0 )
alors x = 5 et y = 2
2
donc a = –
5
1
O
1
b = f(0) = 2
On a donc
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f(x) = –
2
x +2
5
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III. Signe d'une fonction affine et tableau de signes :
Soit f une fonction affine définie par : f (x) = a x + b. Déterminer le signe de f(x).
Par le calcul :
f (x) > 0
ax > –b
ax+b>0
alors
x >–
b
a
et f(x) > 0 sur
si a < 0 alors
x <–
b
a
et f(x) > 0 sur ] –
Soit
f (x) = a x + b une fonction affine et D : y = a x + b sa représentation graphique.
si a > 0
Graphiquement :
]–
b
; + [ , f(x) < 0 sur ] –
a
;–
;–
b
b
[ et f(x) = 0 si x = –
a
a
b
b
b
[ , f(x) < 0 sur ] – ; + [ et f(x) = 0 si x = –
a
a
a
Pour la partie de D située au-dessus de l'axe des abscisses , f(x) > 0 .
Pour la partie de D située au-dessous de l'axe des abscisses , f(x) < 0 .
A l'intersection de D avec l'axe des abscisses , f (x) = 0
b
a
a 0
O
–
b
a
a 0
b
a
x
ax b
O
b
a
x
0
+
–
0
+
ax b
Attention : Il n’y a pas de rapport entre tableau de signe et tableau de variation d’une fonction f
(une fonction croissante n’est pas forcément positive)
Exemple : Etudier le signe de la fonction affine f définie par f (x) = – 2x + 3.
3
f (x) = 0
– 2x + 3 = 0
x=
2
3
2
x
– 2x + 3
O
3
2
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+
0
–