les fonctions affines

2nd Ch 6 . Fonctions affines 2010 – 2011
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LES FONCTIONS AFFINES
I. Généralités :
1) Définition :
Soit a et b deux réels.
La fonction f telle que f (x) = a x + b est appelée fonction affine.
Son ensemble de définition est Df = ] – ; + [ = IR.
2) Représentation graphique :
La représentation graphique de f est une droite d’équation y = a x + b
a est appelé coefficient directeur
b est appelé ordonnée à l’origine
Comment tracer la droite d'équation y = ax + b ?
a) On peut remplir un tableau de valeurs :
Remarque : 3 points suffisent pour tracer une droite !
b) On peut utiliser a et b :
f (x) = – 0,5 x + 2
b = 2 donc la droite passe par ( 0 ; 2 )
a = – 0,5 donc à partir du point précédent
on se décale de 1 unité vers la droite puis
on descend de 0,5 unité.
Remarque : a = – 0,5 = – 1
2
On peut aussi se décaler de 2 unités vers
la droite et de 1 unité vers le bas.
3) Cas particuliers :
Si a = 0 alors f (x) = b est une fonction constante. Elle est représentée par une droite parallèle à l'axe des abscisses.
Cette droite a pour équation y = b.
Si b = 0 alors f (x) = a x est une fonction linéaire.Elle représente une situation de proportionnalité .
a est le coefficient de proportionnalité .
Elle est représentée par une droite passant par l'origine du repère, d'équation y = a x .
Exemples : Tracer dans un même repère , les deux droites y = –2 et y = 3 x .
x
f (x)
O
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II.Variations d'une fonction affine :
1) Sens de variation d'une fonction affine :
Si a > 0 alors f est croissante Si a < 0 alors f est décroissante
Si a = 0 alors la fonction f est constante .
2) Théorème de caractérisation d'une fonction affine :
Théorème : f est une fonction afiine définie sur IR par f (x) = a x + b
pour tout x1 et x2 réels distincts on a f(x1 ) – f(x2)
x1 – x2 = a .
Remarques : On appelle accroissement de l'image et on note y la quantité f (x1 ) – f (x2).
On appelle accroissement de la variable et on note x la quantité x1 – x2 .
Le quotient f(x1 ) – f(x2)
x1 – x2 est appellé taux de variation de la fonction affine f .
Autre manière d'exprimer le théorème :
f est une fonction affine l'accroissement y de l'image est proportionnel à l'accroissement x de la variable.
3) Utilisation du théorème de caractérisation :
Exemple 1 : Soit A ( 5 ; –2 ) et B ( –1 ; 3 ) deux points du plan. Déterminer la fonction affine f représentée par la droite ( AB) .
La fonction f étant représentée par une droite ,c'est une fonction affine. Posons f (x) = a x + b .
a = f(xA ) – f(xB)
xA – xB = yA – yB xA – xB = –2 – 3 5 + 1 = – 5 6 donc f (x) = – 5 6 x + b
f (xA) = – 5
6 xA + b d'où b = –2 + 5 6 5 = –2 + 25 6 = – 12 6 + 25 6 = 13 6 donc f(x) = – 5 6 x + 13 6
Le théorème de caractérisation permet de retrouver la fonction affine représentée par une droite dont on connaît les
coordonnées de deux points distincts.
Exemple 2 : Soit f une fonction affine telle que f(–4) = 3 et f(7) = 1. Déterminer la fonction affine f .
Posons f (x) = a x + b.
a = f(x1 ) – f(x2)
x1 – x2 = 3 – 1 –4 – 7 = – 2 11 donc f (x) = – 2 11 x + b
f (–4) = 3 – 2
11 ( –4 ) + b = 3 d'où b = 3 – 8 11 = 33 11 – 8 11 = 25 11 donc f(x) = – 2 11 x + 25 11
Le théorème de caractérisation permet de retrouver une fonction affine quand on connaît les images de deux réels distincts.
x
variations
de f (x)
–
+
variations
de f (x)
x
–
+

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4) Lectures graphiques de a et b :
Soit A ( xA ; yA ) et B ( xB ; yB ) deux points de la droite représentant une fonction affine f . Alors a = yB – yA
xB – xA
A ( 2 ; 2 ) B( – 4 ; –1 )
a = yB – yA
xB – xA = – 1 – 2 – 4 – 2 = 1 2
L’ordonnée à l’origine b est f(0) ou l’image de 0 par f . Dans le cas ci-dessus, b = 1
Donc la droite représente la fonction f telle que : f (x) = 1
2 x + 1
En pratique, pour la détermination de a , coefficient directeur de la droite :
o On regarde d’abord si la droite " monte " ou " descend ".
Si elle " monte " , alors a > 0 Si elle " descend " alors a < 0
o On choisit 2 points de la droite dont on connaît bien les coordonnées (valeurs entières de préférence)
puis on lit le rapport :
différence des ordonnées entre les 2 points
différence des abscisses entre les 2 points y x
o Donc
signe y ax
Exemple :
Retrouver la fonction affine f représentée par
cette droite.
La droite " descend " donc a < 0
Si A ( 0 ; 2 ) et B ( 5 ; 0 )
alors x = 5 et y = 2
donc a = – 2
5
b = f(0) = 2
On a donc f(x) = – 2
5 x + 2
O
1
1
O
1
1

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III. Signe d'une fonction affine et tableau de signes :
Soit f une fonction affine définie par : f (x) = a x + b. Déterminer le signe de f(x).
Par le calcul :
f (x) > 0 a x + b > 0 a x > – b
si a > 0 alors x > – b
a et f(x) > 0 sur ] – b
a ; + [ , f(x) < 0 sur ] – ; – b a [ et f(x) = 0 si x = – b a
si a < 0 alors x < – b
a et f(x) > 0 sur ] – ; – b
a [ , f(x) < 0 sur ] – b a ; + [ et f(x) = 0 si x = – b a
Graphiquement : Soit f (x) = a x + b une fonction affine et D : y = a x + b sa représentation graphique.
Pour la partie de D située au-dessus de l'axe des abscisses , f(x) > 0 .
Pour la partie de D située au-dessous de l'axe des abscisses , f(x) < 0 .
A l'intersection de D avec l'axe des abscisses , f (x) = 0
b
a
Attention : Il n’y a pas de rapport entre tableau de signe et tableau de variation d’une fonction f
(une fonction croissante n’est pas forcément positive)
Exemple : Etudier le signe de la fonction affine f définie par f (x) = – 2x + 3.
f (x) = 0 – 2x + 3 = 0 x = 3
2
O
3
2
3
2
– 2x + 3
x
+
–
0
0a
0a
–
+
–
+
0
0
O
x
ax b
b
a
O
x
ax b
b
a
b
a