Exercices bilan : Second degré

Exercices bilan
Second degré
Exercice 1:Soit f(x) = 3(x+ 7)2−2et g(x) = −2(x+ 4)2+ 5
1Déterminer la forme développée de fpuis de g.
2Donner le tableau de variations de fpuis de g.
3Donner à l’aide de la forme canonique les coordonnées du sommet de la parabole associée à fpuis à g.Vous pouvez
vérifier ces résultats à l’aide du grapheur de la calculatrice.
Exercice 2:On considère la fonction fdéfinie pour tout réel xpar f(x) = (x+ 3)2−25.
1Vérifier que fpeut aussi s’écrire :
(a) f(x) = x2+ 6x−16
(b) f(x) = (x−2)(x+ 8)
2(a) Mettre une croix dans la case correspondante à la forme la plus adaptée pour calculer f(0),f(−3) et f(2).
forme forme forme
factorisée canonique développée
f(0)
f(−3)
f(2)
(b) Effectuer les calculs.
3(a) Mettre une croix dans la case correspondante à la forme la plus adaptée pour calculer f(x) = 0,f(x) = 11 et
f(x) = −16.
forme forme forme
factorisée canonique développée
f(x) = 0
f(x) = 11
f(x) = −16
(b) Résoudre ces équations.
Exercice 3:Résoudre dans Rles équations suivantes :
Pour la dernière équation, on pensera à mettre au même dénominateur
•4x2−x−3 = 0 ;
•(t+ 1)2+ 3 = 0 ;
•x2+ 1050x+ 25 ×1098 = 0 ;
•x2+ 3x= 0 ;
•4x2−9 = 0 ;
•x2+ 9 = 0 ;
•2(2x+ 1)2−(2x+ 1) −6 = 0 ;
•2x2−3x+ 1
x+ 2 = 0 ;
•1
x+2 x+ 1 = 3
Exercice 4:Soient fet gles fonctions définies sur Rpar f(x) = 4x2+ 3x+ 2 et g(x) = 5x2+ 2x+ 1, représentées
respectivement graphiquement par Cfet Cg.
Déterminer par le calcul les coordonnées des points d’intersection de Cfet Cg.
Exercice 5:Les fonctions d’offre et de demande de la pomme de terre sur les marchés exprimée en euros par tonne,
sont données par :
O(q) = 2q2+ 1,5q+ 17 et D(q) = q2−20q+ 110 , pour q < 10
où qdésigne la masse de pomme de terre exprimée en tonne.
1(a) Pour quelle masse l’offre est-elle de 43 (?
(b) Pour quelle masse la demande est-elle de 26 (?
2(a) Dresser le tableau de variations des fonctions offre et demande sur l’intervalle [1 ; 10].
(b) Représenter ces deux fonctions dans un même repère.
Unités : en abscisse, 2cm pour une unité ; en ordonnée, 1 cm pour 10 unités.
3(a) Résoudre graphiquement l’équation O(q) = D(q).
La solution de cette équation est appelée quantité d’équilibre du marché.
(b) Par un calcul, déterminer la valeur exacte puis la valeur approchée à 0,01 tonne près la quantité d’équilibre du
marché. Quel est alors le prix d’équilibre du marché, arrondi au centime près ?

Exercices bilan - Correction
Second degré
Exercice 1:
1Soit x∈R,f(x) = 3(x+ 7)2−2 = 3(x2+ 14x+ 49) −2 = 3x2+ 42x+ 145.
Soit x∈R,g(x) = 2(x+ 4)2+ 5 = 2(x2+ 8x+ 16) + 5 = 2x2+ 16x+ 37
2
x−∞ −7 +∞
var. de f
✒
−2❅❅❅❘
x−∞ −4 +∞
var. de g
❅❅❅❘ 5
¯
✒
3Par lecture de la forme canonique : Sf(−7 ; −2) et Sg(−4 ; −5)
Exercice 2:
1(a) Soit x∈R, f (x) = (x+ 3)2−25 = x2+ 6x+ 9 −25 = x2+ 6x−16
(b) Soit x∈R, f (x) = (x+ 3)2−25 = (x+ 3)2−52= (x+ 3 −5)(x+ 3 + 5) = (x−2)(x−8).Bien sûr, rien ne vous
empêchait de développer (x−2)(x−8) et de montrer l’égalité avec la forme du (a)
2
forme forme forme calculs
factorisée canonique développée
f(0) ✓f(0) = 02+ 6 ×0−16 = −16
f(−3) ✓f(−3) = (−3 + 3)2−25 = −25
f(2) ✓f(2) = (2 −2×(2 −8) = 0
3
forme forme forme calculs
factorisée canonique développée
f(x) = 0 ✓f(x) = 0 ⇔(x−2)(x−8) = 0 ⇔x= 2 ou x = 8
f(x) = 11 ✓
f(x) = −11 ⇔(x+ 3)2−25 = 11 ⇔(x+ 3)2−36 = 0
⇔(x+ 3)2−62= 0 ⇔(x−3)(x+ 9) = 0
⇔x= 3 ou x =−9
f(x) = −16 ✓f(x) = −16 ⇔x2+ 6x= 0 ⇔x(x+ 6) = 0
⇔x= 0 ou x =−6
Exercice 3:Je ne vous donne que des éléments de réponse, la rédaction est absente.
⋄4x2−x−3 = 0
a= 4, b =−1, c =−3
∆ = 49 >0
S=−3
4; 1
⋄(t+ 1)2+ 3 = 0 ⇔t2+ 2t+ 4 = 0
a= 1, b = 2, c =−4
∆ = 20 >0
S=−1−√5 ; −1 + √5
Rmq : √20 = 2√5
⋄x2+ 1050x+ 25 ×1098 = 0
a= 1, b = 105, c = 1098
∆≃ −4×1099 <0
S=∅
⋄x2+ 3x= 0 ⇔x(x+ 3) = 0
S={−3 ; 0}
⋄4x2−9 = 0 ⇔(2x)2−32= 0 ⇔(2x−3)(2x+ 3) = 0
S=−3
2;3 2
⋄x2+ 9 = 0 ⇔x2=−9
S=∅
⋄2(2x+ 1)2−(2x+ 1) −6 = 0 ⇔8x2+ 6x+ 7 = 0
a= 8, b = 6, c = 7
∆ = −188 <0
S=∅

⋄L’expression 2x2−3x+ 1
x+ 2 n’est définie que sur R\{−2}.
On résout 2x2−3x+ 1 = 0,∆ = 1,x1= 0.5,x2= 1.
Les solutions de 2x2−3x+ 1
x+ 2 = 0 sont : S={0.5 ; 1}
⋄L’expression 1
x+2 x+ 1 n’est définie que sur R\{−1 ; 0}.
On réduit au même dénominateur les membres de l’équation et on se ramène à une équation dont le second membre
est nul.
1
x+2 x+ 1 = 3 ⇔−3x2+ 1 x2+x= 0
S=−1
9;1 9
Exercice 4:La rédaction concernant la recherche de racines est très succincte, à vous de la faire rigoureusement.
⋄chercher les abscisses des points d’intersection de Cfet Cgrevient à résoudre l’équation f(x) = g(x). Soit x∈R,
f(x) = g(x)⇐⇒ f(x)−g(x) = 0 ⇐⇒ −x2+x+ 1 = 0.
∆ = 5 >0, donc deux solutions réelles x1=1 + √5
2et x2=1−√5 2
⋄pour avoir les coordonnées, il nous manque les ordonnées des points, on calcule (indifféremment avec fou g) les images
des abscisses précédemment trouvées.
y1=f(x1) = 19 + 7√5
2et y2=f(x2) = 19 −7√5 2
On obtient ainsi deux points d’intersection : Aet Btels que :
A 1 + √5
2;19 + 7√5 2!et B 1−√5 2;19 −7√5 2!