Systèmes d`équations linéaires
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Systèmes d’équations linéaires Résoudre un système d’équations linéaires Un système de m équations linéaires à n inconnues est un système d’équations du type a11 x1 a21 x1 .. . + + a12 x2 a22 x2 .. . + ··· + ··· .. . am1 x1 + am2 x2 + · · · + + a1n xn a2n xn .. . = = b1 b2 .. . (1) + amn xn = bm Les coefficients a11 , a12 , . . . , amn et les nombres b1 , b2 , . . . , bm sont donnés et il s’agit de déterminer les inconnues x1 , x2 , . . . , xn . Un tel système peut admettre une infinité de solutions, une solution unique ou aucune solution. Par solution, on entend un n-tuplet (x1 , x2 , . . . , xn ) de nombres satisfaisant les équations. Lorsque m = n, formons la matrice carrée A des coefficients aij : A = (aij )1 ≤ i ≤ n , 1 ≤ j ≤ n . Si det(A) 6= 0, le système (1) admet une et une seule solution. Cette solution (x1 , x2 , . . . , xn ) peut être calculée au moyen de la règle de Cramer : pour 1 ≤ k ≤ n , xk = det(Ak ) det(A) (2) où Ak désigne la matrice carrée obtenue de A en y remplaçant la colonne k, c’est-à-dire les entrées a1k , a2k , . . . , ank , par les nombres b1 , b2 , . . . , bn . Exemple Le déterminant de la matrice des coefficients du système x1 − 2x2 + x3 = 1 2x1 + x2 + 7x3 = 0 −x1 + 5x2 + 4x3 = 6 1 est égal à 10. Le système admet une solution unique. On a 1 −2 1 1 1 1 1 −121 −9 1 x1 = det 0 1 7 = , x2 = det 2 0 7 = 10 10 10 2 6 5 4 −1 6 4 et 1 −2 1 41 1 1 0 = x3 = det 2 10 10 −1 5 6 Dans tous les cas, on peut trouver les solutions du système (1) (s’il y en a) en remplaçant le système par un autre plus simple (un système « échelonné ») admettant exactement les mêmes solutions. Cela peut être accompli en appliquant à plusieurs reprises la procédure suivante : remplacer une équation par cette équation plus (ou moins) un multiple approprié d’une autre. Exemples • Soit à résoudre le système suivant : x1 + 2x2 + 3x3 = 1 4x1 + 5x2 + 6x3 = a 7x1 + 8x2 + 9x3 = a2 En y remplaçant la deuxième équation par la deuxième moins 4 fois la première et la troisième équation par la troisième moins 7 fois la première, ce système est équivalent au (admet exactement les même solutions que le) suivant : x1 + 2x2 + 3x3 = 1 −3x2 − 6x3 = a − 4 −6x2 − 12x3 = a2 − 7 Remplaçant la troisième équation de ce nouveau système par la troisième moins 2 fois la deuxième, on obtient un système échelonné équivalent au système initial : x1 + 2x2 + 3x3 = 1 −3x2 − 6x3 = a − 4 0 = a2 − 2a + 1 2 (= (a − 1)2 ) Donc, le système admettra des solutions si et seulement si le paramètre a qui y apparaît est égal à 1. Dans ce cas, il y aura une infinité de solutions. Réécrivons le système échelonné (avec a = 1) : x1 = −2x2 − 3x3 + 1 x2 = −2x3 + 1 En remplaçant x2 par son expression en termes de x3 , on obtient finalement : x1 = x3 − 1 x2 = −2x3 + 1 • Lorsque a = 1, la solution générale peut donc se mettre sous la forme (x3 − 1, −2x3 + 1, x3 ) où x3 est arbitraire. Le système x1 − x2 + x3 − x4 = 1 2x1 − x2 − x3 + x4 = 0 x1 + 2x2 − x3 + 3x4 = 2 peut être échelonné en deux étapes : d’abord x1 − x2 + x3 − x4 = 1 x2 − 3x3 + 3x4 = −2 3x2 − 2x3 + 4x4 = 1 puis x1 − x2 + x3 − x4 = 1 x2 − 3x3 + 3x4 = −2 7x3 − 5x4 = 7 On en déduit que x3 = 5 x4 + 1 , 7 que 6 x2 = 3x3 − 3x4 − 2 = − x4 + 1 7 et que 4 x1 = x2 − x3 + x4 − 1 = − x4 + 1. 7 Le nombre x4 est arbitraire et le système admet une infinité de solutions. 3 • Le système x1 + 3x2 = 2 3x1 + 5x2 = 7 2x1 − 3x2 = 4 peut être échelonné en une seule étape : x1 + 3x2 = 2 −4x2 = 1 −9x2 = 0 ce qui montre qu’il n’admet aucune solution. Exercices Résoudre les systèmes suivants. 1. x1 − x2 + x3 = 6 2x1 − x2 − x3 = 0 x1 + 2x2 − 7x3 = 2 2. x1 − x2 + x3 = 6 2x1 − x2 − x3 = 7 4x1 − 2x2 − 2x3 = 2 3. x1 − x2 + x3 = 6 2x1 − x2 − x3 = 1 4x1 − 2x2 − 2x3 = 2 4. x1 + 5x2 + x3 − x4 = 2 2x1 − x2 − x3 = 1 x1 + 2x2 − x3 + 3x4 = 2 Pour en savoir plus ? http://www.unilim.fr/pages_perso/jean.debord/math/matrices/ matrices.htm ? http://fr.wikipedia.org/wiki/Portail:Mathématiques 4 Réponses 1. (58, 84, 32) 2. Pas de solution. 15 5 8 6 38 9 4. ( 13 x4 + 13 , − 13 x4 + 13 , 13 x4 − 13 , x4 ) 5 3. (2x3 − 5, 3x3 − 11, x3 )
