Systèmes d`équations linéaires

Systèmes d’équations linéaires
Résoudre un système d’équations linéaires
Un système de méquations linéaires à ninconnues est un système d’équa-
tions du type
a11x1+a12x2+· · · +a1nxn=b1
a21x1+a22x2+· · · +a2nxn=b2
.
.
..
.
..
.
..
.
..
.
.
am1x1+am2x2+· · · +amnxn=bm
(1)
Les coefficients a11, a12, . . . , amn et les nombres b1, b2, . . . , bmsont donnés
et il s’agit de déterminer les inconnues x1, x2, . . . , xn. Un tel système peut
admettre une infinité de solutions, une solution unique ou aucune solution.
Par solution, on entend un n-tuplet (x1, x2, . . . , xn)de nombres satisfaisant
les équations.
Lorsque m=n, formons la matrice carrée Ades coefficients aij :
A= (aij )1≤i≤n , 1≤j≤n.
Si det(A)6= 0, le système (1) admet une et une seule solution. Cette solution
(x1, x2, . . . , xn)peut être calculée au moyen de la règle de Cramer :
pour 1≤k≤n , xk=det(Ak)
det(A)(2)
où Akdésigne la matrice carrée obtenue de Aen y remplaçant la colonne k,
c’est-à-dire les entrées a1k, a2k, . . . , ank, par les nombres b1, b2, . . . , bn.
Exemple
Le déterminant de la matrice des coefficients du système
x1−2x2+x3= 1
2x1+x2+ 7x3= 0
−x1+ 5x2+ 4x3= 6
1

est égal à 10. Le système admet une solution unique. On a
x1=1
10 det 
1−2 1
017
6 5 4
=−121
10 , x2=1 10 det 
1 1 1
2 0 7
−1 6 4
=−9
2
et
x3=1
10 det 
1−2 1
2 1 0
−156
=41
10
Dans tous les cas, on peut trouver les solutions du système (1) (s’il y en a) en
remplaçant le système par un autre plus simple (un système « échelonné »)
admettant exactement les mêmes solutions. Cela peut être accompli en ap-
pliquant à plusieurs reprises la procédure suivante : remplacer une équation
par cette équation plus (ou moins) un multiple approprié d’une autre.
Exemples
•Soit à résoudre le système suivant :
x1+ 2x2+ 3x3= 1
4x1+ 5x2+ 6x3=a
7x1+ 8x2+ 9x3=a2
En y remplaçant la deuxième équation par la deuxième moins 4 fois
la première et la troisième équation par la troisième moins 7 fois la
première, ce système est équivalent au (admet exactement les même
solutions que le) suivant :
x1+ 2x2+ 3x3= 1
−3x2−6x3=a−4
−6x2−12x3=a2−7
Remplaçant la troisième équation de ce nouveau système par la troi-
sième moins 2 fois la deuxième, on obtient un système échelonné équi-
valent au système initial :
x1+ 2x2+ 3x3= 1
−3x2−6x3=a−4
0 = a2−2a+ 1 (= (a−1)2)
2

Donc, le système admettra des solutions si et seulement si le paramètre
aqui y apparaît est égal à 1. Dans ce cas, il y aura une infinité de
solutions. Réécrivons le système échelonné (avec a= 1) :
x1=−2x2−3x3+ 1
x2=−2x3+ 1
En remplaçant x2par son expression en termes de x3, on obtient fina-
lement : x1=x3−1
x2=−2x3+ 1
Lorsque a= 1, la solution générale peut donc se mettre sous la forme
(x3−1,−2x3+ 1, x3)où x3est arbitraire.
•Le système
x1−x2+x3−x4= 1
2x1−x2−x3+x4= 0
x1+ 2x2−x3+ 3x4= 2
peut être échelonné en deux étapes : d’abord
x1−x2+x3−x4= 1
x2−3x3+ 3x4=−2
3x2−2x3+ 4x4= 1
puis
x1−x2+x3−x4= 1
x2−3x3+ 3x4=−2
7x3−5x4= 7
On en déduit que
x3=5
7x4+ 1 ,
que
x2= 3x3−3x4−2 = −6
7x4+ 1
et que
x1=x2−x3+x4−1 = −4
7x4+ 1.
Le nombre x4est arbitraire et le système admet une infinité de solu-
tions.
3

•Le système
x1+ 3x2= 2
3x1+ 5x2= 7
2x1−3x2= 4
peut être échelonné en une seule étape :
x1+ 3x2= 2
−4x2= 1
−9x2= 0
ce qui montre qu’il n’admet aucune solution.
Exercices
Résoudre les systèmes suivants.
1. x1−x2+x3= 6
2x1−x2−x3= 0
x1+ 2x2−7x3= 2
2. x1−x2+x3= 6
2x1−x2−x3= 7
4x1−2x2−2x3= 2
3. x1−x2+x3= 6
2x1−x2−x3= 1
4x1−2x2−2x3= 2
4. x1+ 5x2+x3−x4= 2
2x1−x2−x3= 1
x1+ 2x2−x3+ 3x4= 2
Pour en savoir plus
?http://www.unilim.fr/pages_perso/jean.debord/math/matrices/
matrices.htm
?http://fr.wikipedia.org/wiki/Portail:Mathématiques
4

Réponses
1. (58,84,32) 2. Pas de solution. 3. (2x3−5,3x3−11, x3)
4. (15
13 x4+5 13 ,−8 13 x4+6 13 ,38 13 x4−9 13 , x4)
5