son corrigé

Devoir Surveillé 8
Exercice 1
Résoudre dans R les équations suivantes :
8(x + 1) = 9 + 8x
4 (3x – 7 )= 2x +10
(2x - 3)² – 16 = 0
8x + 8 = 9 + 8x
12x – 28 = 2x +10
(2x - 3)² = 16
8x - 8x = 9 – 8
12x – 2x = 10 + 28
2x – 3 = 4 ou 2x – 3 = - 4
0=1
10x = 38
2x = 7 ou 2x = -1
égalité fausse, donc S= Ø
x = 38 ÷ 10 = 3,8
x = 7/2 ou 2x = -1/2
Exercice 2
On considère la fonction polynôme de degré 2 : f(x) = 2x2 - 2x - 24
1. Montrer que 2x2 - 2x - 24 = 2( x + 3 )( x – 4 )
2( x + 3 )( x – 4 ) = 2( x² - 4x + 3x - 12 )
2( x + 3 )( x – 4 ) = 2x² - 2x - 24
2( x + 3 )( x – 4 ) = 2( x² - x - 12 )
2. En déduire la résolution de 2x2 - 2x - 24 = 0 .
2x2 - 2x - 24 = 0 <=> 2( x + 3 )( x – 4 ) = 0
2x2 - 2x - 24 = 0 <=> x = -3 ou x = 4
2x2 - 2x - 24 = 0 <=> x + 3 = 0 ou x – 4 = 0
3. Donner le tableau de signe de la fonction f sur R .
x
-3
-∞
2
+
x+3
-
x–4
-
f(x)
+
0
0
4
+∞
+
+
+
+
-
0
+
-
0
+
Car 2 est toujours positif
Car a =1 >0, donc y = x +3 est une droite croissante
Car a =1 >0, donc y = x - 4 est une droite croissante
4. Résoudre l’inéquation 2x2 - 2x – 24 > 0 sur R .
S = ] - ∞ ; -3 [ U ] 4 ; + ∞ [
Exercice 4 : Tableau de variation
On considère la fonction polynôme de degré 2 : f(x) = -x² - 4x +1
1. Déterminer les coefficient a, b et c.
a=-1
b=-4
c=1
2. Calculer les coordonnées du sommet S de la parabole.
−(−4)
Donc le sommet de la parabole est tel que :
−b
Abscisse :
=
= -2
2×(−1)
2a
S (-2 ; 5)
Ordonnées : f(-2) = -(-2)² - 4(-2) +1 = -4 + 8 + 1 = 5
3. Donner le tableau de variations de la fonction f.
x
-∞
-2
5
f(x)
+∞
a = - 1, donc c'est une parabole avec les
pointes vers le bas.
4. Faire un schéma de la représentation graphique de f
S (-2;5)
Exercice 5 : Tracé de courbe- résolution graphique
Résoudre 0,5x2 – 0,5x – 6 ≤ 0
x
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
f(x)
-6
-5
-3
0
4
9
15
15
9
4
0
-3
-5
-6
Soit f(x) = 0,5x2 – 0,5x – 6
•
On trace la représentation graphique Cf de la fonction f
•
f(x) ≤ 0 est équivalent à Cf en dessous ou confondu à l'axe des
abscisses.
•
D’où S = [ -3 ; 4 ]
Exercice 5 : Résolution de problème
1. Résoudre le problème suivant :
Trouver trois nombres entiers consécutifs tels que la différence entre le carré du plus grand et le produit
des deux autres soit égale à 715. (on pourra noter ces nombres x, x+1 et x+2)
Soit x, x+1 et x+2 ces trois nombres
x² + 4x + 4 - x² - x = 715
Le carré du plus grand : ( x+2 )²
Le produit des deux autres : x ( x + 1 )
D'où l'équation : ( x+2 )² - x ( x + 1 ) = 715
( x² + 4x + 4 ) - ( x² + x ) = 715
2. Mettre en équation le problème suivant :
3x + 4 = 715
3x = 711
x = 711 ÷ 3 = 237
Les nombres sont 237, 238 et 239
Un centaure est un animal fabuleux ayant une tête d'homme et un corps de cheval, apparaissant dans la mythologie grecque.
Au cours d’une bataille homérique entre les géants et les centaures, on dénombra 106 têtes et 304 pieds.
Quels étaient le nombre de géants et le nombre de centaures ?
1ère possibilité
2ème possibilité
Soit x le nombre de géants
Soit 106 – x le nombre de centaure
d'où l'équation :
2 x + 4 ( 106 – x ) = 304
Soit x le nombre de géants et y le nombre de centaure
{2 xx ++y4 =106
y =304