T ES Interrogation Mathématiques NOM : Lundi 19/01/15 PRENOM

T ES
Interrogation Mathématiques
Lundi 19/01/15
NOM :
PRENOM :
Résoudre après avoir donner le domaine de résolution (Domaine de validité):
A)
ln ( 3x2 + 1 ) = 5
B)
e x^2 + 3x +ln2 > 2
C)
ln ( x -1 ) < ln ( 2x +3)
Correction :
A) * Domaine de résolution :
ln ( 3x2 + 1 ) existe si et seulement si >0
Or pour tout réel x :
x2 > 0 et donc
Ainsi cette équation se résout dans R.
* Résolution :
ln ( 3x2 + 1 ) = 5
( 3x2 + 1 ) = e 5
3x2 = e 5 – 1
3x2 > 0 d’où :
3x2 +1 > 0
( On peut aussi utiliser l’étude du signe du polynôme du second degré 3x2 + 1 .
∆ = 0 – 4×3×1 = -12 < 0.
Le polynôme n’a pas de racine, et il est du signe de a sur R
C’est à dire : 3x2 + 1 est positif sur R. ( pour tout réel x)
donc l’équation se résout sur R.
e 5 1
=
3
e 5 1
soit x =
3
x2
( ce réel est bien positif, on peut prendre sa racine carrée.)
e 5 1
Donc
soit x = .
3

e 5 1
Conclusion : L’équation a deux solutions,
et 3


e 5 1
.
3
B) Résoudre : e x^2 + 3x +ln2 > 2
Cette inéquation se résout dans R.
(Il n’y a pas de restriction/ Pas de domaine de résolution à chercher… ).


x2
+ 3x +ln2 > ln 2
x2 + 3x > 0
x ( x +3) > 0
Dressons le tableau des signes :
-∞
x
x+3
x (x+ 3)
+
-3
⎢
0
0
0
0
⎥
0
+
-
+∞
+
+
+
Conclusion : Les solutions sont les réels appartenant à ] -∞ ; -3[ U ]0 ;+∞[.
C) ln ( x -1 ) < ln ( 2x +3) :
* Domaine de Résolution (ou de validité) :
ln ( x -1 ) existe SSI x-1 > 0
ln ( 2x +3) existe SSI 2x+3 >0
C’est à dire si x > 1
C’est à dire si x > -
En conclusion on résout cette équation sur ]1 ; +∞[.
*Résolution :
2
3

x – 1 < 2x + 3
-3 – 1 < 2x – x
-4<x
Ainsi les solutions dans ]1 ; +∞[ sont les réels x > -4, cela signifie que les solutions sont les réels x appartenant
à ]1 ; +∞[ et à ] -4 ; +∞[ aussi,
Donc les solutions sont les réels x ∈ ] 1 ; +∞[ .
T ES
DES SOUCIS AVEC LA RESOLUTION DES INEQUATIONS.
I.
Seules les équations et inéquations de type 1 et 2, nécessite l’étude d’un domaine de résolution.
Il s’agit de dire que ln(EXPRESSION) existe si et seulement si EXPRESSION >0
Alors il faut résoudre une inéquation.
Cela revient à faire une étude de signe de l’expression.
II.
VOUS êtes bloqués aux études de signes,
(D’ailleurs vous ne vous rendez pas compte que déterminer le domaine de résolution revient à étudier le signe
d’une expression. )
Les différents CAS :
Polynôme du 1ier
degré : ax+b >0
Polynôme du 2nd degré >0
On résout
l’inéquation
Delta
∆ >0
2 racines
∆=0
1 racine
Tableau des signes
∆<0
Pas de
racine
Autres choses ??? >0
Alors il faut revenir à
On revient :
Soit à une inéquation produit
en factorisant.
Soit à une inéquation quotient
en factorisant numérateur et
dénominateur.
Dresser un tableau des signes.
(VOIR LE MEMENTO INEQ,
bas de page)
Exemples : résoudre les inéquations suivantes
1) ln (-2x + 5) > 4
2) ln ( x2)= ln (-3-4x)
3) ln (ex +1 ) < ln 3