Fonction exponentielle

Fonction exponentielle : Exercices
Corrig´es en vid´eo avec le cours sur jaicompris.com
Calculer avec la fonction exponentielle
Simplifier les expressions suivantes o`u xest un r´eel quelconque :
a) e1+x
ex+2 b) e3x+ex e2x+exc) e e−x4
´
Equation avec la fonction exponentielle
R´esoudre dans Rles ´equations suivantes :
a) e2−x=exb) e2x+3 = 1 c) e5−x2=e
d) e−x= 0 e) 2e−x=4
ex+ 1 f) 2e−x=1 ex+ 1
In´equation avec la fonction exponentielle
R´esoudre dans Rles in´equations suivantes :
a) e2x−ex+1 <0 b) 1 −ex−2≥0 c) ex−1
ex≤0 d) 1 ex−e > 0
In´equation avec des exponentielles
R´esoudre dans Rles ´equations et in´equations suivantes, en posant X=ex:
a) 2e2x−ex= 1 b) e2x+ 2ex−3≤0
Signe avec la fonction exponentielle
D´eterminer le signe des expressions suivantes :
a) 1 −exb) e2x−1 c) e2x−ex+1 d) e(x2)−exe) 1 −1
ex
In´egalit´es avec la fonction exponentielle
Soit fla fonction d´efinie sur Rpar f(x)=1−e−x.
1) D´emontrer que pour tout r´eel x < 0, f(x)<0.
2) D´emontrer que pour tout r´eel x≥0, 0 ≤f(x)<1.
L’objectif de cet exercice est de d´eterminer : lim
x→+∞
exet lim
x→−∞
ex
On consid`ere la fonction fd´efinie sur Rpar f(x) = ex−x.
1) D´eterminer les variations de f.
2) En d´eduire que pour tout xr´eel, ex≥x
3) En d´eduire lim
x→+∞
ex
4) En d´eduire lim
x→−∞
ex. On pourra poser X=−x
L’objectif de cet exercice est de d´eterminer : lim
x→+∞
ex
x
et lim
x→−∞
xex
On consid`ere la fonction fd´efinie sur Rpar f(x) = ex−x2
2.
1) D´eterminer f0(x) et f00 (x).
2) D´eterminer le signe de f00 (x) puis de f0(x) et en d´eduire les variations de f.
3) En d´eduire que pour tout x > 0, f(x)≥0.
4) En d´eduire lim
x→+∞
ex
x
5) En d´eduire lim
x→−∞
xex. On pourra poser X=−x.
Limite avec la fonction exponentielle
´
Etudier les limites suivantes : a) lim
x→+∞
x−ex+ 1 b) lim
x→−∞
x−ex+ 1 c) lim
x→+∞
ex−x
e2x+ 1
1

´
Etudier les limites suivantes : a) lim
x→+∞(2x+ 1) e−xb) lim x→−∞
2x+ 1
exc) lim
x→−∞
xe2x−ex
´
Etudier les limites suivantes : a) lim
x→+∞
e−0.5xb) lim
x→+∞
e0.1x
xc) lim
x→+∞
xe1−xd) lim
x→−∞
xe1−x
Limite d’une compos´ee avec la fonction exponentielle
´
Etudier les limites suivantes : a) lim
x→+∞
e1−xb) lim
x→0
x<0
e1
xc) lim
x→0
x>0
e1
xd) lim
x→−∞
e1
x
´
Etudier les limites suivantes : a) lim
x→+∞
xe−x
2b) lim
x→−∞
xe−x
2
´
Etudier les limites suivantes : a) lim
x→−∞
ex2−x+1 b) lim
x→−∞
ex3−x
´
Etudier les limites suivantes : a) lim
x→+∞
xe 1
2xb) lim
x→−∞
xe 1
2xc) lim
x→0
x>0
xe 1
2xd) lim
x→0
x<0
xe 1
2x
D´eriv´ee et variation avec la fonction exponentielle
On consid`ere la fonction fd´efinie sur Rpar f(x) = e1−3x.
1) D´eterminer f0(x) pour tout xde Rpuis en d´eduire le tableau de variations de fsur R.
2) D´eterminer le tableau de variations de fsur Rsans utiliser la d´erivation.
On consid`ere la fonction fd´efinie sur Rpar f(x) = x2e−x.
D´eterminer f0(x) pour tout xde Rpuis en d´eduire le tableau de variations de fsur R.
Dans chaque cas, d´eterminer le tableau de variations de fsur le domaine I indiqu´e :
a) f(x) = e1
xet I=R\{0}b) f(x) = xe 1 xet I=R\{0}
On consid`ere la fonction fd´efinie sur [0; 2π] par f(x) = ecos x.
1) D´eterminer pour tout xde [0; 2π], f0(x).
2) En d´eduire le tableau de variations de fsur [0; 2π].
Associer courbe et fonction exponentielle
On a trac´e les courbes de quatre fonctions f, g, h, i d´efinies sur R.
On sait que f(x) = ex,g(x) = e−x,h(x) = e0.5x,i(x) = e−2x
Associer `a chaque fonction la courbe qui lui correspond en justifiant.
2

On a trac´e les courbes de cinq fonctions f, g, h, i, j d´efinies sur R.
Les droites d’´equation y=−1 et y= 1
sont asymptotes en +∞respectivement `a C2et C3.
On sait que :
f(x) = e−x−1,
g(x) = −2ex+ 2,
h(x) = ex−1,
i(x) = ex+e−x
2−1
j(x) = ex−1
ex+ 1
Associer `a chaque fonction la courbe qui lui correspond en justifiant.
On a trac´e la courbe Cfd’une fonction fd´efinie sur R.
La courbe de fpasse par les points A(−2; 0), B(0; 2).
On sait que f(x) = (ax +b)e−xo`u aet bsont des r´eels.
1) A l’aide du graphique, d´eterminer aet ben justifiant.
2) En d´eduire le tableau de variations de f.
Une fonction ud´efinie sur Ra pour tableau de variations :
x
u
−∞ −34+∞
+∞+∞
−1−1
11
00
1) D´eterminer le tableau de variations de la fonction eu.
2) D´eterminer les limites de euen −∞ et +∞.
On a trac´e la courbe Cfd’une fonction fd´efinie sur R.
Cfpasse par les points A(0 ;1) et B(-1 ;0).
Test la tangente `a Cfen A et passe par le point C(1 ;3).
On sait ´egalement que pour tout xr´eel :
f(x)=(ax2+bx +c)e−xo`u a,b,csont des nombres.
1) D´eterminer, pour tout xr´eel, f0(x).
2) D´eterminer la valeur de a,bet cen justifiant.
On consid`ere les fonctions fet gd´efinies sur Rpar f(x) = exet g(x) = e−x.
Dans un rep`ere orthonorm´e, on a trac´e les courbes Cfet Cgde ces deux fonctions.
1) D´emontrer que si mest le coefficient directeur d’une droite Ddu plan alors le vecteur
de coordonn´ees (1; m) est un vecteur directeur de cette droite.
2) D´eterminer, pour tout xr´eel, f0(x) et g0(x).
3) On note Taet ∆ales tangentes respectives `a Cfet Cg
au point d’abscisse a.
a) D´emontrer que les tangentes `a Cfet Cg
au point d’abscisse 0 sont perpendiculaires.
b) D´emontrer que les tangentes `a Cfet Cgau point d’abscisse a
sont perpendiculaires quelque soit ar´eel.
3

Suite avec la fonction exponentielle
On consid`ere la suite (un) d´efinie sur Npar un=e−n.
1) D´emontrer que (un) est une suite g´eom´etrique et pr´eciser sa raison.
2) On pose pour tout entier naturel n,Sn=u0+u1+... +un.
a) Exprimer Snen fonction de n.
b) D´eterminer la limite de Sn.
3) On pose pour tout entier naturel n,Pn=u0×u1×... ×un
a) D´emontrer que pour tout entier naturel n,Pn=1
e
n(n+1)
2
b) D´eterminer la limite de Pn.
On consid`ere la suite (un) d´efinie pour tout entier naturel npar un= 4 −e−n
2.
1) D´emontrer que la suite (un) est strictement croissante.
2) On pose pour tout entier naturel n,vn=e−n
2et Sn=v0+v1+... +vn.
a) D´emontrer que la suite (vn) est g´eom´etrique et pr´eciser sa raison.
b) Exprimer Snen fonction de n.
c) En d´eduire la somme u0+u1+... +unet la limite de cette somme.
L’objectif de cet exercice est de d´eterminer le nombre de solution de l’´equation ex
ex+ 1 =x.
On consid`ere la fonction fd´efinie sur Rpar f(x) = ex
ex+ 1 −x.
1) D´eterminer lim
x→+∞
f(x) et lim
x→−∞
f(x).
2) Justifier que fest d´erivable sur Ret d´eterminer f0(x).
3) D´eterminer le signe de f0(x) et en d´eduire les variations de f.
4) Conclure et donner un encadrement des ´eventuelles solutions `a 10−1pr`es.
On a trac´e deux courbes C1et C2.
L’une est la courbe d’une fonction fd´erivable sur R. L’autre est la courbe de f0.
1) Associer `a chaque courbe la fonction qui lui correspond en justifiant.
2) On sait que la fonction fest d´efinie par f(x)=(x2+ax +b)ex+co`u a,b,csont des nombres.
a) Justifier que aet bsont solutions du syst`eme : 4+2a+b= 0
9+3a+b= 0
b) R´esoudre ce syst`eme et indiquer les valeurs de aet b.
c) D´eterminer f0(x).
d) A l’aide du point C, d´eterminer la valeur de cet donner l’expression de f(x).
e) Expliquer comment v´erifier ces r´esultats `a l’aide de la calculatrice.
f) A l’aide du graphique, d´eterminer une ´equation de la tangente `a la courbe de fau point d’abscisse 1.
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L’objectif de cet exercice est de trouver une valeur approch´ee de e.
On consid`ere la fonction fd´efinie sur Rpar f(x) = ex−x−1.
1) ´ Etudier les variations de fet en d´eduire que pour tout xr´eel, 1 + x≤ex.
2) En d´eduire que pour x < 1, ex≤1
1−x
3) D´eduire du 1) que pour tout entier n≥1, 1 + 1
nn
≤e
4) D´eduire du 2) que pour tout entier n≥1, e≤1 + 1
nn+1
5) En d´eduire un encadrement de e`a 10−2pr`es.
6) Soit la suite (un) d´efinie pour tout entier n≥1 par un=1 + 1
nn
.
D´emontrer que pour tout entier n≥1, e−3
n≤un≤e. En d´eduire la limite de (un).
On consid`ere la fonction fd´efinie sur Rpar f(x) = xe−xet Cfsa courbe repr´esentative
Partie I
1) D´eterminer les variations de f.
2) D´eterminer lim
x→+∞
f(x) et lim
x→−∞
f(x).
3) D´eterminer une ´equation de la tangente T`a la courbe de fau point d’abscisse 0.
4) ´ Etudier la position de Tpar rapport `a Cf.
Partie II
On consid`ere la suite (un) d´efinie pour tout entier naturel npar un+1 =une−unet u0= 1.
1) On a trac´e Cf. D´eterminer graphiquement u1,u2,u3, en faisant apparaitre les traits de construction.
2) Conjecturer un majorant et un minorant de la suite (un).
3) Conjecturer le sens de variation de la suite (un).
4) Justifier que si x∈[0; 1] alors f(x)∈[0; 1].
5) D´emontrer la conjecture du 2).
6) D´emontrer la conjecture du 3).
7) En d´eduire que (un) converge. Justifier.
8) On note `la limite de (un). On admet que `v´erifie l’´equation, `=`e−`. D´eterminer la valeur de `.
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