Math-F-112 — Module A

Math-F-112 — Module A
Mathématiques
2014–2015

Informations au lecteur
Le présent document fait partie du syllabus pour le cours Math-F-112 pour l’année 2014–2015. Le
cours se décline en différents modules, chacun suivi par une sélection de sections :
Module A (12h) BIOL1, CHIM1, GEOG1, GEOL1, INFO1, IRBI1, PHAR1, SCIE1
Module T (48h) BIOL1, CHIM1, GEOG1, GEOL1, INFO1, IRBI1, SCIE1
Module S (30h) BIOL1, CHIM1, IRBI1, SCIE1 + Autres années 1
Module SI (30h) INFO1
Module SP (12h) PHAR1
Le syllabus se découpe donc en fascicules, chacun couvrant l’un des modules du cours. Chaque fasci-
cule contient la table des matières et un index pour l’ensemble des modules A, T et S. Le numéro de
chaque page est préfixé par le nom du module, afin de savoir à quel fascicule il correspond.
Quand un terme est introduit, il est en général indiqué en italique et rappelé dans la marge. Par
exemple : l’italique est une forme d’écriture qui consiste à pencher les caractères par rapport à leur italique
forme normale. Ce sont ces termes qui forment l’index, en fin de document.
Une version électronique de ce document est disponible (au format PDF), et présente deux avan-
tages non-négligeables :
∗il est « cherchable », c’est-à-dire que par exemple grâce au raccourci clavier bien connu Control-
f, il est possible de chercher dans le texte du document ; et
∗il est « cliquable », en ce sens que les références internes sont des liens hypertextes permettant de
se déplacer dans le document par un clic de souris.
(Cette version contient accessoirement des passages en couleur.)
La version papier du document présente quant à elle tous les avantages du papier, comme par
exemple :
∗il s’emporte facilement, partout,
∗il est simple à annoter, commenter, surligner, etc.
Enfin, une version électronique partagée est également disponible. Cette version présente l’intérêt
d’être annotable de sorte que tout le monde puisse voir –si vous le souhaitez– les annotations que vous
y ferez. C’est un outil potentiellement utile pour l’étude collective et partagée. Les détails sur cet outil
seront donnés durant les premiers cours.
Notons enfin que le présent document souffre d’un problème. Chacun le sait : il suffit que des
explications manquent pour que les mathématiques paraissent insurmontables. Il est intéressant de
savoir que le même effet peut être obtenu en donnant trop d’explications. Noyer le poisson dans le flot
des détails est particulièrement néfaste pour la compréhension. Le juste milieu, l’équilibre, dépend
de chaque apprenant et est complexe à déterminer. Par ailleurs, un syllabus s’adressant à tous les
étudiants, il est impossible de s’adapter à la situation de chacun. C’est pourquoi le lecteur est invité à
avoir une lecture particulièrement active. Si des informations semblent manquer ou si des informations
semblent contradictoires, les enseignants sont là pour répondre aux questions.
Le présent fascicule concerne le module A.
1. Les sections « Autres années » correspondent aux étudiants qui ont déjà suivi la première partie du cours en BA1, et
peuvent suivre la seconde partie du cours en option (dont GEOL2, GEOG2, GEOL3, GEOG3).
A-3

Table des matières
Module A
I Préliminaires A-11
1 Définitions, résultats et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-11
1.1 Définitions....................................... A-11
1.2 Résultats : théorèmes, lemmes, corollaires, axiomes, . . . . . . . . . . . . . . . . A-11
1.3 Notationsetvariables................................. A-12
2 Logique, rigueur et notion de preuve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-12
3 Manipulerlevraietlefaux.................................. A-13
3.1 Connecteurslogiques................................. A-14
3.1.1 Et....................................... A-14
3.1.2 Ou ...................................... A-14
3.1.3 Négation................................... A-14
3.1.4 Implication ................................. A-14
3.1.5 Équivalence (ou bi-implication) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-15
3.2 Quantificateurs .................................... A-15
3.2.1 Pourtout .................................. A-15
3.2.2 Ilexiste ................................... A-16
3.2.3 Négation et quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-16
3.3 Tablesdevérités.................................... A-16
3.4 Raisonnements et preuves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-17
3.4.1 Tiers-exclus................................. A-18
3.4.2 Démonstration par l’absurde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-18
3.4.3 Contraposée................................. A-18
3.4.4 Démonstration par récurrence / induction . . . . . . . . . . . . . . . A-18
3.4.5 Modélisation ................................ A-19
II Les nombres A-21
1 Une classification des nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-21
2 Relations entre les nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-23
2.1 Inégalités et notion d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-23
2.2 Intervalles ....................................... A-24
2.3 Pourcentages...................................... A-26
2.4 Principe de proportionnalité – Règle de trois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-26
3 Manipulation et opération sur les nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-27
3.1 Sommes ........................................ A-27
3.2 Moyennearithmétique................................ A-28
3.3 Puissances ....................................... A-29
3.4 Valeurabsolue..................................... A-30
3.5 Écriturescientifique ................................. A-31
3.6 Racines......................................... A-31
3.7 Factorielle ....................................... A-32
3.8 Permutations...................................... A-32
4 Équationsetsystèmes..................................... A-32
4.1 Systèmesd’équations................................. A-33
5 Géométrieélémentaire .................................... A-33
A-4

TABLE DES MATIÈRES A-5
5.1 Longueurs ....................................... A-33
5.2 Aire........................................... A-34
5.3 Volume......................................... A-34
5.4 Surfacelatérale .................................... A-34
III Notations ensemblistes A-35
1 L’ensemblevide ........................................ A-36
2 Union, intersection et différence............................... A-36
3 Diagrammes de Venn — Patatoïdes convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-36
4 Couplesetn-uples....................................... A-37
IV Fonctions A-39
1 Domaineetimage....................................... A-40
2 Interprétation de la notion de fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-40
2.1 Association....................................... A-40
2.2 Transformation .................................... A-41
3 Surjections, injections, bijections et réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-41
3.1 Injection ........................................ A-42
3.2 Surjection ....................................... A-43
3.3 Bijection ........................................ A-43
3.4 Inversibilité des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-43
4 Graphes............................................. A-43
5 Restrictions........................................... A-43
6 Composées........................................... A-43
7 Fonctionidentité........................................ A-43
8 Antécédent........................................... A-44
9 Parité .............................................. A-44
10 Quelques familles de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-44
10.1 Fonctions linéaires, affines et polynomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-44
10.1.1 Graphe.................................... A-45
10.1.2 Fonctions polynomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-46
10.2 Fonctionsracines ................................... A-46
10.3 Les fonctions exponentielles et logarithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-46
10.3.1 Exponentielles ............................... A-46
10.3.2 Logarithmes et logarithme naturel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-46
10.3.3 Identités importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-47
V Systèmes de coordonnées A-49
1 Surunedroite ......................................... A-49
1.1 Coordonnées cartésiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-49
1.2 Coordonnées logarithmiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-49
2 Surunplan........................................... A-49
2.1 Coordonnées induites par des droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-50
2.2 Coordonnées cartésiennes du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-50
2.2.1 Distance................................... A-50
2.3 Coordonnéespolaires................................. A-50
2.4 Lien entre les systèmes de coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-51
3 Graphesdefonctions ..................................... A-51
VI Trigonométrie A-53
1 La notion d’angle : généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-53
2 Leradian............................................ A-53
3 Fonctions trigonométriques dans le cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-54
4 Valeursimportantes...................................... A-55
4.1 Retrouver un angle à partir du sinus ou du cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . A-55
5 Relationfondamentale .................................... A-56
6 Symétries............................................ A-56