Probabilités conditionnelles

Rappels
Notion de probabilité conditionnelle
Utilisation d’un arbre pondéré
Cas des événements indépendants
Conséquence : Loi de Bernoulli (Rappel)
Probabilités conditionnelles
HATTON Julien
5 février 2017
HATTON Julien
Probabilités conditionnelles
Rappels
Notion de probabilité conditionnelle
Utilisation d’un arbre pondéré
Cas des événements indépendants
Conséquence : Loi de Bernoulli (Rappel)
Vocabulaire
« A inter B » et « A union B »
Lien avec les probabilités
Rappels
1.1 Vocabulaire
1.2 « A inter B » et « A union B »
1.3 Lien avec les probabilités
1
2
Notion de probabilité conditionnelle
3
Utilisation d’un arbre pondéré
4
Cas des événements indépendants
5
Conséquence : Loi de Bernoulli (Rappel)
HATTON Julien
Probabilités conditionnelles
Rappels
Notion de probabilité conditionnelle
Utilisation d’un arbre pondéré
Cas des événements indépendants
Conséquence : Loi de Bernoulli (Rappel)
Vocabulaire
« A inter B » et « A union B »
Lien avec les probabilités
Rappels
1.1 Vocabulaire
1.2 « A inter B » et « A union B »
1.3 Lien avec les probabilités
1
2
Notion de probabilité conditionnelle
3
Utilisation d’un arbre pondéré
4
Cas des événements indépendants
5
Conséquence : Loi de Bernoulli (Rappel)
HATTON Julien
Probabilités conditionnelles
Rappels
Notion de probabilité conditionnelle
Utilisation d’un arbre pondéré
Cas des événements indépendants
Conséquence : Loi de Bernoulli (Rappel)
Vocabulaire
« A inter B » et « A union B »
Lien avec les probabilités
Définition : Expérience aléatoire
Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas
prévoir le résultat.
HATTON Julien
Probabilités conditionnelles
Rappels
Notion de probabilité conditionnelle
Utilisation d’un arbre pondéré
Cas des événements indépendants
Conséquence : Loi de Bernoulli (Rappel)
Vocabulaire
« A inter B » et « A union B »
Lien avec les probabilités
Définition : Issue
Un résultat possible d’une expérience aléatoire s’appelle issue.
HATTON Julien
Probabilités conditionnelles
Rappels
Notion de probabilité conditionnelle
Utilisation d’un arbre pondéré
Cas des événements indépendants
Conséquence : Loi de Bernoulli (Rappel)
Vocabulaire
« A inter B » et « A union B »
Lien avec les probabilités
Définition : Univers
L’ensemble des issues d’une expérience aléatoire s’appelle l’univers
noté Ω.
HATTON Julien
Probabilités conditionnelles
Rappels
Notion de probabilité conditionnelle
Utilisation d’un arbre pondéré
Cas des événements indépendants
Conséquence : Loi de Bernoulli (Rappel)
Vocabulaire
« A inter B » et « A union B »
Lien avec les probabilités
Définition : Événement et événement élémentaire
Un événement est une condition qui peut être réalisée lors d’une
expérience.
Un événement peut être réalisé par plusieurs issues d’une expérience.
On appelle événement élémentaire un événement réalisé par une
seule issue.
HATTON Julien
Probabilités conditionnelles
Rappels
Notion de probabilité conditionnelle
Utilisation d’un arbre pondéré
Cas des événements indépendants
Conséquence : Loi de Bernoulli (Rappel)
Vocabulaire
« A inter B » et « A union B »
Lien avec les probabilités
Définition : Événement contraire
L’événement contraire de A s’écrit A. Il est réalisé par toutes les issues
ne réalisant pas A.
HATTON Julien
Probabilités conditionnelles
Rappels
Notion de probabilité conditionnelle
Utilisation d’un arbre pondéré
Cas des événements indépendants
Conséquence : Loi de Bernoulli (Rappel)
Vocabulaire
« A inter B » et « A union B »
Lien avec les probabilités
Ex 1 : Appliquer
On considère une urne remplie de billes indiscernables au toucher et numérotées de
1 à 15.
1 Donner l’univers Ω de cette expérience.
2
Donner un événement élémentaire et un non-élémentaire.
3
Soit C l’événement « Obtenir un multiple de trois ». Donner son contraire
sous forme d’un ensemble.
4
Décrire en français l’événement D = {13;14;15}.
HATTON Julien
Probabilités conditionnelles
Rappels
Notion de probabilité conditionnelle
Utilisation d’un arbre pondéré
Cas des événements indépendants
Conséquence : Loi de Bernoulli (Rappel)
Vocabulaire
« A inter B » et « A union B »
Lien avec les probabilités
Rappels
1.1 Vocabulaire
1.2 « A inter B » et « A union B »
1.3 Lien avec les probabilités
1
2
Notion de probabilité conditionnelle
3
Utilisation d’un arbre pondéré
4
Cas des événements indépendants
5
Conséquence : Loi de Bernoulli (Rappel)
HATTON Julien
Probabilités conditionnelles
Rappels
Notion de probabilité conditionnelle
Utilisation d’un arbre pondéré
Cas des événements indépendants
Conséquence : Loi de Bernoulli (Rappel)
Vocabulaire
« A inter B » et « A union B »
Lien avec les probabilités
Ω
A A∩B
HATTON Julien
B
Probabilités conditionnelles
Rappels
Notion de probabilité conditionnelle
Utilisation d’un arbre pondéré
Cas des événements indépendants
Conséquence : Loi de Bernoulli (Rappel)
Vocabulaire
« A inter B » et « A union B »
Lien avec les probabilités
Ω
A A∩B
B
Définition : « A inter B »
A ∩ B (lire « A inter B ») est l’événement constitué des issues simultanément de A et de B.
HATTON Julien
Probabilités conditionnelles
Rappels
Notion de probabilité conditionnelle
Utilisation d’un arbre pondéré
Cas des événements indépendants
Conséquence : Loi de Bernoulli (Rappel)
Vocabulaire
« A inter B » et « A union B »
Lien avec les probabilités
Ω
A A∩B
B
Définition : « A inter B »
A ∩ B (lire « A inter B ») est l’événement constitué des issues simultanément de A et de B.
Remarque. Sur le diagramme, cela correspond à l’intersection des
ensembles A et B.
HATTON Julien
Probabilités conditionnelles
Rappels
Notion de probabilité conditionnelle
Utilisation d’un arbre pondéré
Cas des événements indépendants
Conséquence : Loi de Bernoulli (Rappel)
Vocabulaire
« A inter B » et « A union B »
Lien avec les probabilités
Ω
A
B
A∩B
HATTON Julien
Probabilités conditionnelles
Rappels
Notion de probabilité conditionnelle
Utilisation d’un arbre pondéré
Cas des événements indépendants
Conséquence : Loi de Bernoulli (Rappel)
Vocabulaire
« A inter B » et « A union B »
Lien avec les probabilités
Ω
A
B
A∩B
Définition : « A union B »
A ∪ B (lire « A union B ») est l’événement constitué des issues de A
ou/et de B.
HATTON Julien
Probabilités conditionnelles
Rappels
Notion de probabilité conditionnelle
Utilisation d’un arbre pondéré
Cas des événements indépendants
Conséquence : Loi de Bernoulli (Rappel)
Vocabulaire
« A inter B » et « A union B »
Lien avec les probabilités
Ω
A
B
A∩B
Définition : « A union B »
A ∪ B (lire « A union B ») est l’événement constitué des issues de A
ou/et de B.
Remarque. Sur le diagramme, cela correspond à l’union des ensembles
A et B (en bleu).
HATTON Julien
Probabilités conditionnelles
Rappels
Notion de probabilité conditionnelle
Utilisation d’un arbre pondéré
Cas des événements indépendants
Conséquence : Loi de Bernoulli (Rappel)
Vocabulaire
« A inter B » et « A union B »
Lien avec les probabilités
Ω
A
B
A∩B
Définition : « A union B »
A ∪ B (lire « A union B ») est l’événement constitué des issues de A
ou/et de B.
Remarque. Sur le diagramme, cela correspond à l’union des ensembles
A et B (en bleu).Notion de « ou » inclusif...
HATTON Julien
Probabilités conditionnelles
Rappels
Notion de probabilité conditionnelle
Utilisation d’un arbre pondéré
Cas des événements indépendants
Conséquence : Loi de Bernoulli (Rappel)
Vocabulaire
« A inter B » et « A union B »
Lien avec les probabilités
Ex 2 : Appliquer
On considère un sac de 10 jetons numérotés de 0 à 9. On tire de ce sac un jeton au
hasard puis on note son numéro.
Soient les événements A : « obtenir un numéro pair » , B : « obtenir un multiple
de 3 ».
Donner les ensembles : Ω, A, B, A ∪ B, A ∩ B, A ∩ B.
ex : Ω = {0;1; ...}
HATTON Julien
Probabilités conditionnelles
Rappels
Notion de probabilité conditionnelle
Utilisation d’un arbre pondéré
Cas des événements indépendants
Conséquence : Loi de Bernoulli (Rappel)
Vocabulaire
« A inter B » et « A union B »
Lien avec les probabilités
Ex 3 :
Dans une classe de 34 élèves, 19 élèves ont choisi l’option EPS pour leur bac et 13
élèves ont pris l’option LV3. Il y a d’ailleurs 7 élèves qui ont pris ces deux options.
Pour un élève de cette classe, on note S l’événement : « l’élève a pris l’option EPS »
et L l’événement : « l’élève a pris l’option LV3 ».
1 Que représente l’événement S ∩ L ?
2
Que représente l’événement S ∪ L ?
3
Combien d’élèves ont pris les deux options ?
4
Combien d’élèves ont pris au moins une de ces deux options ?
5
Combien d’élèves n’ont pris aucune de ces deux options ?
HATTON Julien
Probabilités conditionnelles
Rappels
Notion de probabilité conditionnelle
Utilisation d’un arbre pondéré
Cas des événements indépendants
Conséquence : Loi de Bernoulli (Rappel)
Vocabulaire
« A inter B » et « A union B »
Lien avec les probabilités
Rappels
1.1 Vocabulaire
1.2 « A inter B » et « A union B »
1.3 Lien avec les probabilités
1
2
Notion de probabilité conditionnelle
3
Utilisation d’un arbre pondéré
4
Cas des événements indépendants
5
Conséquence : Loi de Bernoulli (Rappel)
HATTON Julien
Probabilités conditionnelles
Rappels
Notion de probabilité conditionnelle
Utilisation d’un arbre pondéré
Cas des événements indépendants
Conséquence : Loi de Bernoulli (Rappel)
Vocabulaire
« A inter B » et « A union B »
Lien avec les probabilités
Propriété : lien entre p(A ∪ B) et p(A ∩ B)
Soient A et B deux événements d’un univers Ω. On a :
p(A ∪ B) = p(A) + p(B)
Rappels
Notion de probabilité conditionnelle
Utilisation d’un arbre pondéré
Cas des événements indépendants
Conséquence : Loi de Bernoulli (Rappel)
Vocabulaire
« A inter B » et « A union B »
Lien avec les probabilités
Propriété : lien entre p(A ∪ B) et p(A ∩ B)
Soient A et B deux événements d’un univers Ω. On a :
p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B)
HATTON Julien
Probabilités conditionnelles
Rappels
Notion de probabilité conditionnelle
Utilisation d’un arbre pondéré
Cas des événements indépendants
Conséquence : Loi de Bernoulli (Rappel)
Vocabulaire
« A inter B » et « A union B »
Lien avec les probabilités
Ω
A∩B
B
A
A∪B
HATTON Julien
Probabilités conditionnelles
Rappels
Notion de probabilité conditionnelle
Utilisation d’un arbre pondéré
Cas des événements indépendants
Conséquence : Loi de Bernoulli (Rappel)
Vocabulaire
« A inter B » et « A union B »
Lien avec les probabilités
Exemple.
Ω = {0;1;2;3;4;5;6;7;8;9}
A = {0;2;4;6;8}
B = {0;3;6;9}
HATTON Julien
A ∩ B =?
A ∪ B =?
A+B =
Probabilités conditionnelles
Rappels
Notion de probabilité conditionnelle
Utilisation d’un arbre pondéré
Cas des événements indépendants
Conséquence : Loi de Bernoulli (Rappel)
Vocabulaire
« A inter B » et « A union B »
Lien avec les probabilités
Ex 4 : Appliquer
Dans un groupe de touristes, 25% parlent l’espagnol et 13% parlent l’italien. On
sait également que 9% parlent les deux langues.
On choisit au hasard une personne du groupe de touriste.
1 Quelle est la probabilité que la personne parle au moins une de ces deux
langues.
2
Quelle est la probabilité que la personne ne parle aucune de ces deux langues.
HATTON Julien
Probabilités conditionnelles
Rappels
Notion de probabilité conditionnelle
Utilisation d’un arbre pondéré
Cas des événements indépendants
Conséquence : Loi de Bernoulli (Rappel)
Rappels
1.1 Vocabulaire
1.2 « A inter B » et « A union B »
1.3 Lien avec les probabilités
1
2
Notion de probabilité conditionnelle
3
Utilisation d’un arbre pondéré
4
Cas des événements indépendants
5
Conséquence : Loi de Bernoulli (Rappel)
HATTON Julien
Probabilités conditionnelles
Rappels
Notion de probabilité conditionnelle
Utilisation d’un arbre pondéré
Cas des événements indépendants
Conséquence : Loi de Bernoulli (Rappel)
Activité 1 : Revoir
Voici le tableau d’effectifs d’une entreprise :
Homme Femme
Cadre
13
11
Ouvrier
54
45
On note H la sous-population Homme et C celle des cadres.
1
On sélectionne au hasard une personne de l’entreprise. Quelle est la
probabilité que la personne sélectionnée soit une femme ?
2
On sélectionne au hasard un cadre de l’entreprise. Quelle est la probabilité
que la personne sélectionnée soit une femme ?
3
On sélectionne au hasard un ouvrier de l’entreprise. Quelle est la
probabilité que la personne sélectionnée soit une femme ?
4
Construire un arbre de probabilités résumant la situation.
5
Placer P(H), P(H), P(H ∩ C ), P(H ∩ C ) ... sur l’arbre pondéré.
HATTON Julien
Probabilités conditionnelles
Rappels
Notion de probabilité conditionnelle
Utilisation d’un arbre pondéré
Cas des événements indépendants
Conséquence : Loi de Bernoulli (Rappel)
Définition : Probabilités conditionnelles
La probabilité de l’événement B, sachant que A est réalisé, se note
PA (B) :
P(A ∩ B)
PA (B) =
P(A)
P(A ∩ B) = PA (B) × P(A)
HATTON Julien
Probabilités conditionnelles
Rappels
Notion de probabilité conditionnelle
Utilisation d’un arbre pondéré
Cas des événements indépendants
Conséquence : Loi de Bernoulli (Rappel)
Ex 5 :
Dans une urne, on place 26 cartons sur lesquels il y a en bleu, les six voyelles et
les dix premières consonnes et en rouge, les dix dernières consonnes. On prélève au
hasard un carton de l’urne et tous les tirages sont équiprobables.
On définie par :
A : « la lettre obtenue est bleue »
B : « la lettre obtenue est une consonne »
1.a. Calculer P(A) et P(B).
b. Définir l’événement A ∩ B puis calculer P(A ∩ B).
c. Définir l’événement A ∪ B puis calculer P(A ∪ B).
2. Déterminer les probabilités conditionnelles PA (B) et PB (A).
HATTON Julien
Probabilités conditionnelles
Rappels
Notion de probabilité conditionnelle
Utilisation d’un arbre pondéré
Cas des événements indépendants
Conséquence : Loi de Bernoulli (Rappel)
Rappels
1.1 Vocabulaire
1.2 « A inter B » et « A union B »
1.3 Lien avec les probabilités
1
2
Notion de probabilité conditionnelle
3
Utilisation d’un arbre pondéré
4
Cas des événements indépendants
5
Conséquence : Loi de Bernoulli (Rappel)
HATTON Julien
Probabilités conditionnelles
Rappels
Notion de probabilité conditionnelle
Utilisation d’un arbre pondéré
Cas des événements indépendants
Conséquence : Loi de Bernoulli (Rappel)
Méthode : Calcul avec les arbres pondérés
La somme des probabilités des branches issues d’un même
nœud est de 1.
La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités des
branches composant ce chemin.
HATTON Julien
Probabilités conditionnelles
Rappels
Notion de probabilité conditionnelle
Utilisation d’un arbre pondéré
Cas des événements indépendants
Conséquence : Loi de Bernoulli (Rappel)
Exemple. Voici le tableau d’effectifs d’une entreprise :
Cadre
Ouvrier
Total
Homme
13
54
Femme
11
45
Total
On note H la sous-population Homme et C celle des cadres. On choisit
au hasard une personne de l’entreprise.
Construction de deux arbres pondérés :
HATTON Julien
Probabilités conditionnelles
Rappels
Notion de probabilité conditionnelle
Utilisation d’un arbre pondéré
Cas des événements indépendants
Conséquence : Loi de Bernoulli (Rappel)
Propriété : Probabilité totale
La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des
événements dans lesquels apparaissent cet événement.
HATTON Julien
Probabilités conditionnelles
Rappels
Notion de probabilité conditionnelle
Utilisation d’un arbre pondéré
Cas des événements indépendants
Conséquence : Loi de Bernoulli (Rappel)
Exemple.Vérification à l’aide des deux arbres de la probabilité que la
personne choisie soit un cadre.
HATTON Julien
Probabilités conditionnelles
Rappels
Notion de probabilité conditionnelle
Utilisation d’un arbre pondéré
Cas des événements indépendants
Conséquence : Loi de Bernoulli (Rappel)
Propriété : Formule de la probabilité totale
Soient A un événement et B1 , B2 , ..., Bi des événements formant une
partition de l’univers Ω, on écrit :
P(A) = P(A ∩ B1 ) + P(A ∩ B2 ) + ... + P(A ∩ Bi )
B2
B3
B1
B4
A
HATTON Julien
Probabilités conditionnelles
Rappels
Notion de probabilité conditionnelle
Utilisation d’un arbre pondéré
Cas des événements indépendants
Conséquence : Loi de Bernoulli (Rappel)
Rappels
1.1 Vocabulaire
1.2 « A inter B » et « A union B »
1.3 Lien avec les probabilités
1
2
Notion de probabilité conditionnelle
3
Utilisation d’un arbre pondéré
4
Cas des événements indépendants
5
Conséquence : Loi de Bernoulli (Rappel)
HATTON Julien
Probabilités conditionnelles
Rappels
Notion de probabilité conditionnelle
Utilisation d’un arbre pondéré
Cas des événements indépendants
Conséquence : Loi de Bernoulli (Rappel)
Remarque.Dans le cas de deux événements indépendants,
PA (B) = P(B) donc P(A ∩ B) = PA (B) × P(A) devient
P(A ∩ B) = P(B) × P(A)
HATTON Julien
Probabilités conditionnelles
Rappels
Notion de probabilité conditionnelle
Utilisation d’un arbre pondéré
Cas des événements indépendants
Conséquence : Loi de Bernoulli (Rappel)
Propriété : Événements indépendants
Deux événements sont indépendants si et seulement si
P(A ∩ B) = P(B) × P(A)
HATTON Julien
Probabilités conditionnelles
Rappels
Notion de probabilité conditionnelle
Utilisation d’un arbre pondéré
Cas des événements indépendants
Conséquence : Loi de Bernoulli (Rappel)
Séance de TD n°1
HATTON Julien
Probabilités conditionnelles
Rappels
Notion de probabilité conditionnelle
Utilisation d’un arbre pondéré
Cas des événements indépendants
Conséquence : Loi de Bernoulli (Rappel)
Rappels
1.1 Vocabulaire
1.2 « A inter B » et « A union B »
1.3 Lien avec les probabilités
1
2
Notion de probabilité conditionnelle
3
Utilisation d’un arbre pondéré
4
Cas des événements indépendants
5
Conséquence : Loi de Bernoulli (Rappel)
HATTON Julien
Probabilités conditionnelles
Rappels
Notion de probabilité conditionnelle
Utilisation d’un arbre pondéré
Cas des événements indépendants
Conséquence : Loi de Bernoulli (Rappel)
Définition : Épreuve de Bernoulli
Une épreuve de Bernoulli de paramètre p est une épreuve aléatoire
comportant deux issues (succès ou échec).
1−p
E
p
S
HATTON Julien
Probabilités conditionnelles
Rappels
Notion de probabilité conditionnelle
Utilisation d’un arbre pondéré
Cas des événements indépendants
Conséquence : Loi de Bernoulli (Rappel)
Cas de deux épreuves successives :
HATTON Julien
Probabilités conditionnelles
Rappels
Notion de probabilité conditionnelle
Utilisation d’un arbre pondéré
Cas des événements indépendants
Conséquence : Loi de Bernoulli (Rappel)
Définition : Schéma de Bernoulli
Un schéma de Bernoulli de paramètres n et p est une répétition
de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendante de paramètre
p.
HATTON Julien
Probabilités conditionnelles
Rappels
Notion de probabilité conditionnelle
Utilisation d’un arbre pondéré
Cas des événements indépendants
Conséquence : Loi de Bernoulli (Rappel)
Ex 6 : Schéma de Bernoulli
Représenter l’arbre de probabilité d’un schéma de Bernoulli de paramètre n = 3 et
p = 0,6. Calculer la probabilité de chaque événement. Réunir les résultats dans un
tableau.
HATTON Julien
Probabilités conditionnelles
Rappels
Notion de probabilité conditionnelle
Utilisation d’un arbre pondéré
Cas des événements indépendants
Conséquence : Loi de Bernoulli (Rappel)
Définition : Probabilité de k parmi n
La Probabilité de k (succès) parmi n (essais) s’écrit :
µ
¶
n
P(X = k) =
p k (1 − p)n−k
k
µ
avec
n
k
¶
s’appelant coefficient binomial.
HATTON Julien
Probabilités conditionnelles
Rappels
Notion de probabilité conditionnelle
Utilisation d’un arbre pondéré
Cas des événements indépendants
Conséquence : Loi de Bernoulli (Rappel)
Triangle de Pascal
HATTON Julien
Probabilités conditionnelles
Rappels
Notion de probabilité conditionnelle
Utilisation d’un arbre pondéré
Cas des événements indépendants
Conséquence : Loi de Bernoulli (Rappel)
Ainsi on obtient pour les paramètres 3 et 0,6 :
k
P(X = k)
0
1 × 0,60 × 0,43
1
3 × 0,61 × 0,42
HATTON Julien
2
3 × 0,62 × 0,41
Probabilités conditionnelles
3
1 × 0,63 × 0,40
Rappels
Notion de probabilité conditionnelle
Utilisation d’un arbre pondéré
Cas des événements indépendants
Conséquence : Loi de Bernoulli (Rappel)
Définition : Loi binomiale
La loi binomiale de paramètres n et p notée B (n;p) est la loi de
la variable aléatoire X qui donne le nombre de succès dans un schéma
de Bernoulli de paramètres n et p.
HATTON Julien
Probabilités conditionnelles
Rappels
Notion de probabilité conditionnelle
Utilisation d’un arbre pondéré
Cas des événements indépendants
Conséquence : Loi de Bernoulli (Rappel)
HATTON Julien
Probabilités conditionnelles
Rappels
Notion de probabilité conditionnelle
Utilisation d’un arbre pondéré
Cas des événements indépendants
Conséquence : Loi de Bernoulli (Rappel)
HATTON Julien
Probabilités conditionnelles
Rappels
Notion de probabilité conditionnelle
Utilisation d’un arbre pondéré
Cas des événements indépendants
Conséquence : Loi de Bernoulli (Rappel)
Avec la calculatrice : ...
HATTON Julien
Probabilités conditionnelles
Rappels
Notion de probabilité conditionnelle
Utilisation d’un arbre pondéré
Cas des événements indépendants
Conséquence : Loi de Bernoulli (Rappel)
Ex 7 : Appliquer
Soit X une variable aléatoire suivant une loi binomiale B (5;0,6)
Déterminer P(2 É X É 4).
HATTON Julien
Probabilités conditionnelles