équation et inéquation du premier degré

Equations et inéquations de 1er degré
I – Rappels :
Toute équation d’inconnue « x » pouvant s’écrire , après transformation sous forme ax + b = 0 est
une équation du premier degré à une inconnue.
b
Si a ≠ 0, l’équation du 1er degré à une inconnue ax + b = 0 admet pour unique solution le nombre
.
a
Exemple : Résoudre l’équation suivante : x – 2 ( x + 5 ) = 8 + 3 ( x - 2 )
On développe :
On transpose :
On réduit l’expression :
La solution est : S = { }
Conclusion : Méthode de résolution
Non
Y-a-t-il un
dénominateur ?
Oui
Réduire tous les termes
au même dénominateur
Multiplier les deux membres
par le dénominateur commun
Développer, puis réduire
chaque membre
Grouper les termes contenant
l’inconnue dans un membre,
les autres termes dans l’autre
Réduire chaque membre
Multiplier les deux membres
par l’inverse du coefficient
de l’inconnue
Exercices : Résoudre les équations suivantes :
13 x - 2 = 5 x + 22
;
4x -1 = 5x -2
5(x-2)+3x=6
;
2(3x-1)-4( x-3) = x +3
x
x
2
+
- 1 =
2
3
6
;
4x − 1
− 3x + 7
=
9
2
;
x+7
x −1
x+2
=
4
6
3
x+5 +
x−5
x+4
= 2 (x - 4 ) +
9
9
II – Résolution d’un problème à l’aide d’une équation :
1° - Méthode :
Un problème posé par une situation, notamment professionnelle, peut se traduire par une équation ou une
inéquation. Pour résoudre un tel problème, il faut traiter les 4 points suivants :
1 – Lire et analyser l’énoncé pour choisir une inconnue.
2 – Etablir l’équatio n ou inéquation traduisant la situation.
3 – Résoudre l’équation ( ou inéquation ).
4 – Vérifier si le résultat est conforme au problème posé. Enoncer le résultat.
2° - Applications :
Activité 1 : Une somme de 39 700 F est payée avec 98 billets , les uns de 500 F, les autres de 200 F.
On veut déterminer le nombre de billets de chaque sorte.
Activité 2 : Une entreprise compte 256 salariés. Elle veut se développer et amener son effectif à 288
personnes. Quel est le pourcentage d’augmentation de l’effectif ?
Activité 3 : Le personnel soignant d’un service hospitalier est composé de 84 personnes : médecins,
infirmières, aide soignantes. Il y a 4 fois moins de médecins que d’infirmières et neuf fois plus d’aide
soignantes que de médecins .
En déduire le nombre de personnes de chaque catégorie. Soit x le nombre de médecins.
III – Equation se ramenant au premier degré :
1° - Cas 1 : Résoudre l’équation suivante :
3 (x - 1 ) + ( 2 x + 4 ) ( x - 1 ) = 0
Si on développe et réduit le premier membre, l’équation devient :
On obtient une …………………………………………………..
Il est plus simple de mettre le premier membre sous forme d’un produit de facteurs en mettant ( x - 1 ) en
facteur.
On a alors :
On sait que : un produit de facteurs est nul, il fa ut et il suffit que l’un des facteurs soit nul.
2° - Exercices : Résoudre les équations suivantes :
u(x+5)(2x-4)=0
u x²-9x=0
u (3x+2)(5x–7)(x+1)=0
IV – Inéquation du premier degré :
1° - Méthode de résolution : ( Rappels )
Pour résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue :
-
On peut ajouter ou retrancher un même nombre aux deux membres d’une inéquation ( on
transpose un terme d’un membre dans l’autre en changeant de signe ).
-
Si on multiplie ou divise les deux membres, par un nombre strictement positif, on conserve le
sens de l’inéquation.
-
Si on multiplie ou divise les deux membres, par un nombre strictement négatif, on change le
sens de l’inéquation.
-
On représente l’ensemble des solutions : - par un intervalle
- par une représentation graphique.
2° - Exemple : Résoudre l’ inéquation suivante :
x
x −3
-6x ≤ -5x
2
4
On réduit tous les termes au même dénominateur :
On multiplie tous les termes par 4 pour supprimer le dénominateur :
On transpose :
On divise les 2 termes par un même nombre :
On donne l’ensemble des solutions :
3° - Exercice : Résoudre les inéquations suivantes :
u4(x+1) ≤ x -5
u
x−7
- 4 x ≥ 12 – 6 x
2
u
x − 2 1− x
≥0
3
2
u3 -
u
x−2
2
+
2
3
x 4− x
>5
2
4
>3x
V – Systèmes d’inéquations à une inconnue :
1° - Exemple :
Exemple de résolution
Règles et méthodes
5 x + 3⟩1 − 3x

2 x + 7⟩ 4 x − 3
L’accolade indique qu’il faut rechercher les réels x
qui sont solutions de l’inéquation (1) et de
l’inéquation (2).

soit : 

On résout chaque inéquation

soit : 


soit : 

S1 =
et S2 =
On représente la solution graphique de chaque
inéquation sur un axe commun.
2° - Exercices : Résolvez les systèmes d’inéquations suivants :
3( 2 x - 1 ) ≤ 5 ( 1 + 2 x )
7x + 3 ⟩ 9x- 3
3x - 1
4x + 3
≥ 2x +3
≥ 5x - 2
8x - 1
2x + 1
≤ 3 x + 14
≤ 6 x + 11
3 x - 4 ⟩ -5 x - 2
-8x + 1 ⟩
x - 2
Classe : 1 CO2 , 1 ESTH
Mathématiques : Contrôle N° 9
Le : 10.05.01
I - Résoudre les équations suivantes :
2x - 3 + x + 5 = x - 1
(2x+1)(3x-5)(8-2x)=0
5 (x - 7 ) = 12 (x -1 )
8− x
2( x − 1)
x+ 6 x
+
=
6
3
2
3
2( x − 4)
x
-x=53
3
II - Résoudre les inéquations suivantes :
3 x + 3 - 5 x + 4 ≤ - 4 x + 15
3 ( 2 x - 1 ) ≤ 4 ( 3 x - 3 ) + 15
x +7
3x − 2
9
2
<
x +4
-1
18
III - Déterminer l’ensemble des solutions communes aux deux
inéquations :
2 x + 3 ( x -1 ) < 5 + 4 x
- 2 x + 5 ≤ 3 ( x -2 )
IV - Plusieurs amis veulent offrir un disque à Christian pour son anniversaire. Si, chacun verse 20F, il
manque 12 . Si, chacun verse 25F, il y a 18F de trop.
Déterminer le nombre d’amis de Christian. En déduire le prix du disque.
Classe : 1 CO2 , 1 ESTH
MATHEMATIQUES : Contrôle N°9
Le : 10.05.01
I – Résolvez les équations suivantes :
5 ( x – 2 ) – ( 1 – 7 x ) = 13
/1,5
3 ( x – 1 ) + 5 ( x – 2 ) = 3( 2 x + 9 ) + 4
/1,5
2x + 1
x −1
2
=
5
3
5
2
1
5
(x+1) +
(3- x )=
(4 - x)
3
2
12
(x-5)(7x+1) + (x-5)(3 -2x) = 0
/2
/2
/3
II – Résolvez les inéquations suivantes :
2(3x–1) – 3(x+2) ≥ 1
5x -
1
5x
⟩
- 7
3
3
/2
/2
III – Résolvez le système d’inéquations suivant :
3( 2 x - 1 ) ≤ 5 ( 1 + 2 x )
7x + 3 ⟩ 9x- 3
/3
IV – Paul possède une somme de francs. La somme dont il dispose vérifie l’équation :
1
2 ( x - 10 ) = 150
3
1 – Parmi ces affirmations suivantes, quelle est celle qui correspond à cette équation ?
Affirmation 1 : « Les deux tiers de la somme que je possède moins 20F font 150F » .
Affirmation 2 : « Si je prends deux fois la somme que je possède , j’obtiens 150F » .
Affirmation 1 : « Si je prends deux fois le tiers de la somme que je possède et que je
retire 10F, j’obtiens 150F » .
/3
2 – Résolvez l’équation : 2 (
1
x - 10 ) = 150
3
MATHEMATIQUES : Contrôle N°2
Classe : 1 PCOM
Le : 26.11.99
I – Résolvez dans l’ensemble des réels les équations suivantes :
5 ( x – 2 ) – ( 1 – 7 x ) = 13
/1,5
2x + 1
x −1
2
=
5
3
5
/2
(x-5)(7x+1) + (x-5)(3 -2x) = 0
/3
1
2
=
x +1
x+2
(*)
/3
( * ) On précisera dans quel ensemble les calculs sont légitimes .
II – Résolvez dans l’ensemble des réels les inéquations suivantes :
2(3x–1) – 3(x+2) ≥ 1
5x -
1
5x
⟩
- 7
3
3
/1,5
/2
III – Résolvez à l’aide d’un tableau de signe l’inéquation :
(x-2)(3+x) ⟩0
/3
IV – Une commune doit recevoir de la part de l’état, en 1999, une certaine dotation d ( soit 1 500 000 F ).
Si cette commune peut prouver que sa population de 1999, notée P’ est supérieure à sa population de
1998, notée P, elle recevra la dotation D donnée par la relation :
P '− P
D=d(1+
× 0,5 )
(1)
P
Pour P = 3 000 habitants, quelle devrait être la nouvelle population P’ pour que l’augmentation en % de
la dotation soit égale à 6% ?
Aide : - Déterminez le montant de la dotation D, après 6% d’augmentation.
- Remplacer D, d, P par leur valeur dans la relation ( 1 )
/4