suites numeriques

suites numériques
Table des matières
1
2
suites arithmétiques
1.1 suites de termes . . . . . . . . . . .
1.1.1 activités . . . . . . . . . . . .
1.1.2 à retenir . . . . . . . . . . .
1.1.3 exercices . . . . . . . . . . .
1.1.4 corrigés exercices . . . . . .
1.1.5 interrogation . . . . . . . . .
1.2 somme des termes . . . . . . . . .
1.2.1 activité : somme des entiers
1.2.2 à retenir . . . . . . . . . . .
1.2.3 exercices . . . . . . . . . . .
1.2.4 corrigés exercices . . . . . .
1.2.5 interrogation . . . . . . . . .
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suites géométriques
2.1 suite des termes . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 activités . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4 corrigés exercices . . . . . . . . . . . .
2.1.5 interrogation . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 somme des termes . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 activité : somme des premiers termes
2.2.2 corrigé activité : somme des premiers
2.2.3 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.5 corrigés exercices . . . . . . . . . . . .
2.2.6 interrogation . . . . . . . . . . . . . . .
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termes
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2
2
2
4
5
7
13
15
15
15
16
17
20
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21
21
21
23
24
26
33
37
37
38
39
40
41
42
3
devoir maison
44
4
évaluation
45
5
évaluation 2
50
6
travaux pratiques
55
1
suites arithmétiques
1.1
1.1.1
suites de termes
activités
activité 1 : (suite logique)
1. déterminer au moins deux termes suivants de la suite logique et compléter la phrase
(a) −8;
−5;
(b) 11;
7;
(c) 2, 7;
4, 1;
−2;
3;
1;
4; ...; ...
−1; ...; ...
5, 5; ...; ...
pour passer d’un terme à l’autre, on ...
pour passer d’un terme à l’autre, on ajoute ...
pour passer d’un terme à l’autre, on ...
2. on dit que ces suites sont de natures ...
car, pour passer d’un terme à l’autre, on : ...
3. la suite suivante est-elle arithmétique ? (justifier) : 1;
3;
6;
10;
15; ...
activité 2 : (noms des termes, rangs des termes, ordinaux des termes et formule explicite pour
calculer un terme quelconque)
1. soit
☎ notée « u » ou « (un ) » de raison notée « r = 5 » où
✞ une suite arithmétique
le ✝1er terme est noté u0 ✆avec u0 = 10
(a) compléter ci dessous en détaillant les calculs :
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
...e terme = u1 = ...
10
...e terme = u2 = ...
...e terme = u3 = ...
b
1er
...e terme = u100 = ...
...e terme = un = ...
b
b
b
u0
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
(b) remarque :
si le premier terme s’appelle u0 et la raison r alors on a la formule explicite pour calculer
directement un en fonction de u0 et r :
un = ...
(c) soit u une suite arithmétique de 1er terme u0 = 20 et de raison r = −2
calculer le 1000e terme et donner son nom : 1000e terme = u...
= ...
2. soit
✞ une suite arithmétique
☎ notée « u » ou « (un ) » de raison notée « r = 5 » où
le ✝1er terme est noté u1 ✆avec u1 = 10
(a) compléter ci dessous en détaillant les calculs :
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
...e terme = u2 = ...
10
...e terme = u3 = ...
...e terme = u4 = ...
b
1er
b
...e terme = u100 = ...
...e terme = un = ...
u1
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
(b) remarque :
si le premier terme s’appelle u1 et la raison r alors on a la formule explicite pour calculer
directement un en fonction de u1 et r :
un = ...
(c) soit u une suite arithmétique de 1er terme u1 = 20 et de raison r = −2
calculer le 1000e terme et donner son nom : 1000e terme = u... = ...
1.1.2
à retenir
définition 1 : (suite arithmétique et formule de récurrence)
quelle que soit la suite u de nombres réels :
u est une suite arithmétique
terme u0
✞ de raison r☎et de premier
✎
⇐⇒ quel que soit n ∈ N : un+1 − un = r ⇐⇒ ∀n ∈ N :
u
=u +r
✝
✆
| n+1 {z n }
☞
f ormule de récurrence
✍
✌
remarque :
(1) la différence entre deux termes consécutifs quelconques de la suite est
constante et reste égale à un nombre noté r et appelé raison de la suite
(2) on dit aussi que pour passer d’un terme à un autre, on ajoute toujours le même
nombre appelé raison de la suite
(3) r = 0 (suite constante)
r < 0 (suite décroissante)
r > 0 (suite croissante)
exemples :
i. −7; −4; −1; 2; 5; 8; ...
est une suite arithmétique de raison 3 et de 1er terme −7 car on passe d’un terme au
suivant en ajoutant 3
ii. 12, 4; 14, 1; 15, 8; 17, 5; ...
est une suite arithmétique de raison 1, 7 et de 1er terme 12, 4 car on passe d’un terme
au suivant en ajoutant 1, 7
propriété 1 : (formule explicite en fonction de n)
quelle que soit la suite notée u ou (un ) de nombres réels :
si
alors
✄
u est arithmétique de 1er terme noté ✂u0 ✁ et de raison notée r
er terme + raison × (écart entre 0 et n)
u
n =1
☞
✎
un = u0 + nr
|
{z
}
f ormule explicite
✍
✌
un est le (n + 1)e terme où le terme après n variations
si
alors
✄
u est arithmétique de 1er terme noté ✂u1 ✁ et de raison notée r
er terme + raison × (écart entre 1 et n)
u
n =1
✎
☞
un = u1 + (n − 1)r
{z
}
|
f ormule explicite
✌
est le ne terme où
✍
un
le terme après n − 1 variations
remarques :
i. l’écart entre deux nombre a et b avec a ≤ b est b − a
ii. si u est arithmétique de 1er terme noté uk et de raison notée r ✎
☞
alors un = 1er terme + raison × (écart entre k et n) avec (n ≥ k) soit un = uk + (n − k)r
{z
}
|
f ormule explicite
✍
exemples :
i. soit une suite arithmétique de 1er terme u1 = 10 et de raison 1, 5
le ne terme en fonction de n est un = u1 + (n − 1)r = 10 + 1, 5(n − 1)
par exemple
u100 = 10 + 1, 5 × 99
ii. soit une suite arithmétique de 1er terme u0 = 10 et de raison 1, 5
le (n + 1)e terme en fonction de n est un = u0 + nr = 10 + 1, 5n
par exemple
u100 = 10 + 1, 5 × 100
✌
1.1.3
exercices
exercice 1 :
voici un graphique « corrigé » d’évolution des demandes et des places disponibles pour une
certaine filière de BEP dans un département. ( la 1ère année est l’année 2001)
ef f ectif s
668
b
demandes
626
b
584
600
b
542
b
500
b
400
bc
bc
bc
bc
200
bc
330
285
240
of f res
195
150
n
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
soient dn et pn les nombres respectifs de demandes et de places l’année 2000 + n où n est un
nombre entier
1. les nombres de places et de de demandes constituent des suites de quelles natures ?
(justifier), donner le premier terme et la raison
2. calculer d6 et p6 puis d7 et p7
3. donner les "formules de récurrence" dn+1 en fonction de dn ainsi que pn+1 en fonction
de pn
4. calculer d10 et p10
5. donner les "formules explicites" de dn et pn en fonction de n
6. déterminer par calcul l’année à partir de laquelle la demande devrait atteindre 0
7. éte déterminer par calcul l’année à partir de laquelle l’offre devrait atteindre 800
8. résoudre l’inéquation : dn < pn et en déduire l’année où la demande sera satisfaite
(vérifier graphiquement)
exercice 2 :
en 2006, une personne place un capital C0 = 1000 euros à t = 3% d’intérêts simples annuels
cette personne ne touche plus à son compte par la suite
( « intérêts simples » signifie que : chaque année, les intérêts sont de t% du capital initial )
1. calculer les intérêts « I » annuels en euros
2. soit Cn le montant du compte l’année 2006 + n
(a) calculer C1 , C2 , C3 et C10
(b) exprimer Cn+1 en fonction de Cn et préciser la nature le 1er terme et la raison de la
suite (Cn )
(c) exprimer Cn en fonction de n
(d) déterminer l’année à partir de laquelle le capital aura doublé
(e) calculer le capital à placer pour avoir 2000 euros après 10 ans avec t = 3%
(f ) calculer le taux t pour avoir 2000 euros en 10 ans avec un capital initial de 1000 euros.
exercice 3 :
un bateau remorqueur est en train de ramener un iceberg de 1000 tonnes du pôle sud
et cet iceberg fond en perdant 0, 65 tonnes par heure en moyenne
on note un la masse de l’iceberg dans n heures ( n est un nombre entier )
1. préciser la nature de la suite numérique (un ), son premier terme u0 et sa raison
2. déterminer la masse de l’iceberg après 10h puis 3 jours puis une semaine. (u... = ...)
3. exprimer la masse de l’iceberg dans n heures en fonction de n (un = ...)
4. dans combien de temps la masse de l’iceberg passera t-elle sous les 600 tonnes ?
( conclusion en jours et heures à 1 heure prés )
exercice 4 :
à un péage autoroutier, un caissier a déjà enregistré le passage de 300 véhicules et a remarqué qu’il enregistrait 6 véhicules par minute en moyenne
on note vn le nombre moyen de véhicules enregistrés par le caissier dans n minutes
1. préciser la nature de la suite numérique (vn ), son premier terme v0 et sa raison
2. déterminer le nombre de véhicules enregistrés par le caissier dans 3 heures. (v... = ...)
3. exprimer le nombre de véhicules enregistrés dans n minutes en fonction de n (vn = ...)
4. dans combien de temps le nombre de véhicules enregistrés dépassera t-il 2000 ? ( conclusion en heures et minutes à 1 minute près )
exercice 5 :
la population d’une ville a cette année un effectif de 10000 habitants, et il est prévu un
accroissement annuel absolu de la population de 1500 habitants par an
1. déterminer selon ces prévisions l’effectif de la population de la ville dans 1 an, dans 10
ans.
2. exprimer l’effectif de la population dans n années, noté Pn
3. déterminer le nombre d’années pour que la population dépasse 30000 habitants.
4. que devrait être l’accroissement annuel de la population pour que l’effectif de 30000 soit
atteint dans 16 années.
5. une autre ville (Ville B ) avec un accroissement absolu annuel de 1500 atteindra les
30000 habitants dans 10 années, quel est alors l’effectif de la ville B aujourd’hui ?
exercice 6 :
Monsieur X vient d’obtenir un prêt en s’engageant à en rembourser 70 euros ce mois puis
75 euros le mois prochain, puis 80 euros le mois suivant et ainsi de suite.
on note un la somme remboursée dans n mois ( n entier )
1. Préciser la nature de la suite (un ) ainsi que son premier terme u0 et sa raison
2. déterminer la mensualité remboursée dans 2 ans. (u... = ...)
3. exprimer la mensualité remboursée dans n mois en fonction de n(un = ...)
4. déterminer le nombre de mois à attendre pour que la mensualité dépasse les 120 euros
5. déterminer la somme totale remboursée en un an.
1.1.4
corrigés exercices
corrigé exercice 1 :
voici un graphique « corrigé » d’évolution des demandes et des places disponibles pour une
certaine filière de BEP dans un département. ( la 1ère année est l’année 2001)
ef f ectif s
668
b
626
b
600
demandes
584
b
542
b
500
b
400
bc
bc
bc
bc
200
bc
150
195
240
285
330
of f res
n
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17
soient dn et pn les nombres respectifs de demandes et de places l’année 2000 + n où n est un
nombre entier
☎
✞
1. La suite des offres est de nature arithmétique car, pour passer d’un terme à l’autre
✝
✆
on ajoute toujours le même
nombre
r = 195 − 150✄ = 45
✞
☎
son premier terme est p1 = 150 et sa raison est ✂r = 45 ✁
✝
✆
☎
✞
La suite des demandes est de nature arithmétique car, pour passer d’un terme à
✝
✆
l’autre on ajoute toujours
☎ nombre r = 626
✞ le même
✞ − 668 =
☎ −42
son premier terme est ✝d1 = 668 ✆et sa raison est ✝r = −42 ✆
✄
2. d6 = d1 + (−42) × (6 − 1) = 668 + (−42)✄ × 6 =✂458 ✁ ou bien d6 = 500 + (−42) = 458
p6 = p1 + 45 × (6 − 1) = 150 + 45 × 5 =✂375 ✁ ou bien p6 = 330 + 45 = 375
✄
d7 = 668 + (−42) × ✄6 =✂416 ✁ ou bien d7 = 458 + (−42) = 416
p7 = 150 + 45 × 6 =✂420 ✁ ou bien p7 = 375 + 45 = 420
✞
☎
✝
✞
☎ ✆
3. dn+1 = dn + (−42) en fonction de dn
pn+1 = pn + 45 en fonction de pn
✝
✆
✄
4. d10 = d1 + (−42) × (10 − 1) = 668 + (−42)✄ × 9 =✂248 ✁
p10 = p1 + 45 × (10 − 1) = 150 + 45 × 9 =✂600 ✁
✞
☎
5. dn = 668 + (−42) × (n − 1) = 668 − 42n + 42 = ✝710 − 42n ✆en fonction de n
✞
☎
pn = 150 + 45 × (n − 1) = 150 + 45n − 45 = ✝105 + 45n ✆en fonction de n
6. déterminer par calcul l’année à partir de laquelle la demande devrait atteindre 0
✄
−710
710 − 42n = 0 ⇐⇒ n =
≃ 16, 9 soit 2000 + 17 = ✂2017 ✁
−42
7. déterminer par calcul l’année à partir de laquelle l’offre devrait atteindre 800
✄
800 − 105
105 + 45n = 800 ⇐⇒ n =
≃ 15, 4 soit 2000 + 16 = ✂2016 ✁
45
8. résoudre l’inéquation : dn < pn et en déduire l’année où la demande sera satisfaite
✄
105 − 710
≃ 6, 95 soit 2000 + 7 = ✂2007 ✁
710 − 42n ≤ 105 + 45n ⇐⇒ n =
−42 − 45
(ce qui est cohérent avec le graphique)
corrigé exercice 2 :
en 2006, une personne place un capital C0 = 1000 euros à t = 3% d’intérêts simples annuels
cette personne ne touche plus à son compte par la suite
( « intérêts simples » signifie que : chaque année, les intérêts sont de t% du capital initial )
1. calculer les intérêts
« I » annuels en euros
✄
3
I=
× 1000 = ✂30 ✁
100
2. soit Cn le montant du compte l’année 2006 + n
✄
(a) C1 = 1000 + 30 =✂1030
✄ ✁
C2 = 1000 + 30 × 2 =✂✄1060 ✁
C3 = 1000 + 30 × 3 =✂1090
✄ ✁
C10 = 1000 + 30 × 10 =✂1300 ✁
✞
☎
(b) Cn+1 = Cn + 30 en fonction de Cn
✝
✆
✞
la nature de la suite est arithmétique
✄
✝
le 1er terme est ✂ 1000 ✁ ✄
la raison de la suite est ✂r = 30 ✁
✞
☎
✆
☎
(c) ✝Cn = 1000 + 30n ✆en fonction de n
(d) déterminer l’année à partir de laquelle le capital aura doublé
✄
2000 − 1000
≃ 33, 3 soit 2006 + 34 = ✂2040 ✁
Cn = 1000 + 30n = 2 × 1000 ⇐⇒ n =
30
(e) calculer le capital à placer pour avoir 2000 euros après 10 ans avec t = 3%
☎
✞
3
2000
x+
× x × 10 = 2000 ⇐⇒ x =
≃ 6666, 67
✝
✆
100
0, 3
(f ) calculer le taux t pour avoir 2000 euros en 10 ans avec un capital initial de 1000 euros
☎
✞
t
2000 − 1000
1000 +
× 1000 × 10 = 2000 ⇐⇒ 1000 + 100t = 2000 ⇐⇒ t =
= 10 soit ✝10% ✆
100
100
corrigé exercice 3 :
un bateau remorqueur est en train de ramener un iceberg de 1000 tonnes du pôle sud
et cet iceberg fond en perdant 0, 65 tonnes par heure en moyenne
on note un la masse de l’iceberg dans n heures ( n est un nombre entier )
✞
☎


nature
arithmétique
la
suite
est
de

✝
☎ ✆
✞
1.
son premier terme est ✝u0 = 1000 ✆

 la raison est ✞r = −0, 65 ☎
✝
✆
✞
☎

masse
de
l’iceberg
après
10h
:
u
=
1000
+
(−0,
65)
×
10
=
993,
5
tonnes

10

✝
✆




✞
☎
masse dans 3 jours = 3 × 24 = 72h : u72 = 1000 + (−0, 65) × 72 = 953, 2 tonnes
2.
✝
✆




✞
☎


masse dans une semaine = 7 × 24 = 168h : u168 = 1000 + (−0, 65) × 168 = 890, 8 tonnes
✞
3. masse de l’iceberg dans n heures en fonction de n un = 1000 − 0, 65n
✝
☎
✝
✆
4. dans combien de temps la masse de l’iceberg passera t-elle sous les 600 tonnes ?
il suffit de résoudre l’inéquation suivante : 1000 − 0, 65n ≤ 600
1000 − 0, 65n ≤ 600
⇐⇒ −0, 65n ≤ 600 − 1000
⇐⇒ −0, 65n ≤ −400
⇐⇒ n ≥
−400
−0, 65
⇐⇒ n ≥ 615, 38 soit environs 615 heures
615, 38
≃ 25, 64j = 25j + 0, 64j ≃ 25j + 0, 64 × 24h ≃ 25j + 15, 36h
14
✞
☎
soit 25 jours et 15h environs ( conclusion en jours et heures à 1 heure prés )
✝
✆
✆
corrigé exercice 4 :
à un péage autoroutier, un caissier a déjà enregistré le passage de 300 véhicules et a remarqué qu’il enregistrait 6 véhicules par minute en moyenne
on note vn le nombre moyen de véhicules enregistrés par le caissier dans n minutes

✞
☎

 la suite est de ✝nature arithmétique
✆
☎
✞
1.
son premier terme est ✝v0 = 300 ✆
✄


la raison est ✂r = 6 ✁
2. nombre
de véhicules enregistrés par☎le caissier dans 3 heures = 3 × 60 = 180h :
✞
v = 300 + 6 × 180 = 1380 véhicules ✆
✝ 180
✞
☎
3. nombre de véhicules enregistrés dans n minutes en fonction de n : ✝vn = 300 + 6n ✆
4. dans combien de temps le nombre de véhicules enregistrés dépassera t-il 2000 ?
il suffit de résoudre l’inéquation suivante : 300 + 6n ≥ 2000
300 + 6n ≥ 2000
⇐⇒ 6n ≥ 2000 − 300
⇐⇒ 6n ≥ 1700
⇐⇒ n ≥
1700
6
⇐⇒ n ≥ 283, 33 soit environs 283 minutes
283, 33
≃ 4, 72h = 4h + 0, 72h ≃ 4h + 0, 72 × 60mn ≃ 4h + 43mn
60
✄
✂soit 4 heures et 43mn environs ✁
( conclusion en heures et minutes à 1 minute près )
corrigé exercice 5 :
la population d’une ville a cette année un effectif de 10000 habitants, et il est prévu un
accroissement annuel absolu de la population de 1500 habitants par an
1.
(
✄
effectif de la population de la ville
✄ dans 1 an = 10000 + 1500 = ✂11500 habitants ✁
dans 10 ans : 10000 + 1500 × 10 = ✂25000 ✁
✞
☎
2. effectif de la population dans n années, noté ✝Pn = 10000 + 1500n ✆
3. déterminer le nombre d’années pour que la population dépasse 30000 habitants.
il suffit de résoudre l’inéquation suivante : 10000 + 1500n ≥ 30000
10000 + 1500n ≥ 30000
⇐⇒ 1500n ≥ 30000 − 10000
⇐⇒ 1500n ≥ 20000
⇐⇒ n ≥
20000
1500
✞
⇐⇒ n ≥ 13, 33 soit environs 13, 3 ans
✝
☎
✆
4. que devrait être l’accroissement annuel de la population pour que l’effectif de 30000 soit
atteint dans 16 années
il suffit de résoudre l’équation suivante : 10000 + r × 16 = 30000
10000 + r × 16 = 30000
n=
✞
☎
30000 − 10000
= 1250 soit 1250 habitants par ans
✝
✆
16
5. une autre ville (Ville B ) avec un accroissement absolu annuel de 1500 atteindra les
30000 habitants dans 10 années, quel est alors l’effectif de la ville B aujourd’hui ?
il suffit de résoudre l’équation suivante : x + 1500 × 10 = 30000
x = 30000 − 1500 × 10 = 15000
✄
soit ✂1500 habitants ✁
corrigé exercice 6 :
Monsieur X vient d’obtenir un prêt en s’engageant à en rembourser 70 euros ce mois puis
75 euros le mois prochain, puis 80 euros le mois suivant et ainsi de suite.
on note un la somme remboursée dans n mois ( n entier )

✞
☎

 la suite est de ✝nature arithmétique
✆
☎
✞
1.
son premier terme est ✝u0 = 70 ✆
✄


la raison est ✂r = 5 ✁
2. mensualité remboursée
dans
2 ans = 2 × 12 = 24 mois
✞
☎
u24 = 70 + 24 × 5 = ✝190 e ✆
✞
☎
3. mensualité remboursée dans n mois en fonction de n ✝un = 70 + 5n ✆
4. déterminer le nombre de mois à attendre pour que la mensualité dépasse les 120 euros
il suffit de résoudre l’inéquation suivante : 70 + 5n ≥ 120
70 + 5n ≥ 120
⇐⇒ 5n ≥ 120 − 70
⇐⇒ 5n ≥ 50
⇐⇒ n ≥
50
5
✄
⇐⇒ n ≥ 10 soit ✂10 mois ✁
5. somme totale remboursée en un an
il faut calculer S = u0 + u1 + ... + u11 = 12 ×
70 + (70 + 5 × 11)
= 1170 e
2
1.1.5
interrogation
nom, prénom : ...
interrogation : suites arithmétiques
1. on sait que la suite u est arithmétique de premier terme u0 = 100 et de raison r = 5
(a) inventer une histoire qui pourrait correspondre à cette suite
(b) calculer u1 , u2 et u10 (en détaillant la méthode)
(c) donner l’expression de un en fonction de n : un = ...
(d) donner l’expression de un+1 en fonction de un : un+1 = ...
(e) déterminer n pour que un ≥ 500 (en détaillant la méthode)
2. soit la suite logique "particulière" v : 200, 180, 160, ...
(a) inventer une histoire qui pourrait correspondre à cette suite
(b) quelle semble être la nature de la suite v ? : (justifier) puis donner son premier terme et
sa raison
(c) on pose v1 = 200, donner alors les valeur de v4 et v10 (en détaillant la méthode)
(d) donner l’expression de vn en fonction de n : vn = ...
(e) donner l’expression de vn+1 en fonction de vn : vn+1 = ...
(f ) déterminer n pour que vn ≤ 10 (en détaillant la méthode)
1.2
1.2.1
somme des termes
activité : somme des entiers
1. soit u, une suite arithmétique de 1er terme 1 et de raison 1
les 10 premiers termes sont alors : 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10
on cherche la valeur de la somme des 10 premiers termes, soit :
S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 mais aussi S = 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1
(a) en additionnant membre à membre les égalités précédentes, écrire 2S à l’aide d’un produit
(b) en déduire la valeur de S
(c) procéder de même pour déterminer la somme des 100 premiers nombres entiers non nuls
2. soit u, une suite de 1er terme 10 et de raison 5
(a) écrire la somme des 6 premiers termes
(b) déterminer cette somme en utilisant la méthode précédente
(c) déterminer de même la somme des 100 premiers termes de cette suite.
3. comment faire pour trouver la somme des premiers termes d’ne suite arithmétique ?
1.2.2
à retenir
propriété 2 : (formule de la somme)
quelle que soit la suite notée u ou (un ) de nombres réels :
✄
si
alors
u est arithmétique de 1er terme noté ✂u0☛
✟
☛
✟ ✁
u0 + un
premier + dernier
S = u0 +u1 +...+un =
× (n + 1) =
× (nombre de termes)
2
✡ 2
✠ ✡
✠
S est la somme des n + 1 premiers termes
✄
si
alors
u est arithmétique de 1er terme noté ✂u1 ✁
✟
☛
✟ ☛
u1 + un
premier + dernier
S = u1 + ... + un =
×n =
× (nombre de termes)
2
✡ 2
✠ ✡
✠
S est la somme des n premiers termes
remarques :
i. pour la somme S des n − k + 1 termes consécutifs de la suite arithmétique
S = uk + uk+1 + ... + un avec n > k, on a aussi :
S=
uk + un
premier + dernier
× (nombre de termes) =
× (n − k + 1)
2
2
exemples :
i. soit une suite arithmétique de 1er terme u1 = 10 et de raison 1, 5
S = u1 + u2 + ... + u20 =?
10 + 38, 5
u1 + u20
u1 = 10
× 20 =
× 20 = 485
donc S =
u20 = 10 + 1, 5 × 19 = 38, 5
2
2
ii. soit une suite arithmétique de 1er terme u0 = 10 et de raison 1, 5
S = u0 + u1 + ... + u20 =?
u0 + u20
10 + 40
u0 = 10
donc S =
× 21 =
× 21 = 525
u20 = 10 + 1, 5 × 20 = 40
2
2
iii. soit une suite arithmétique de 1er terme u0 = 10 et de raison 1, 5
S = u10 + u11 + ... + u20 =?
25 + 40
u10 + u20
u10 = 10 + 1, 5 × 10 = 25
× (20 − 10 + 1) =
× 11 = 357, 5
donc S =
u20 = 10 + 1, 5 × 20 = 40
2
2
1.2.3
exercices
exercice 7 :
calculer astucieusement la somme suivante en justifiant votre méthode
1. S = 2 + 22 + 42 + 62 + 82 + 102 + 122 + 142 + 162 + 182
2. S = 1600 + 1550 + 1500 + 1450 + 1400 + 1350 + 1300 + 1250 + 1200 + 1150 + 1100
exercice 8 :
on laisse tomber une pierre dans le vide :
elle parcourt 5 mètres la première seconde, 15 mètres la 2e seconde, 25 mètres la 3e , ...
soit une augmentation de la distance parcourue chaque seconde de 10 mètres par rapport
à la distance précédente ( en fait sur terre c’est 9, 81m/s )
Soit dn la distance parcourue la nième seconde
1. donner les valeurs de : d1 , d2 , d3 et d10 et dire ce que représente d10
2. exprimez dn en fonction de n
3. calculer la distance totale S10 = d1 + d2 + . . . + d10 parcourue pendant 10 secondes
4. calculer la distance S20 totale parcourue pendant les 20 premières secondes.
5. montrer que la distance totale parcourue pour n secondes est Sn = 5n2
6. cette pierre met 4 secondes pour atteindre le fond d’un puits, quelle est la profondeur
de ce puits ?
exercice 9 :
un sportif fait 2 tours de piste aujourd’hui puis 5 tours demain puis 8 tours après demain
et ainsi de suite ...
soit un le nombre de tours de piste effectué dans n jours ( le nième inclus) .
1. donner les valeurs de : u0 , u1 , u2 et u29
2. calculer le nombre de tours S29 = u0 + u1 + . . . + u29 parcourus pendant les 30 premiers
jours.
exercice 10 :
une personne décide de d’arrêter de fumer
Ce mois ci elle a dépensé 430 euros en tabac, chaque mois, elle diminue sa dépense en tabac
de 7 euros.
Soit vn la dépense en tabac le nième jour avec v1 = 430
1. donner les valeurs de v2 et v3 .
2. calculer la somme totale dépensée pour les 5 prochaines années ( 60 mois)
exercice 11 :
une personne doit rembourser un prêt de 8000 e
le remboursement se fait en 24 mensualités
la première mensualité est de 250 e
les mensualités augmentent de 10 e par mois
Soit rn le montant de la mensualité remboursée dans n mois
1. donner les valeurs de r0 , r1 , r23 et r24
2. calculer la somme totale remboursée après 24 mensualités
3. en déduire le coût du prêt en euros
( coût = montant total remboursé - montant du prêt )
ainsi que le pourcentage qu’il représente par rapport au montant du prêt
1.2.4
corrigés exercices
corrigé exercice 7 :
calculer astucieusement la somme suivante en justifiant votre méthode
1. S = 2 + 22 + 42 + 62 + 82 + 102 + 122 + 142 + 162 + 182
S=
✄
(2 + 182) × 10
= ✂920 ✁
2
2. S = 1600 + 1550 + 1500 + 1450 + 1400 + 1350 + 1300 + 1250 + 1200 + 1150 + 1100
S=
✄
(1600 + 1100) × 11
= ✂14850 ✁
2
corrigé exercice 8 :
on laisse tomber une pierre dans le vide :
elle parcourt 5 mètres la première seconde, 15 mètres la 2e seconde, 25 mètres la 3e , ...
soit une augmentation de la distance parcourue chaque seconde de 10 mètres par rapport
à la distance précédente ( en fait sur terre c’est 9, 81m/s )
Soit dn la distance parcourue la nième seconde
✞
☎
1. ✝d1 = 5 ✆
✞
☎
d = 15 ✆
✝2
☎
✞
d = 25 ✆
✝ 3
☎
✞
✞
d10 = 5 + 10 × (10 − 1) = 95 est la distance parcourue par le pierre la dixième seconde
✝
☎
✞
2. exprimez dn = 5 + 10(n − 1) = ✝10n − 5 ✆en fonction de n
✝
✆
☎
✆
3. calculer la distance totale S10 = d1 + d2 + . . . + d10 parcourue pendant 10 secondes
✄
(5 + 95) × 10
= ✂500 ✁
S10 =
2
4. calculer la distance S20 totale parcourue pendant les 20 premières secondes.
✄
(5 + (5 + 10 × 19)) × 20
= ✂2000 ✁
S20 =
2
5. montrer que la distance totale parcourue pour n secondes est Sn = 5n2
✞
☎
10n2
(5 + (10n − 5)) × n
=
= ✝5n2 ✆
Sn =
2
2
6. cette pierre met 4 secondes pour atteindre le fond d’un puits, quelle est la profondeur
de ce puits
✄ ?
5 × 42 = ✂80 mètres ✁
corrigé exercice 9 :
un sportif fait 2 tours de piste aujourd’hui puis 5 tours demain puis 8 tours après demain
et ainsi de suite ...
soit un le nombre de tours de piste effectué dans n jours ( le nième inclus) .
✞
☎
✞
☎
✞
☎
1. ✝u0 = 2 ✆
u =5✆
✝1
u =8✆
✝2
✞
☎
u = 2 + 3 × 29 = 89 ✆
✝ 29
2. calculer le nombre de tours S29 = u0 + u1 + . . . + u29 parcourus pendant les 30 premiers
jours.
✄
(2 + 89) × 30
S29 =
= ✂1365 ✁
2
corrigé exercice 10 :
une personne décide de d’arrêter de fumer
Ce mois ci elle a dépensé 430 euros en tabac, chaque mois, elle diminue sa dépense en tabac
de 7 euros.
Soit vn la dépense en tabac le nième jour avec v1 = 430
✞
☎
1. ✝v2 = 430 − 7 = 423 ✆
✞
☎
✝v3 = 430 − 7 × 2 = 416 ✆
2. calculer la somme totale dépensée pour les 5 prochaines années ( 60 mois)
✄
(430 + (430 − 7 × 59)) × 60
S60 =
= ✂13410 ✁
2
corrigé exercice 11 :
une personne doit rembourser un prêt de 8000 e
le remboursement se fait en 24 mensualités
la première mensualité est de 250 e
les mensualités augmentent de 10 e par mois
Soit rn le montant de la mensualité remboursée dans n mois
✄
1. r0 =✂250 ✁
✄
r1 = 250 + 1 × 10 = ✂260
✄ ✁
r23 = 250 + 23 × 10 = ✂✄480 ✁
r24 = 250 + 24 × 10 = ✂490 ✁
2. somme totale remboursée après 24 mensualités S =
✄
✄
250 + 480
× 24 = ✂ 8760 ✁
2
3. coût du prêt en euros : 8760 − 8000 = ✂ 760 ✁
pourcentage qu’il représente par rapport au montant du prêt :
✞
☎
760
= ✝9, 5% ✆
8000
1.2.5
interrogation
2
suites géométriques
2.1
2.1.1
suite des termes
activités
activité 1 : (suite logique)
1. déterminer au moins deux termes suivants de la suite logique et compléter la phrase
(a) 0, 5;
1;
(b) 128;
64;
(c) 2;
1, 8;
2;
32;
4
; ...; ...
pour passer d’un terme à l’autre, on ...
16; ...; ...
pour passer d’un terme à l’autre, on ...
1, 62; ...; ...
pour passer d’un terme à l’autre, on ...
2. on dit que ces suites sont de natures ...
car, pour passer d’un terme à l’autre, on : ...
3. la suite suivante est-elle géométrique ? (justifier) : 1;
2;
6;
12;
36; ...
activité 2 : (noms des termes, rangs des termes, ordinaux des termes et formule explicite pour
calculer un terme quelconque)
1. soit
☎ notée « u » ou « (un ) » de raison notée « q = 3 » où
✞ une suite géométrique
le ✝1er terme est noté u0 ✆avec u0 = 10
(a) compléter ci dessous en détaillant les calculs :
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
...e terme = u1 = ...
10
...e terme = u2 = ...
...e terme = u3 = ...
b
b
1er
...e terme = u100 = ...
...e terme = un = ...
b
u0
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
(b) remarque :
si le premier terme s’appelle u0 et la raison q alors on a la formule explicite pour calculer
directement un en fonction de u0 et q :
un = ...
(c) soit u une suite géométrique de 1er terme u0 = 20 et de raison q = 1, 5
calculer le 20e terme et donner son nom : 20e terme = u...
= ...
2. soit
✞ une suite arithmétique
☎ notée « u » ou « (un ) » de raison notée « q = 0, 8 » où
le ✝1er terme est noté u1 ✆avec u1 = 1000
(a) compléter ci dessous en détaillant les calculs :
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
...e terme = u2 = ...
1000
...e terme = u3 = ...
...e terme = u4 = ...
b
1er
b
...e terme = u100 = ...
...e terme = un = ...
u1
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
(b) remarque :
si le premier terme s’appelle u1 et la raison r alors on a la formule explicite pour calculer
directement un en fonction de u1 et q :
un = ...
(c) soit u une suite géométrique de 1er terme u1 = 20000 et de raison q = 0, 7
calculer le 30e terme et donner son nom : 30e terme = u... = ...
2.1.2
à retenir
définition 2 : (suite géométrique)
quelle que soit la suite u de nombres réels :
u est une suite géométrique
✟ q et de premier terme u0
☛ de raison
✎
un+1
⇐⇒ quel que soit n ∈ N :
un+1 = q un
= q ⇐⇒ ∀n ∈ N :
|
{z
}
u
✡ n
✠
f ormule de récurrence
✍
☞
✌
remarque :
le quotient entre deux termes consécutifs quelconques de la suite est
constant et reste égale à un nombre noté q et appelé raison de la suite
on dit aussi que pour passer d’un terme à un autre, on multiplie toujours par le même
nombre appelé raison de la suite
exemples :
i. 4; 8; 16; 32; 64; ...
est une suite géométrique de raison 2 et de 1er terme 4 car on passe d’un terme au
suivant en multipliant par 2
ii. 50; 25; 12, 5; 6, 25; ...
est une suite géométrique de raison 0, 5 et de 1er terme 50 car on passe d’un terme au
suivant en multipliant par 0, 5
propriété 3 : (formule explicite en fonction de n)
quelle que soit la suite notée u ou (un ) de nombres réels :
✄
si
alors
u est géométrique de 1er terme noté ✂u0 ✁ et de raison notée q
er
(écart entre 0 et n)
u
☎× raison
✞n = 1 terme
n
u = u0 × q
✝n
✆
un est le (n + 1)e terme où le terme après n variations
si
alors
u est géométrique de 1er terme noté ✂u1 ✁ et de raison notée q
er
(écart entre 1 et n)
u
✞n = 1 terme ×
☎raison
✄
u = u1 × q n−1
✆
un est le ne terme où le terme après n − 1 variations
✝n
remarques :
i. l’écart entre deux nombre a et b avec a ≤ b est b − a
ii. si u est géométrique de 1er terme noté uk et de raison notée q
alors un = 1er terme × raison(écart entre k et n) avec (n ≥ k) soit un = uk × q n−k
exemples :
i. soit une suite géométrique de 1er terme u1 = 10 et de raison 1, 5
le ne terme en fonction de n est un = u1 × q n−1 = 10 × 1, 5n−1
par exemple
u100 = 10 × 1, 599
ii. soit une suite géométrique de 1er terme u0 = 10 et de raison 1, 5
le (n + 1)e terme en fonction de n est un = u0 × q n = 10 × 1, 5n
par exemple
u100 = 10 × 1, 5100
2.1.3
exercices
exercice 12 :
voici un graphique « corrigé » d’évolution des demandes et des places disponibles pour une
certaine filière de BEP dans un département. ( la 1ère année est l’année 2001)
ef f ectif s
621
b
600
demandes
559
b
503
b
453
b
407
b
400
200
bc
116
bc
127
bc
140
bc
154
bc
169
of f res
n
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
soient dn et pn deux suites approchant les nombres respectifs de demandes et de places
l’année 2000 + n où n est un nombre entier
1. justifier pourquoi les suites (dn ) et (pn ) semblent constituer des suites géométriques et
donner pour chacune le 1er terme et la raison à 0, 1 près
2. donner les valeurs de d6 et p6 puis d7 et p7
3. donner les "formules de récurrence" dn+1 en fonction de dn ainsi que pn+1 en fonction
de pn
4. calculer d10 et p10
5. donner les "formules explicites" de dn et pn en fonction de n
6. déterminer par calcul l’année à partir de laquelle la demande devrait atteindre 10
7. déterminer par calcul l’année à partir de laquelle l’offre devrait atteindre 300
8. résoudre l’inéquation : dn < pn et en déduire l’année où la demande sera satisfaite
(vérifier graphiquement)
exercice 13 :
en 2006, une personne place un capital C0 = 1000 euros à t = 3% d’intérêts composés annuels
cette personne ne touche plus à son compte par la suite
( « intérêts composés » signifie que : chaque année, les intérêts sont de t% du capital
précédent )
soit Cn le montant du compte l’année 2006 + n
1. calculer C1 , C2 , C3 et C10
2. exprimer Cn+1 en fonction de Cn et préciser la nature le 1er terme et la raison de la
suite (Cn )
3. exprimer Cn en fonction de n
4. déterminer l’année à partir de laquelle le capital aura doublé
5. calculer le capital à placer pour avoir 2000 euros après 10 ans avec t = 3%
6. calculer le taux t pour avoir 2000 euros en 10 ans avec un capital initial de 1000 euros.
exercice 14 :
un bateau remorqueur est en train de ramener un iceberg de 1000 tonnes du pôle sud
et cet iceberg fond en perdant 2% de sa masse par heure en moyenne
on note un la masse de l’iceberg dans n heures ( n est un nombre entier )
1. préciser la nature de la suite numérique (un ), son premier terme u0 et sa raison
2. déterminer la masse de l’iceberg après 10h puis 3 jours puis une semaine. (u... = ...)
3. exprimer la masse de l’iceberg dans n heures en fonction de n (un = ...)
4. dans combien de temps la masse de l’iceberg passera t-elle sous les 600 tonnes ?
( conclusion en jours et heures à 1 heure prés )
exercice 15 :
à un péage autoroutier, un caissier a déjà enregistré le passage de 300 véhicules et a remarqué que le nombre total de véhicules enregistrés augmentait de 5% par heure en moyenne
on note vn le nombre moyen de véhicules enregistrés par le caissier dans n heures
1. préciser la nature de la suite numérique (vn ), son premier terme v0 et sa raison
2. déterminer le nombre de véhicules enregistrés par le caissier dans 5 heures. (v... = ...)
3. exprimer le nombre de véhicules enregistrés dans n heures en fonction de n (vn = ...)
4. dans combien de temps le nombre de véhicules enregistrés dépassera t-il 2000 ? ( conclusion en heures et minutes à 1 minute près )
exercice 16 :
la population d’une ville a cette année un effectif de 10000 habitants, et il est prévu un
accroissement annuel relatif de la population de 4% par an
1. déterminer l’effectif de la population de la ville dans 1 an, dans 10 ans.
2. exprimer l’effectif de la population dans n années, noté Pn
3. déterminer le nombre d’années pour que la population dépasse 30000 habitants.
4. que devrait être l’accroissement annuel de la population pour que l’effectif de 30000 soit
atteint dans 16 années.
5. une autre ville (Ville B ) avec un accroissement relatif annuel de 10% atteindra les 30000
habitants dans 10 années, quel est alors l’effectif de la ville B aujourd’hui ?
exercice 17 :
Monsieur X vient d’obtenir un prêt en s’engageant à en rembourser 70 euros ce mois puis
5% de plus le mois prochain et ainsi de suite.
on note un la somme mensualité remboursée dans n mois ( n entier )
1. Préciser la nature de la suite (un ) ainsi que son premier terme u0 et sa raison
2. déterminer la mensualité remboursée dans 2 ans. (u... = ...)
3. exprimer la mensualité remboursée dans n mois en fonction de n(un = ...)
4. déterminer le nombre de mois à attendre pour que la mensualité dépasse les 120 euros
5. déterminer la somme totale remboursée en un an.
2.1.4
corrigés exercices
corrigé exercice 12 :
voici un graphique « corrigé » d’évolution des demandes et des places disponibles pour une
certaine filière de BEP dans un département. ( la 1ère année est l’année 2001)
ef f ectif s
621
b
600
demandes
559
b
503
b
453
b
407
b
400
200
bc
bc
116
127
bc
140
bc
bc
154
169
of f res
n
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
soient dn et pn deux suites approchant les nombres respectifs de demandes et de places
l’année 2000 + n où n est un nombre entier
✞
☎
1. La suite des offres est de nature géométrique car, pour passer d’un terme à l’autre on mul✝
✆
127
tiplie toujours par le même nombre q =
≃ 1, 09
116
✞
✞
☎
☎
son premier terme est p1 = 116 et sa raison est q = 1, 09
✝
✆
✞
✝
☎
✆
La suite des demandes est de nature géométrique car, pour passer d’un terme à l’autre
✝
✆
559
≃ 0, 9
on multiplie toujours par le même nombre q =
621
✞
☎
✞
☎
son premier terme est ✝d1 = 621 ✆et sa raison est ✝q = 0, 9 ✆
✄
5
2. d6 = d1 × 0, 96−1 = 621 × 0,
✄ 9 ≃✂367 ✁
ou bien d6 = 407 × 0, 9 ≃✂366 ✁ (écart résultant de l’approximation faite pour q = 0, 9
✄
p6 = p1 × 0, 96−1 = 116 × 1, 095 ≃✂178 ✁
ou bien d6 = 169 × 1, 09 ≃ 184 (écart résultant de l’approximation faite pour q = 1, 09
✄
d7 = 621 × 0, 96 ≃✂330
✄ ✁
p7 = 116 × 1, 096 ≃✂194 ✁
✞
☎
✝
✞
✆☎
3. dn+1 = dn × q = dn × 0, 9 en fonction de dn
pn+1 = pn × q = pn × 1, 09 en fonction de pn
✝
✆
✄
4. d10 = d1 × 0, 910−1 = 621 × 0, 99 ≃✂240
✄ ✁
p10 = p1 × 1, 0910−1 = 116 × 1, 099 ≃✂252 ✁
✞
☎
5. ✝dn = 621 × 0, 9n−1 ✆en fonction de n
✞
☎
✝
✆
pn = 116 × 1, 09n−1 en fonction de n
6. déterminer par calcul l’année à partir de laquelle la demande devrait atteindre 10
10
621 × 0, 9n−1 = 10 ⇐⇒ 0, 9n−1 =
621
équation que l’on ne sait pas résoudre algébriquement sans utiliser la fonction logarithme
népérien comme suit :
0, 9n−1 =
10
621
⇐⇒ ln(0, 9n−1 ) = ln(
10
)
621
⇐⇒ (n − 1) × ln(0, 9) = ln(
10
)
116
10
)
621 + 1 ≃ 40, 2
⇐⇒ n =
ln(0, 9)
ln(
✄
⇐⇒ n ≥ 40, 2 soit durant l’année 2000 + 40 = ✂2040 ✁
n
on peut retrouver ce résultat en utilisant un tableau de valeurs dn = 621 × 0, 9n−1
comparaison à 10
7. déterminer par calcul l’année à partir de laquelle l’offre devrait atteindre 300
n
12
13
n−1
p
=
116
×
1,
09
≃
299
≃ 326
on utilise un tableau de valeurs n
comparaison à 300 < 300 > 300
soit durant l’année 2013
8. résoudre l’inéquation : dn < pn et en déduire l’année où la demande sera satisfaite
n
p = 116 × 1, 09n−1
on utilise un tableau de valeurs n
dn = 621 × 0, 9n−1
pn comparé à dn
✄
soit 2000 + 10 = ✂2010 ✁
(ce qui est cohérent avec le graphique)
9
231
267
pn < dn
10
251
240
pn > dn
40
10, 2
> 10
41
9, 2
< 10
corrigé exercice 13 :
en 2006, une personne place un capital C0 = 1000 euros à t = 3% d’intérêts composés annuels
cette personne ne touche plus à son compte par la suite
( « intérêts composés » signifie que : chaque année, les intérêts sont de t% du capital
précédent )
soit Cn le montant du compte l’année 2006 + n
✄
1. C1 = 1000 × 1, 03 =✂1030
✁ ☎
✞
C2 = 1000 × 1, 032 = 1060, 9
✝
✞
✆☎
C3 = 1000 × 1, 033 ≃ 1092, 73
✝✞
✆☎
C10 = 1000 × 1, 0310 ≃ 1343, 92
✞
☎
✝
✆
2. Cn+1 = Cn × 1, 03 en fonction de Cn
✝
✆
✞
la nature de la suite est géométrique
✝
✄
le 1er terme est ✂ 1000 ✁ ✞
☎
la raison de la suite est q = 1, 03
✞
✝
☎
☎
✆
✆
Cn = 1000 × 1, 03n en fonction de n
✝
✆
3. déterminer l’année à partir de laquelle le capital aura doublé
Cn = 1000 × 1, 03n = 2000
n
on utilise un tableau de valeurs Cn = 1000 × 1, 03n
comparaison à 2000
soit durant l’année 2024
23
≃ 1973
< 2000
24
≃ 2032
> 2000
4. calculer le capital à placer pour avoir 2000 euros après 10 ans avec t = 3%
x × 1, 0310 = 2000
⇐⇒ x =
✞
☎
2000
≃ 1488, 19
10
✝
✆
1, 03
5. calculer le taux t pour avoir 2000 euros en 10 ans avec un capital initial de 1000 euros
1000 × (1 + t)10 = 2000
⇐⇒ (1 + t)10 =
2000
1000
⇐⇒ (1 + t)10 = 2
⇐⇒ 1 + t = 21/10
✞
☎
✝
✆
⇐⇒ t = 21/10 − 1 ≃ soit 7, 18%
corrigé exercice 14 :
un bateau remorqueur est en train de ramener un iceberg de 1000 tonnes du pôle sud
et cet iceberg fond en perdant 2% de sa masse par heure en moyenne
on note un la masse de l’iceberg dans n heures ( n est un nombre entier )
✞
☎


la
suite
est
de
nature
géométrique

✝
☎ ✆
✞


son premier terme est ✝u0 = 1000 ✆
☛
✟
1.

2


= 0, 98
 la raison est q = 1 −
100
✡
✠
✞
☎

masse de l’iceberg après 10h : u10 = 1000 × 0, 9810 = 980 993, 5 tonnes


✝
✆




☎
✞
masse dans 3 jours = 3 × 24 = 72h : u72 = 1000 × 0, 9872 ≃ 333, 49 tonnes
2.
✝
✆




☎
✞


masse dans une semaine = 7 × 24 = 168h : u168 = 1000 × 0, 98168 ≃ 33, 57 tonnes
✝
☎
✞
3. masse de l’iceberg dans n heures en fonction de n un = 1000 × 0, 98n
✝
✆
4. dans combien de temps la masse de l’iceberg passera t-elle sous les 600 tonnes ?
n
on utilise un tableau de valeurs un = 1000 × 0, 98n
comparaison à 600
soit entre 25h et26h
25
≃ 603
> 600
26
≃ 591
< 600
✆
corrigé exercice 15 :
à un péage autoroutier, un caissier a déjà enregistré le passage de 300 véhicules et a remarqué que le nombre total de véhicules enregistrés augmentait de 5% par heure en moyenne
on note vn le nombre moyen de véhicules enregistrés par le caissier dans n heures
✞
☎


la
suite
est
de
nature
géométrique

✝
☎ ✆
✞


son premier terme est ✝v0 = 300 ✆
☛
✟
1.

5


= 1, 05
 la raison est q = 1 +
100
✡
✠
2. nombre
de véhicules enregistrés☎par le caissier dans 3 heures :
✞
v3 = 300 × 1, 053 = 347 véhicules
✝
✆
✞
3. nombre de véhicules enregistrés dans n heures en fonction de n : vn = 300 × 1, 05n
✝
4. dans combien de temps le nombre de véhicules enregistrés dépassera t-il 2000 ?
n
on utilise un tableau de valeurs vn = 300 × 1, 05n
comparaison à 2000
soit entre 38h et39h
38
≃ 1915
< 2000
39
≃ 2011
> 2000
☎
✆
corrigé exercice 16 :
la population d’une ville a cette année un effectif de 10000 habitants, et il est prévu un
accroissement annuel relatif de la population de 4% par an
1.
(
✄
effectif de la population de la ✄ville dans 1 an = 10000 × 1, 04 = ✂10400 habitants ✁
dans 10 ans : 10000 × 1, 0410 ≃ ✂14802 ✁
☎
✞
2. effectif de la population dans n années, noté ✝Pn = 10000 × 1, 04n ✆
3. déterminer le nombre d’années pour que la population dépasse 30000 habitants.
n
on utilise un tableau de valeurs Pn = 10000 × 1, 04n
comparaison à 30000
soit entre 28 et39 ans
28
≃ 29987
< 30000
4. il suffit de résoudre l’équation suivante : 10000 × (1 + t)16 = 30000
⇐⇒ (1 + t)16 =
30000
=3
10000
✞
☎
✝
✆
⇐⇒ t = 31/16 − 1 ≃ 7, 1%
5. il suffit de résoudre l’équation suivante : x × 1, 110 = 30000
⇐⇒ x =
✄
30000
≃ 11566, 29
1, 110
soit ✂11566 habitants ✁
29
≃ 31186
> 30000
corrigé exercice 17 :
on note un la somme remboursée dans n mois ( n entier )
✞
☎


la
suite
est
de
nature
géométrique

✝
✆
✞
☎


u
=
70
son premier terme
est
0
✝
✆
☛
✟
1.

5


= 1, 05
 la raison est q = 1 +
100
✡
✠
2. mensualité remboursée
dans☎2 ans = 2 × 12 = 24 mois
✞
u24 = 70 × 1, 0524 ≃ 225, 76 e
✝
✆
✞
3. mensualité remboursée dans n mois en fonction de n un = 70 × 1, 05n
✝
☎
✆
4. déterminer le nombre de mois à attendre pour que la mensualité dépasse les 120 euros
n
on utilise un tableau de valeurs Pn = 70 × 1, 05n
comparaison à 120
soit entre 11 et 12 mois
5. somme totale remboursée en un an
il faut calculer S = u0 + u1 + ... + u11 = 70 ×
11
≃ 119, 7
< 120
1 − 1, 0512
≃ 1114, 2 e
1 − 1, 05
12
≃ 125, 7
> 120
2.1.5
interrogation
interrogation 1
nom, prénom : ...
interrogation : suites géométriques
1. soit la suite de nombres : 20000, 10000, 5000, 2500, ...
(a) inventer une histoire qui pourrait correspondre à cette suite
(b) par quel nombre multiplie t-on un des nombres quelconques pour trouver le suivant ?
est-ce 2 ou bien 0, 5 ou bien 0, 25 ? (justifier)
(c) préciser la nature (justifier), le premier terme et la raison de cette suite
(d) on note u0 = 2000
i. calculer u4 et u10 à 0, 1 près en détaillant les calculs
ii. donner l’expression de un en fonction de n : un = ...
iii. donner l’expression de un+1 en fonction de un : un+1 = ...
iv. déterminer n pour que un ≤ 1 (en détaillant la méthode)
2. soit la suite géométrique v de premier terme v1 = 1000 et de raison q = 1, 04
(a) inventer une histoire qui pourrait correspondre à cette suite
(b) donner alors les valeur de v4 et v10 à 0, 1 près (en détaillant la méthode)
(c) donner l’expression de vn en fonction de n : vn = ...
(d) donner l’expression de vn+1 en fonction de vn : vn+1 = ...
(e) déterminer n pour que vn ≥ 3000 (en détaillant la méthode)
interrogation 2
nom, prénom : ...
interrogation : suites géométriques
1. soit la suite de nombres : 40000, 20000, 10000, 5000, ...
(a) inventer une histoire qui pourrait correspondre à cette suite
(b) par quel nombre multiplie t-on un des nombres quelconques pour trouver le suivant ?
est-ce 2 ou bien 0, 5 ou bien 0, 25 ? (justifier)
(c) préciser la nature (justifier), le premier terme et la raison de cette suite
(d) on note u0 = 40000
i. calculer u4 et u10 à 0, 1 près en détaillant les calculs
ii. donner l’expression de un en fonction de n : un = ...
iii. donner l’expression de un+1 en fonction de un : un+1 = ...
iv. déterminer n pour que un ≤ 1 (en détaillant la méthode)
2. soit la suite géométrique v de premier terme v1 = 2000 et de raison q = 1, 06
(a) inventer une histoire qui pourrait correspondre à cette suite
(b) donner alors les valeur de v4 et v10 à 0, 1 près (en détaillant la méthode)
(c) donner l’expression de vn en fonction de n : vn = ...
(d) donner l’expression de vn+1 en fonction de vn : vn+1 = ...
(e) déterminer n pour que vn ≥ 6000 (en détaillant la méthode)
2.2
2.2.1
somme des termes
activité : somme des premiers termes
1. soit u, une suite géométrique de 1er terme u0 et de raison q
on cherche la valeur de la somme des n premiers termes : S = u0 + u0 q + u0 q 2 + u0 q 3 + ... + u0 q n−1
observez la succession de déductions suivantes :
S = u0 + u0 q + u0 q 2 + u0 q 3 + ... + u0 q n−1
qS = u0 q + u0 q 2 + u0 q 3 + u0 q 4 + ... + u0 q n
S − qS = u0 − u0 q n
S(1 − q) = u0 (1 − q n )
S = u0
✎
1 − qn
1−q
(1ère ligne ×q )
(2e ligne moins 1ère ligne )
( on factorise)
( on isole S)
1 − raisonnombre de
S = 1er terme ×
1 − raison
✍
termes
☞
✌
2. utiliser le résultat obtenu ci dessus pour calculer les sommes suivantes
(a) S = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512
S = ...
(b) S = 1024 + 512 + 256 + 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4
S = ...
2.2.2
corrigé activité : somme des premiers termes
1. soit u, une suite géométrique de 1er terme u0 et de raison q
on cherche la valeur de la somme des n premiers termes : S = u0 + u0 q + u0 q 2 + u0 q 3 + ... + u0 q n−1
observez la succession de déductions suivantes :
S = u0 + u0 q + u0 q 2 + u0 q 3 + ... + u0 q n−1
qS = u0 q + u0 q 2 + u0 q 3 + u0 q 4 + ... + u0 q n
S − qS = u0 − u0 q n
(2e ligne moins 1ère ligne )
S(1 − q) = u0 (1 − q n )
S = u0
✎
1 − qn
1−q
(1ère ligne ×q )
( on factorise)
( on isole S)
1 − raisonnombre de
S = 1er terme ×
1 − raison
✍
termes
☞
✌
2. utiliser le résultat obtenu ci dessus pour calculer les sommes suivantes
(a) S = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512
S = 1er terme ×
1 − raisonnombre de
1 − raison
termes
=1×
✄
1 − 210
= ✂1023 ✁
1−2
(b) S = 1024 + 512 + 256 + 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4
S = 1er terme ×
1 − raisonnombre de
1 − raison
termes
= 1024 ×
✄
1 − 0, 59
= ✂2044 ✁
1 − 0, 5
2.2.3
à retenir
propriété 4 : (formule de la somme)
quelle que soit la suite notée u ou (un ) de nombres réels :
✄
si
alors
u est géométrique de 1er terme noté ✂u0✎
☞ ✁
✎
n+1
1−q
1 − q (nombre de
= premier ×
S = u0 + u1 + ... + un = u0 ×
1−q
1−q
✍
✌✍
S est la somme des n + 1 premiers termes
✄
si
alors
u est géométrique de 1er terme noté
u1
✎
☞✎ ✂ ✁
n
1−q
1 − q (nombre de
S = u1 + ... + un = u1 ×
= premier ×
1−q ✌✍
1−q
✍
S est la somme des n premiers termes
termes)
termes)
✌
☞
✌
exemples :
i. soit une suite géométrique de 1er terme u1 = 10 et de raison 1, 5
S = u1 + u2 + ... + u20 =?
S = premier ×
1 − q (nombre de
1−q
termes)
= u1 ×
1 − q 20
1 − 1, 520
= 10 ×
≃ 66485
1−q
1 − 1, 5
ii. soit une suite géométrique de 1er terme u0 = 10 et de raison 1, 5
S = u0 + u2 + ... + u20 =?
S = premier ×
1 − q (nombre de
1−q
termes)
= u1 ×
☞
1 − q 21
1 − 1, 521
= 10 ×
≃ 99737
1−q
1 − 1, 5
2.2.4
exercices
exercice 18 :
calculer astucieusement la somme suivante en justifiant votre méthode
1. S = 5 + 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 + 640 + 1280 + 2560
2. S = 1600 + 800 + 400 + 200 + 100 + 50 + 25 + 12, 5
exercice 19 :
1. une personne rembourse un prêt selon les modalités suivantes :
50 euros la première mensualité
les mensualités augmentent de 4% chaque mois
soit un le montant de la nième mensualité
(a) calculer la somme des mensualités pour les 12 premiers mois
(b) calculer la somme des mensualités pour les 3 premières années
2. une personne rembourse un prêt selon les modalités suivantes :
500 euros la première mensualité
les mensualités baissent de 4% chaque mois
soit un le montant de la nième mensualité
(a) calculer la somme des mensualités pour les 12 premiers mois
(b) calculer la somme des mensualités pour les 3 premières années
exercice 20 :
Un sportif s’entraîne 10 mn à la première séance puis 10% de plus à chaque séance.
soit un la durée d’entraînement de la nième séance
1. donner les valeurs de u0 , u1 , u2 et u29
2. calculer la durée totale S29 = u0 + u1 + . . . + u29 pour les 30 premières séances
exercice 21 :
une personne décide de d’arrêter de fumer
Ce mois ci elle a dépensé 430 euros en tabac, chaque mois, elle diminue sa dépense en tabac
de 5%
Soit vn la dépense en tabac le nième jour avec v1 = 430
1. donner les valeurs de v2 et v3 .
2. calculer la somme totale dépensée pour les 5 prochaines années ( 60 mois)
2.2.5
corrigés exercices
corrigé exercice 18 :
calculer astucieusement la somme suivante en justifiant votre méthode
1. S = 5 + 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 + 640 + 1280 + 2560
S = 1er terme ×
1 − raisonnombre de
1 − raison
termes
=5×
✄
1 − 210
= ✂5115 ✁
1−2
2. S = 1600 + 800 + 400 + 200 + 100 + 50 + 25 + 12, 5
S = 1er terme ×
1 − raisonnombre de
1 − raison
termes
= 1600 ×
☎
✞
1 − 0, 58
= 3187, 5
✝
✆
1 − 0, 5
corrigé exercice 19 :
1. une personne rembourse un prêt selon les modalités suivantes :
50 euros la première mensualité
les mensualités augmentent de 4% chaque mois
soit un le montant de la nième mensualité
(a) calculer la somme des mensualités pour les 12 premiers mois
☎
✞
1 − 1, 0412
1 − raisonnombre de termes
= 50 ×
≃ 751, 29
S = 1er terme ×
✝
✆
1 − raison
1 − 1, 04
(b) calculer la somme des mensualités pour les 3 premières années
✞
☎
1 − 1, 0436
1 − raisonnombre de termes
= 50 ×
≃ 3879, 9
S = 1er terme ×
✝
✆
1 − raison
1 − 1, 04
2. une personne rembourse un prêt selon les modalités suivantes :
500 euros la première mensualité
les mensualités baissent de 4% chaque mois
soit un le montant de la nième mensualité
(a) calculer la somme des mensualités pour les 12 premiers mois
☎
✞
1 − 0, 9612
1 − raisonnombre de termes
= 500 ×
≃ 4841, 1
S = 1er terme ×
✝
✆
1 − raison
1 − 0, 96
(b) calculer la somme des mensualités pour les 3 premières années
☎
✞
1 − raisonnombre de termes
1 − 0, 9636
S = 1er terme ×
= 50 ×
≃ 9624, 8
✝
✆
1 − raison
1 − 0, 96
corrigé exercice 20 :
Un sportif s’entraîne 10 mn à la première séance puis 10% de plus à chaque séance.
soit un la durée d’entraînement de la nième séance
1. donner
✄ les valeurs de u0 , u1 , u2 et u29
u0 = ✂10 ✁
✄
u1 = 10 × 1, 1 =✂11
✞ ✁ ☎
u2 = 10 × 1, 12 = 12, 1
✝✞
✆
u29 = 10 × 1, 129 ≃ 158, 63
✝
☎
✆
2. calculer la durée totale S29 = u0 + u1 + . . . + u29 pour les 30 premières séances
☎
✞
1 − 1, 130
1 − raisonnombre de termes
= 10 ×
≃ 1644, 9
S = 1er terme ×
✝
✆
1 − raison
1 − 1, 1
corrigé exercice 21 :
une personne décide de d’arrêter de fumer
Ce mois ci elle a dépensé 430 euros en tabac, chaque mois, elle diminue sa dépense en tabac
de 5%
Soit vn la dépense en tabac le nième jour avec v1 = 430
1. donner
les valeurs de v2 et v3
✄
v1 =✂430 ✁
☎
✞
v2 = 430 × 0, 951 = 408, 5
✝
✞
v3 = 430 × 0, 952 ≃ 388, 08
✝
✆
☎
✆
2. calculer la somme totale dépensée pour les 5 prochaines années ( 60 mois)
✞
☎
1 − 0, 9560
1 − raisonnombre de termes
= 430 ×
≃ 8203, 8
S = 1er terme ×
✝
✆
1 − raison
1 − 0, 95
2.2.6
interrogation
nom, prénom : ...
interrogation : suites géométrique et somme des termes
1. on souhaite calculer (astucieusement)
la somme S = 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 + 640 + 1280 + 2560 + 5120 + 10240 + 20480
(a) quel type de suite reconnaissez vous ? (justifier) : ...
(b) quel est le premier terme et quelle est la raison de la suite ? : ...
(c) _ inventer une histoire qui pourrait correspondre à ce calcul
_ poser une question dont la réponse est donnée par le résultat de ce calcul
_ donner la réponse à cette question en détaillant les calculs
(d) si on pose u0 = 10, donner l’expression de un en fonction de n : un = ...
(e) calculer u15
(f ) déterminer n pour que un > 500000
2. on souhaite calculer (astucieusement) la somme :
S = 10000 + 8000 + 6400 + 5120 + 4096 + 3276, 8 + 2621, 44 + 2097, 152 + 1677, 7216 + 1342, 17728
(a) quel type de suite reconnaissez vous ? : ...
(b) quel est le premier terme et quelle est la raison de la suite ? : ...
(c) _ inventer une histoire qui pourrait correspondre à ce calcul
_ poser une question dont la réponse est donnée par le résultat de ce calcul
_ donner la réponse à cette question en détaillant les calculs
(d) si on pose v1 = 10000, donner l’expression de vn en fonction de n : vn = ...
(e) calculer v20
(f ) déterminer n pour que vn < 100
3
devoir maison
4
évaluation
Nom :
évaluation suites numériques
Exercice 1 : Comparaison de deux suites
Voici l’évolution des offres et demandes de logements sociaux dans une région de France.
On dit que la demande est « satisfaite » si la demande est inférieure ou égale à l’offre
1. Observation des données :
Année
2005
2006
2007
2008
Demandes
2000
3000
4000
5000
Offres
3000
3300
3630
3993
(a) Justifier pourquoi la demande est satisfaite en 2005 puis expliquer si la demande est
satisfaite ou non en 2006, 2007 et 2008
(b) quelle semble être la nature (arithmétique ou géométrique) de la suites des demandes ?
(justifier clairement pourquoi) et donner son premier terme et sa raison
(c) quelle semble être la nature (arithmétique ou géométrique) de la suites des offres ?
(justifier clairement pourquoi) et donner son premier terme et sa raison
2. Modélisation mathématique des évolutions :
Hypothèse 1 : le nombre de demandes évolue de 1000 par an à compter de 2005
Hypothèse 2 : le nombre d’offres évolue de 10% par an à compter de 2005
Soit (un ) la suite correspondant aux demandes et (vn ) la suite correspondant aux offres
u0 et v0 sont respectivement les demandes et offres en 2005. un et vn sont respectivement
les demandes et offres en 2005 + n.
(a) Compléter le tableau suivant à 1 près par défaut (détailler un calcul par colonne)
Année
n
un
vn
2005
0
2000
3000
2006
1
3000
3300
2007
2
2010
5
2015
10
2020
15
17000
12532
20
25
(b) d’après ce tableau, rédiger une phrase (sur la copie) qui donne la période sur laquelle
la demande n’est pas satisfaite.
(c) donner la formule qui donne un en fonction de n ainsi que celle qui donne vn en
fonction de n
(d) exprimer un+1 en fonction de un et vn+1 en fonction de vn
(e) donner le sens de variation de chacune des suites (croissante ou décroissante)
(f ) les suites sont représentées dans le repère ci dessous
b
32
30
b
28
+
+b
24
+
+
22
+
+
20
+
+
18
+
b
+
b
+
12
b
+
b
+
10
b
+
b
+
8
b
b
+
+
6
+
b
2 +
+b
+b
b
b
b
b
b
b
b
b
+
14
b
b
+
+
16
4
+
b
26
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
(g) mettre une légende et préciser les unités pour chaque axe et mettre une légende pour
chaque suite (offre ou demande)
3. Prévisions et calculs :
les tracés utilisés seront apparents sur le graphique ci dessus
(a)
i. Déterminer graphiquement l’année à où la demande atteint 14000 logements
ii. résoudre l’équation : 2000 + 1000n = 14000
iii. les deux résultats précédents sont-ils cohérents ?
(b)
i. Déterminer graphiquement l’année à où l’offre atteint 14000 logements
ii. résoudre l’inéquation : 3000 × 1, 1n ≥ 14000 par essais successifs grâce à un petit
tableau de valeurs.
iii. les deux résultats précédents sont-ils cohérents ?
(c) déterminer graphiquement l’année à partir de laquelle l’offre dépasse la demande
(d) déterminer graphiquement l’année où la situation serait la "pire" (il y aurait le plus
grand nombre de personnes non satisfaites)
Exercice 2 :
Monsieur A vient d’obtenir un prêt en s’engageant à rembourser 70 euros ce mois puis 75
euros le mois prochain, puis 80 euros le mois suivant et ainsi de suite...
On note un la mensualité remboursée dans n mois ( n entier ) et u0 = 70 le premier terme
1. Préciser la nature de la suite (un ) ainsi que sa raison r et son premier terme
2. Donner les valeurs de u1 , u2 , u3 et montrer que u10 = 120
3. Déterminer la mensualité remboursée dans 2 ans
4. Exprimer la mensualité un remboursée dans n mois en fonction de n
5. Déterminer le nombre de mois à attendre pour que la mensualité dépasse les 200 euros
6. Déterminer la somme totale S = u0 + u1 + ... + u11 remboursée en 1 ans
Exercice 3 :
Madame B vient d’obtenir un prêt en s’engageant à rembourser 70 euros ce mois puis 5% de
plus le mois prochain et ainsi de suite
On note un la mensualité remboursée dans n mois ( n entier ) et u0 = 70 le premier terme
1. Préciser la nature de la suite (un ), son premier terme et montrer que sa raison est q = 1, 05
2. Donner les valeurs de u1 , u2 , u3 et montrer que u10 ≃ 114 (arrondir à l’euro près)
3. Déterminer la mensualité remboursée dans 2 ans à 1 e près
4. Exprimer la mensualité un remboursée dans n mois en fonction de n
5. Déterminer le nombre de mois à attendre pour que la mensualité dépasse les 200 euros
6. Déterminer la somme totale S = u0 + u1 + ... + u11 remboursée en 1 ans
Exercice 4 :
Un livreur A a fait ce mois-ci u0 = 584 livraisons.
Il est prévu pour A, une augmentation de 5 livraisons d’un mois à l’autre pour les mois à
venir
Un livreur B a fait ce mois-ci v0 = 10 livraisons.
Il est prévu pour B, une augmentation de 14 livraisons d’un mois à l’autre pour les mois à
venir
soient un et vn les nombres respectifs de livraisons prévues pour les livreurs A et B dans n
mois
1. (a) Exprimer un et vn en fonction de n
(b) Déterminer le nombre minimal de mois à attendre pour que le livreur B dépasse le
livreur A
(c) Combien de livraisons auront-ils fait chacun au total en un an ?
2. Une faute de frappe a entraîné une confusion entre 5 et 5% de même qu’entre 14 et 14%
ainsi, pour le livreur A, l’augmentation du nombre de livraisons est de 5% et pour le
livreur B elles est de 14%
(a) Exprimer un et vn en fonction de n
(b) Déterminer le nombre minimal de mois à attendre pour que le livreur B dépasse le
livreur A (donner un tableau de valeurs)
(c) Combien de livraisons auront-ils fait chacun au total en un an ?
Exercice 5 :
donner la nature de la suite son premier terme et sa raison puis calculer astucieusement la
somme suivante en justifiant votre méthode
1. S = 2 + 22 + 42 + 62 + 82 + 102 + 122 + 142 + 162 + 182
2. S = 1600 + 1550 + 1500 + 1450 + 1400 + 1350 + 1300 + 1250 + 1200 + 1150 + 1100
Exercice 6 :
donner la nature de la suite son premier terme et sa raison puis calculer astucieusement la
somme suivante en justifiant votre méthode
1. S = 5 + 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 + 640 + 1280 + 2560
2. S = 1600 + 800 + 400 + 200 + 100 + 50 + 25 + 12, 5
Exercice 7 :
On souhaite comparer des tarifs de location de 2 locaux de stockage.
– Tarif 1 : 5 000 e le premier mois puis augmentation de 5% par mois
– Tarif 2 : 4500 e le premier mois puis augmentation de 450 e par mois
soit un le montant du loyer de tarif 1 et vn le montant du tarif 2 après n mois de location
on ouvre une feuille de calcul automatique (Excell) puis on recopie dans cette feuille
de calcul le contenu des cellules comme indiqué ci dessous
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
...
tarif 1
B
premier loyer
5000
C
taux d’évolution (%)
5
tarif 2
premier loyer
4500
évolution (euros)
450
un
vn
n
0
on souhaite obtenir dans la colonne A les valeurs de n et dans les colonnes B et C le
tableau de valeurs des suites u et v pour n allant de 0 à 24
(a) i. compléter par les nombres attendus : u0 = ...
v0 = ...
ii. la formule tableur à entrer en B9 est donc : = ...
la formule tableur à entrer en C9 est donc : ...
(b) i. on entre dans la cellule A10 la formule tableur suivante :
= ...
ii. donner les formules de récurrence pour u et v :
un+1 = ...
vn+1 = ...
iii. la formule tableur à entrer en B10 est donc : = ...
( penser au(x) dollar(s) $ éventuels)
la formule tableur à entrer en C10 est donc : ...
(c) il ne reste plus qu’à "tirer les cellules" ...
(compléter les pointillés)
jusqu’à la ligne ...
Exercice 8 : (Bonus)
1. inventer un exercice faisant intervenir une suite arithmétique, poser 3 questions "intéressantes" et donner les réponses des questions
2. inventer un exercice faisant intervenir une suite géométrique, poser 3 questions "intéressantes" et donner les réponses des questions
✄
✂Formulaire ✁
si une suite u est arithmétique de raison r
alors
☎
✞
(1) ✝un = u0 + nr ✆
(2) la somme des n premiers termes S est telle que ☛
:
✟
premier
+
dernier
S = 1er terme + 2e terme + 3e terme + ... + dernier terme =
× (nombre de termes)
2
✡
✠
si une suite est géométrique de raison q
alors
☎
✞
(1) un = u0 × q n
✝
✆
(2) la somme des n premiers termes S est telle que : ✎
1 − raisonnombre de
S = 1er terme + 2e terme + 3e terme + ... + dernier terme = premier ×
1 − raison
✍
termes
☞
✌
5
évaluation 2
Nom :
évaluation suites numériques
Exercice 1 : Comparaison de deux suites
Voici l’évolution des offres et demandes de logements sociaux dans une région de France.
On dit que la demande est « satisfaite » si la demande est inférieure ou égale à l’offre
1. Observation des données :
Année
2005
2006
2007
2008
Demandes
2000
3000
4000
5000
Offres
3000
3300
3630
3993
(a) Justifier pourquoi la demande est satisfaite en 2005 puis expliquer si la demande est
satisfaite ou non en 2008
(b) quelle semble être la nature (arithmétique ou géométrique) de la suites des demandes ?
(justifier clairement pourquoi) et donner son premier terme et sa raison
(c) quelle semble être la nature (arithmétique ou géométrique) de la suites des offres ?
(justifier clairement pourquoi) et donner son premier terme et sa raison
2. Modélisation mathématique des évolutions :
Hypothèse 1 : le nombre de demandes évolue de 1000 par an à compter de 2005
Hypothèse 2 : le nombre d’offres évolue de 10% ×1, 1 par an à compter de 2005
Soit (un ) la suite correspondant aux demandes et (vn ) la suite correspondant aux offres
u0 et v0 sont respectivement les demandes et offres en 2005. un et vn sont respectivement
les demandes et offres en 2005 + n.
(a) Compléter le tableau suivant à 1 près par défaut (détailler un calcul par colonne)
Année
n
un
vn
2005
0
2000
3000
2006
1
3000
3300
2007
2
2010
5
2015
10
2020
15
17000
12532
20
25
(b) d’après ce tableau, rédiger une phrase (sur la copie) qui donne la période sur laquelle
la demande n’est pas satisfaite.
(c) donner la formule qui donne un en fonction de n ainsi que celle qui donne vn en
fonction de n
(d) exprimer un+1 en fonction de un et vn+1 en fonction de vn
(e) donner le sens de variation de chacune des suites (croissante ou décroissante)
(f ) les suites sont représentées dans le repère ci dessous
b
32
30
b
28
+
+b
24
+
+
22
+
+
20
+
+
18
+
b
+
b
+
12
b
+
b
+
10
b
+
b
+
8
b
b
+
+
6
+
b
2 +
+b
+b
b
b
b
b
b
b
b
b
+
14
b
b
+
+
16
4
+
b
26
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
(g) mettre une légende et préciser les unités pour chaque axe et mettre une légende pour
chaque suite (offre ou demande)
3. Prévisions et calculs :
les tracés utilisés seront apparents sur le graphique ci dessus
(a)
i. Déterminer graphiquement l’année à où la demande atteint 14000 logements
ii. résoudre l’équation : 2000 + 1000n = 14000
iii. les deux résultats précédents sont-ils cohérents ?
(b)
i. Déterminer graphiquement l’année à où l’offre atteint 14000 logements
ii. résoudre l’inéquation : 3000 × 1, 1n ≥ 14000 par essais successifs grâce à un petit
tableau de valeurs.
iii. les deux résultats précédents sont-ils cohérents ?
(c) déterminer graphiquement l’année à partir de laquelle l’offre dépasse la demande
(d) déterminer graphiquement l’année où la situation serait la "pire" (il y aurait le plus
grand nombre de personnes non satisfaites)
Exercice 2 :
Monsieur A vient d’obtenir un prêt en s’engageant à rembourser 140 euros ce mois puis
150 euros le mois prochain, puis 160 euros le mois suivant et ainsi de suite...
On note un la mensualité remboursée dans n mois ( n entier ) et u0 = 140 le premier terme
1. Préciser la nature de la suite (un ) ainsi que sa raison r et son premier terme
2. Donner les valeurs de u1 , u2 , u3 et montrer que u10 = 240
3. Déterminer la mensualité remboursée dans 2 ans
4. Exprimer la mensualité un remboursée dans n mois en fonction de n
5. Déterminer le nombre de mois à attendre pour que la mensualité dépasse les 400 euros
6. Déterminer la somme totale S = u0 + u1 + ... + u11 remboursée en 1 ans (12 mois)
Exercice 3 :
Madame B vient d’obtenir un prêt en s’engageant à rembourser 140 euros ce mois puis 5%
de plus le mois prochain et ainsi de suite
On note un la mensualité remboursée dans n mois ( n entier ) et u0 = 140 le premier terme
1. Préciser la nature de la suite (un ), son premier terme et montrer que sa raison est q = 1, 05
2. Donner les valeurs de u1 , u2 , u3 et montrer que u10 ≃ 228 (arrondir à l’euro près)
3. Déterminer la mensualité remboursée dans 2 ans à 1 e près
4. Exprimer la mensualité un remboursée dans n mois en fonction de n
5. Déterminer le nombre de mois à attendre pour que la mensualité dépasse les 400 euros
6. Déterminer la somme totale S = u0 + u1 + ... + u11 remboursée en 1 ans
Exercice 4 :
Un livreur A a fait ce mois-ci u0 = 584 livraisons.
Il est prévu pour A, une augmentation de 5 livraisons d’un mois à l’autre pour les mois à
venir
Un livreur B a fait ce mois-ci v0 = 10 livraisons.
Il est prévu pour B, une augmentation de 14 livraisons d’un mois à l’autre pour les mois à
venir
soient un et vn les nombres respectifs de livraisons prévues pour les livreurs A et B dans n
mois
1. (a) Exprimer un et vn en fonction de n
(b) Déterminer le nombre minimal de mois à attendre pour que le livreur B dépasse le
livreur A
(c) Combien de livraisons auront-ils fait chacun au total en un an ?
2. Une faute de frappe a entraîné une confusion entre 5 et 5% de même qu’entre 14 et 14%
ainsi, pour le livreur A, l’augmentation du nombre de livraisons est de 5% et pour le
livreur B elles est de 14%
(a) Exprimer un et vn en fonction de n
(b) Déterminer le nombre minimal de mois à attendre pour que le livreur B dépasse le
livreur A (donner un tableau de valeurs)
(c) Combien de livraisons auront-ils fait chacun au total en un an ?
Exercice 5 :
donner la nature de la suite son premier terme et sa raison puis calculer astucieusement la
somme suivante en justifiant votre méthode
1. S = 4 + 24 + 44 + 64 + 84 + 104 + 124 + 144 + 164 + 184
2. S = 1550 + 1500 + 1450 + 1400 + 1350 + 1300 + 1250 + 1200 + 1150 + 1100
Exercice 6 :
donner la nature de la suite son premier terme et sa raison puis calculer astucieusement la
somme suivante en justifiant votre méthode
1. S = 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 + 640 + 1280 + 2560
2. S = 1600 + 800 + 400 + 200 + 100 + 50 + 25 + 12, 5 + 6, 25
Exercice 7 :
On souhaite comparer des tarifs de location de 2 locaux de stockage.
– Tarif 1 : 5 000 e le premier mois puis augmentation de 5% par mois
– Tarif 2 : 4500 e le premier mois puis augmentation de 450 e par mois
soit un le montant du loyer de tarif 1 et vn le montant du tarif 2 après n mois de location
on ouvre une feuille de calcul automatique (Excell) puis on recopie dans cette feuille
de calcul le contenu des cellules comme indiqué ci dessous
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
...
tarif 1
B
premier loyer
5000
C
taux d’évolution (%)
5
tarif 2
premier loyer
4500
évolution (euros)
450
un
vn
n
0
on souhaite obtenir dans la colonne A les valeurs de n et dans les colonnes B et C le
tableau de valeurs des suites u et v pour n allant de 0 à 24
(a) i. compléter par les nombres attendus : u0 = ...
v0 = ...
ii. la formule tableur à entrer en B9 est donc : = ...
la formule tableur à entrer en C9 est donc : ...
(b) i. on entre dans la cellule A10 la formule tableur suivante :
= ...
ii. donner les formules de récurrence pour u et v :
un+1 = ...
vn+1 = ...
iii. la formule tableur à entrer en B10 est donc : = ...
( penser au(x) dollar(s) $ éventuels)
la formule tableur à entrer en C10 est donc : ...
(c) il ne reste plus qu’à "tirer les cellules" ...
(compléter les pointillés)
jusqu’à la ligne ...
Exercice 8 : (Bonus)
1. inventer un exercice faisant intervenir une suite arithmétique, poser 3 questions "intéressantes" et donner les réponses des questions
2. inventer un exercice faisant intervenir une suite géométrique, poser 3 questions "intéressantes" et donner les réponses des questions
✄
✂Formulaire ✁
si une suite u est arithmétique de raison r
alors
☎
✞
(1) ✝un = u0 + nr ✆
(2) la somme des n premiers termes S est telle que ☛
:
✟
premier
+
dernier
S = 1er terme + 2e terme + 3e terme + ... + dernier terme =
× (nombre de termes)
2
✡
✠
si une suite est géométrique de raison q
alors
☎
✞
(1) un = u0 × q n
✝
✆
(2) la somme des n premiers termes S est telle que : ✎
1 − raisonnombre de
S = 1er terme + 2e terme + 3e terme + ... + dernier terme = premier ×
1 − raison
✍
termes
☞
✌
6
travaux pratiques
Nom et prénom : ...
TP Tableur et suites arithmétiques et géométriques
1. Vous demandez un emprunt d’un montant de 10 000 e
banque
Il vous propose
à votre gestionnaire de compte en