Terminales S Devoir maison n° 3 -A faire pour le jeudi 6 novembre

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Terminales S Devoir maison n° 3 -A faire pour le jeudi 6 novembre 2014
exercice 1 : probabilités conditionnelles et suite
Alice débute au jeu de fléchettes. Elle effectue des lancers successifs d’une fléchette. Lorsqu’elle
atteint la cible à un lancer, la probabilité qu’elle atteigne la cible au lancer suivant est égale à
1
3
.
Lorsqu’elle a manqué la cible à un lancer, la probabilité qu’elle manque la cible au lancer suivant est égale à
4
5
. On suppose qu’au premier lancer elle a autant de chances d’atteindre la cible que de la manquer.
Pour tout entier naturel n strictement positif, on considère les évènements suivants :
An : « Alice atteint la cible au n
ième coup ».
Bn : « Alice rate la cible au n
ième coup ».
On pose pn = p ( An ).
Pour les questions 1. et 2. on pourra éventuellement utiliser un arbre pondéré.
1. Déterminer p
1 et montrer que
p
2 =
4
15
.
2. Montrer que, pour tout entier naturel n 2,
1
21
15 5
nn
pp
3. Pour n 1 on pose
3
13
nn
up
Montrer que la suite ( un ) est une suite géométrique, dont on précisera le premier terme u
1 et la raison
q .
4. Écrire un puis pn en fonction de n .
5. Déterminer
lim n
np
.
exercice 2 :
Pour embaucher ses cadres, une entreprise fait appel à un cabinet de recrutement.
La procédure retenue est la suivante. Le cabinet effectue une première sélection de candidats sur
dossier.
40% des dossiers reçus sont validés et transmis à l'entreprise ; les candidats ainsi sélectionnés passent
un premier entretien à l'issue du quel 70 % d'entre eux sont retenus. Ces derniers sont convoqués à un
ultime entretien avec le directeur des ressources humaines qui recrutera 25% des candidats rencontrés.
1. On choisit au hasard le dossier d'un candidat. On considère les événements suivants :
D : " Le candidat est retenu sur dossier".
E1: "Le candidat est retenu à l'issue du premier entretien".
E2: "Le candidat est recruté".

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exercice 3 : étude d'une famille de fonctions rationnelles
Pour tout réel m , on considère la fonction fm définie sur ℝ* par :
( ) 1
mm
f x x x
.
On note Cm la courbe représentative de fm dans un repère.
1) Quelle est la nature de C
0 ? Justifier votre réponse.
On suppose par la suite que m 0.
2) Déterminer les limites de fm aux bornes de ℝ*. (pour l’étude en 0, distinguer les cas m > 0 et m < 0).
3) Calculer
'( )
m
fx
pour tout réel x non nul. En déduire le sens de variation de fm (distinguer les cas m > 0
et m < 0).
4) Dresser le tableau de variation de fm dans le cas où m > 0 puis dans le cas où m < 0.
5) Suivant les valeurs de m , étudier la position de la courbe Cm par rapport à C
0.
exercice 4 :
Dans un repère orthonormé, A est le point de coordonnées ( 1 ; 1).
A tout réel x > 1, on associe le point M de coordonnées (x ; 0) et on
note N le point où la droite (AM) coupe l’axe des ordonnées. Pour
quelle(s) position (s) du point M , l’aire du triangle OMN est-elle
minimale ?

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Corrigé du n°1 :
Au premier lancer Alice a autant de chances d’atteindre la
cible que de la manquer donc p1= 1/2.
Les données du texte sont :
11
22
14
( ) ( )
35
AB
p A p B
On peut visualiser la situation avec un arbre complété avec les
données et les déductions .
selon la formule des probabilités totales ,
p 2 = p(A2)=p(A1 A2)+p(B1 A2)=
1 1 1 1 4
2 3 2 5 15
Donc
24
15
p
.
2)Pour n 2 , on peut visualiser la situation avec un arbre partiel
pn= p(An)= p(An-1 An)+p(Bn-1 An)= pn
1 1 1
1 1 2 1
(1 )
3 5 15 5
n n n
p p p
3) Pour tout entier n 2,
n
u
=pn–
3
13
et donc on a pn=
n
u
+
3
13
donc
1n
u
=pn+1–
3
13
=
2 1 3 2 3 1 3 2
()
15 5 13 15 13 5 13 15
n n n
p u u      
Donc la suite
()
n
u
est géométrique. Sa raison est q= 2/15 et son premier terme est
11
3 1 3 7
13 2 13 26
up    
4)
1
172
()
26 15
nn
n
u u q 
Donc
2
lim 0 1 1
15
n
nu car
. Comme pn=
n
u
+
3
13
, on déduit que
3
lim 13
n
np
An-1
An
1
3
Bn
2
3
B n-1
An
1
5
Bn
4
5
A1
1
2
A2
1
3
B2
2
3
B1
1
2A2
1
5
B2
4
5

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Corrigé du n°2
remarque : on peut aussi calculer directement la probabilité d'être recruté :
2.
a. Chaque dossier traité peut être considéré comme une épreuve de Bernoulli avec pour succès "le candidat est
recruté " de probabilité p = 0,07. Cinq dossiers sont traités de façon identiques et indépendantes donc la variable
aléatoire X donnant le nombre de succès c'est à dire ici le nombre de candidats recrutés suit une loi binomiale de
paramètres n=5 et = 0,07.
b. p(X=2) =
2 2 3
50,07 0,93 0,039 à 10 près
2
c. X suit une loi binomiale de paramètres n et p = 0,07
On cherche le plus petit entier n tel que p(X 1) > 0,999 soit encore 1–p(X=0) > 0,999
1 –  > 0,999  0.001 >  .
Nous verrons plus tard dans l'année , comment résoudre rigoureusement cette équation en utilisant la fonction ln .
Dans l’immédiat, l’utilisation de la calculatrice, nous permet de trouver que :
  0.00101
 0.00094
On en déduit que l’inéquation est vérifiée dès que n  96.
Il faut donc traiter au moins 96 dossiers pour avoir une probabilité supérieure à 0,999 de recruter au moins
un candidat.
corrigé du n°3 :
1. C0 représente la fonction f0 définie par :
0
( ) 1 1f x x x
x
.
f0 est une fonction affine donc C0 est une droite.
2.
lim 1
xx
lim 0
x
m
x
donc
lim ( )
m
xfx
12
( ) p(D E ) 0,4 0,7 0,25 0,07
' (F) 1 ( ) 1 0,07 0,93
p F E
d où p p F

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De même :
lim ( )
m
xfx
0
lim 1 1
xx
 Si m > 0 alors
0
lim
x
m
x
et
0
lim
x
m
x
d’où :
0
lim ( )
m
xfx
et
0
lim ( )
m
xfx
 Si m < 0 alors
0
lim
x
m
x
et
0
lim
x
m
x
d’où :
0
lim ( )
m
xfx
et
0
lim ( )
m
xfx
On peut en déduire que la droite d’équation x = 0 est asymptote verticale à Cm
3. fm est une fonction dérivable sur son ensemble de définition comme somme de fonctions dérivables.
'²
( ) 1 ²²
mm x m
fx xx
Comme x² > 0 sur *
'()
m
fx
est du signe de x² – m :
 Si m > 0 alors x² – m est un polynôme du second degré avec deux racines
et -mm
.
fm est donc strictement croissante sur ]–  ; -
m
[ et sur
,m
et elle est strictement décroissante sur
,0m
et sur
0, m
.
 Si m < 0 alors x² – m est toujours positif et fm est strictement croissante sur ]-; 0[ et sur ]0; +[
4. Tableau de variations de fm :
 Si m > 0 alors
x
-
m
0
m
+
signe de
()fx
+
0
–
– 0
+
variations
de fm
-
12m
-
+
-
12m
+
 Si m < 0 alors
x
-
0
+
signe de
()fx
+
+
variations
de fm
-
+
–
+
6. Pour étudier la position relative de Cm et de C0 on étudie le signe de la différence
0
( ) ( )
mm
f x f x x
.
 Si m > 0 alors
m
x
est du signe de x :Cm est au dessous de C0 sur ]–; 0[ et au dessus sur ]0;+[
 Si m < 0 alors
m
x
est du signe contraire de x : Cm est au dessus de C0 sur ]–;0[ et au dessous sur ]0;+[