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CHAPITRE 9 – LIMITES ET ASYMPTOTES
A) Limites d’une fonction à l’infini
1) Limite en + ∞
Soit une fonction f définie sur I =]a ; +∞[.
Imaginons ce que fait sa courbe lorsque x devient très grand (on dit "quand x → +∞").
4 cas peuvent se présenter :
a) f(x) devient aussi de plus en plus grand
Exemples :
Ces trois courbes ne cessent de monter même si elles ne sont pas forcément croissantes en
permanence (voir h(x) !).
On dit que
lim
x∞
fx = ∞
(La limite de f(x) quand x tend vers plus l'infini est plus
l'infini), ou encore : Quand x → +∞, f(x) → +∞ (quand x tend vers plus l'infini, f(x) tend vers
plus l'infini).
De même ici, on a
lim
x∞
gx = ∞
et
lim
x∞
hx = ∞
Mathématiquement, cela veut dire que pour tout nombre réel M, on peut trouver un nombre
réel x0 tel que quelque soit x réel, si x > x0 alors f(x) > M.
∀M∈ℝ ,∃x0∈ℝ | ∀x∈ℝ , x≥x0 => fx≥ M
Démonstration pour h(x) :
Soit M un nombre réel, aussi grand soit-il.
h(x) = x – 2sin(x)
On sait que pour tout x, -1 ≤ sin(x) ≤ 1 : donc pour tout x, x - 2 ≤ h(x) ≤ x + 2.
Donc il suffit de choisir x0 = M + 2 et on sera sûr que si x > x0, h(x) = x - 2 sin(x) ≥ x – 2 ≥ M
Donc h(x) ≥ M dès que x ≥ x0 = M + 2. CQFD
Exercice :
démontrer ceci pour f(x) = x² – 3, puis pour f(x) = x² – x.

b) f(x) devient négatif et de plus en plus grand en valeur absolue
Exemples
On a ici le même schéma qu’au a), mais la courbe part vers le bas.
On dit que
lim
x∞
fx = −∞
(La limite de f(x) quand x tend vers plus l'infini est moins
l'infini),ou encore : Quand x → +∞, f(x) → -∞ (quand x tend vers plus l'infini, f(x) tend vers
moins l'infini).
De même ici, on a
lim
x∞
gx = −∞
et
lim
x∞
hx = −∞
.
Mathématiquement, cela veut dire que pour tout nombre réel M, on peut trouver un nombre
réel x0 tel que quelque soit x réel, si x > x0 alors f(x) < M.
∀M∈ℝ ,∃x0∈ℝ | ∀x∈ℝ , x≥x0 => fx≥ M
(Même principe pour la démonstration que pour le a)).
c) f(x) se rapproche de plus en plus d’un réel b
Exemples
Quand x devient très grand, f(x) se rapproche de 1, g(x) se rapproche de 0 et h(x) se rapproche

de 2. On dit que :
lim
x∞
fx = 1
, ou encore : "Quand x → +∞, f(x) → 1".
De même,
lim
x∞
gx = 0
et
lim
x∞
hx = 2
Mathématiquement, on aura
lim
x∞
fx = b
lorsque :
∀m∈ℝ+,∃x0∈ℝ | ∀x∈ℝ , x≥x0 => | fx−b|≤m
Démonstration pour f(x) :
fx= x1
x=11 x
.
On veut démontrer que pour tout m réel positif, on peut trouver x0 de telle façon que si x>x0,
alors |f(x) – 1| < m.
Supposons x > x0 avec x0 > 0.
Alors,
fx–1=1
x1 x0 .
Il suffit alors de prendre x0 > 1/m pour avoir f(x) – 1 < m, et on a f(x) – 1 > 0 car x positif.
On a donc bien x > x0 => |f(x) – 1| < m. CQFD
Exercice :
démontrer que
lim
x∞
hx = 2
(indices :
2x
x – 2=22 x−2
et |sin(x)| ≤ 1)
d) f(x) n’a pas de limite quand x → + ∞
Exemples :
f(x) = 3 sin(x) g(x) = x sin(x) h(x) =1 si x est rationnel, 0 sinon.
(la fonction h est tellement étrange qu’on ne peut pas dessiner sa courbe, qui serait constituée
des deux droites horizontales (y = 1) et y = 0) mais sauterait sans arrêt de l’une à l’autre, c’est
d’ailleurs une fonction qui n’est continue sur aucun intervalle !).

Ces fonctions ne cessent d’osciller, l’une entre –1 et +1 et l’autre entre –x et +x, avec donc
des oscillations de plus en plus amples, et l'autre entre 0 et 1.
On dit alors que leur limite quand x → +∞ n’existe pas, ou encore qu'elles n'ont pas de limite
en +∞..
2) Limite en - ∞
Ce qui a été vu ci-dessus quand x → +∞ peut tout aussi bien arriver lorsque x → -∞, c’est à
dire lorsque x devient très grand en valeur absolue, mais reste négatif.
De la même façon, on dira
lim
x–∞
fx=∞ , ou −∞ ou b
.
Exemples :
lim
x–∞
1
x=0 lim
x–∞
x2=∞ lim
x–∞
x3=−∞
.
Remarque :
Dans les définitions mathématiques exactes, la seule chose à changer est de mettre x ≤ x0 au
lieu de x ≥ x0.
Exercice :
Démontrer que
lim
x–∞
1
x=0 .
3) Limites à l’infini des fonctions de référence
f(x)
x
1
x
x2
1
x
x2n
x2n1
1
xn
Limite en
+∞
+∞ 0 +∞ 0 +∞ +∞ 0
Limite en -∞ n/a n/a +∞ 0 +∞ -∞ 0
B) Limites en un point
1) Cas général
La plupart du temps, quand x s’approche d’une valeur x0, son image f(x) s’approchera de la
valeur f(x0).
On dit alors que la fonction est continue en x0.
Si une fonction est continue pour toutes les valeurs d’un intervalle, cela veut dire que sa
courbe sur cet intervalle "peut être tracée sans lever le stylo", d'où l'adjectif "continue".

On voit bien que si x, abscisse de M, s’approche de x0, abscisse de M0, M s'approche de M0 et
f(x), ordonnée de M, se rapproche de f(x0), ordonnée de M0.
La courbe de g, par contre « saute » en arrivant sur A lorsque x s'approche de 2 par la gauche,
et elle saute aussi sur B lorsque x s'approche de 4 par la gauche.
Cette fonction n’est donc pas continue en 2 et en 4, elle n’a pas de limite en 2 et en 4.
(ici, elle aurait deux limites distinctes, une à gauche et une à droite, mais ce n’est pas toujours
le cas).
Le cas général (fonction continue et définie en x0 s’exprime ainsi :
lim
xx0
fx= fx0
La définition mathématique précise est :
∀e∈ℝ+,∃a∈ℝ+ | ∀x∈ ] x0– a ; x0a[, | fx– f x0 | e.
2) Cas particuliers
Lorsque la fonction f n’est pas définie, ou pas continue en x0, on peut chercher à déterminer la
"limite à gauche" et la "limite à droite" de f en x0.
La limite à gauche s’écrit
lim
xx0
-
fx
et correspond à la limite de f(x) quand x tend vers x0
avec x < x0, et la limite à droite s’écrit
lim
xx0
+
fx
et c’est la limite de f(x) quand x tend
vers x0 en restant plus grand que x0.
On écrit aussi :
lim
xx0, xx0
fx à la place de lim
xx0
-
fx et lim
xx0, xx0
fx à la place de lim
xx0
+
fx .
Comme dans le cas des limites à l’infini, ces limites peuvent être finies ou infinies.