Quelques formules utiles

Quelques formules utiles
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Equations de partitions
Si T(n) = aT (bn
bc) + O(nd), avec a > 0, b > 1 et d≥0 alors :
•si d > logba,T(n) = O(nd)
•si d= logba,T(n) = O(ndlog n)
•si d < logba,T(n) = O(nlogba)
´
Equations lin´eaires d’ordre k
Il s’agit des ´equations de la forme T(n) = an−1T(n−1) + an−2T(n−2) + . . . +an−kT(n−k) + f(n).
Pour d´eterminer une solution d’une telle ´equation il faut connaˆıtre les valeurs de ktermes successifs
initiaux.
Si f(n) = 0 il s’agit d’une ´equation sans second membre et on peut la r´esoudre grˆace `a son polynˆome
caract´eristique :
P(x) = xk−an−1xk−1−an−2xk−2−. . . −an−k
La solution d’une ´equation lin´eaire sans second membre est de la forme :
T(n) = Q1(n)rn
1+Q2(n)rn 2+. . . +Qs(n)rn
s
•ri: racine du polynˆome caract´eristique
•wi: ordre de multiplicit´e de la racine ri
•Qi: polynˆome de degr´e wi−1
Logarithmes et Puissances
logb(a) = ln(a)
ln(b)=logu(a) logu(b)logu(a) + logu(b) = logu(a×b) logu(a)−logu(b) = logu(a b)
xa=ea×ln(x)=ua×logu(x)xa+b=xa×xbxa−b=xa
xbxa×b= (xa)b= (xb)a
logu(ax) = x×logu(a) logb(bx) = blogb(x)=x logb(a) = 1
loga(b)alogu(x)=xlogu(a)
Sommes
n
X
i=1
i=(n+ 1)n
2
n
X
i=1
i2=(2n+ 1)(n+ 1)n
6
n
X
i=1
i3= (n+ 1)n
2!2
pour q6= 1 :
n
X
i=0
qi=qn+1 −1
q−1
n
X
i=1
i qi=nqn+1
q−1−qqn−1 (q−1)2
n
X
i=1
i2qi=n2qn+1
q−1−2nqn+1 (q−1)2+q(q+ 1) qn−1 (q−1)3
pour f(x) continue et croissante sur [a..b] :
b−1
X
i=a
f(i)≤Zb
a
f(t)dt ≤
b
X
i=a+1
f(i)
pour f(x) continue et croissante sur [u−1..v + 1] :
Zv
u−1
f(t)dt ≤
v
X
i=u
f(i)≤Zv+1
u
f(t)dt
pour t≥0, ∀n≥0 :
n
X
i=0
ti
i!/et
pour k≥0, ∀n≥0 :
n
X
i=0
ik
i!/e×Bk
avec Bk= Nombre de Bell
(B0= 1, B1= 1, B2= 2, B3= 5, B4= 15 . . .)