Inéquations

☛
✡
✟
✠
Ch.9 In´equations
I- Intervalles
•Intervalle : [a;b]
abLes nombres xen rouge v´erifient a≤x≤b
•]a;b[
ab
a < x < b
•[a;b[
ab
a≤x < b
•]a;b]
ab
a < x ≤b
•[a; +∞[
aa≤x
•]a; +∞[
aa < x
•]−∞ ;b]
b
x≤b
•[−∞ ;b[
b
x < b

Si xpeut appartenir `a deux intervalles I1OU I2, alors on ´ecrit x∈I1∪I2
Propri´et´e 1 (R´eunion d’intervalles)
Exemple :
[a;b]∪[c;d[
abcd
II- R´esolution graphique
1) R´esolution de l’in´equation f(x)< k
Les solutions de l’´equation f(x)< k sont les abscisses des points de la courbe situ´es sous la
droite d’´equation y=k.
M´ethode 2
Remarque :
Ici encore, les solutions se lisent sur l’axe des abscisses.
Remarque :
Dans l’exemple suivant, sur l’intervalle [0; +∞[, l’´equation f(x)<2a pour ensemble solution
S= [0; 0,5[ ∪]2,9; +∞].
0,5 2,9

2) R´esolution de l’in´equation f(x)< g(x)
Les solutions de l’´equation f(x)< g(x) sont les abscisses des points de la courbe de fsitu´es
sous ceux de la courbe de g.
M´ethode 3
Remarque :
Ici encore, les solutions se lisent sur l’axe des abscisses.
Remarque :
Dans l’exemple suivant, l’´equation f(x)< g(x)a pour ensemble solution S= ]1,1; 3,7[.
1,1 3,7
Cf
Cg
III- R´esolution alg´ebrique
1) In´equations du premier degr´e
On r´esout les in´equations comme les ´equations sauf lorsqu’il s’agit de multiplier ou diviser par
un nombre n´egatif.
Dans ce cas, on inverse l’ordre (les signes <,>,≤et ≥)
M´ethode 4 (Rappel de 3`eme )
2) In´equations produits
•´ Etape n°1 : On d´etermine le signe de chaque facteur.
•´ Etape n°2 : On dresse un tableau de signes et on applique la r`egle des signes.
M´ethode 5 (Le tableau de signes)

Exemple :
R´esolution de l’in´equation (3 −x)(2x−1) ≤0:
•´ Etape n°1 :
•3−xest positif lorsque xest inf´erieur `a 3, et n´egatif lorsque xest sup´erieur `a 3.
•2x−1est n´egatif lorsque xest inf´erieur `a 0,5, et positif lorsque xest sup´erieur `a 0,5.
•´ Etape n°2 : On dresse le tableau de signes :
x−∞ 0,53+∞
3−x+ + 0−
2x−1−0+ +
(3 −x)(2x−1) −0+0−
Finalement, on obtient S=] − ∞; 0,5] ∪[3; +∞[
V´erification graphique :
0,5 3
Cette m´ethode de r´esolution fonctionne aussi pour les quotients.
Propri´et´e 6
Remarque :
Dans le cas du quotient, attention aux ”valeurs interdites” qui annulent le d´enominateur (double barre
dans la derni`ere ligne)