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Table des matières
Fonctions réciproques...........................................................................................................................3
Introduction......................................................................................................................................3
Définitions – Propriétés...................................................................................................................3
Fonctions injectives/surjectives – applications bijectives...............................................................5
Fonctions réciproques......................................................................................................................8
Exercices........................................................................................................................................11
Fonctions cyclométriques...................................................................................................................12
Définitions ....................................................................................................................................13
Fonction arc sinus.....................................................................................................................13
Fonction arc cosinus..................................................................................................................14
Fonction arc tangente................................................................................................................15
Et arc cotangente ?....................................................................................................................15
Exercices...................................................................................................................................16
Dérivation......................................................................................................................................16
Dérivation de arcsin x...............................................................................................................16
Dérivation de arccos x...............................................................................................................17
Dérivation de arctan x...............................................................................................................19
Exercices...................................................................................................................................20
Quelques identités fondamentales.................................................................................................20
sin(arcsin x)...............................................................................................................................20
arcsin(sin x)...............................................................................................................................21
cos(arccos x) ...........................................................................................................................21
arccos(cos x).............................................................................................................................22
Lien entre arcsin x, arcsin(-x), arccos x, arccos(-x)..................................................................23
cos(arcsin x) et sin(arccos x).....................................................................................................24
sin(arctan x)...............................................................................................................................25
tan(arccos x) .............................................................................................................................26
Résumé en un coup d'oeil..........................................................................................................28
Exercices...................................................................................................................................28
Équations cyclométriques..............................................................................................................28
Principe de résolution................................................................................................................28
Méthode de résolution...............................................................................................................30
Écrire correctement la CR d'une équation cyclométrique....................................................31
Équations en arcsin et arccos ...............................................................................................33
Équations en arctan..............................................................................................................33
Exemples...................................................................................................................................34
Exercices...................................................................................................................................40
Cas particulier : sommes et différences d'arc tangentes............................................................40
Une transformation utile.......................................................................................................40
Méthode complétée..............................................................................................................40
Astuce de calcul bien pratique..............................................................................................41
Exemples..............................................................................................................................42
1/49
Exercices..............................................................................................................................46
Démonstration d'identités cyclométriques.....................................................................................46
Méthode....................................................................................................................................46
Exercices...................................................................................................................................47
Règles de « de l'Hospital ».................................................................................................................48
Limite en un réel............................................................................................................................48
Limite en l'infini............................................................................................................................49
Exemples et remarques..................................................................................................................49
Exercices........................................................................................................................................50
Etudes de fonctions cyclométriques...................................................................................................51
2/49
Fonctions réciproques
Introduction
Définitions – Propriétés
Rappels
•
•
TNI-20
Une relation f d’un ensemble A vers un ensemble B est un triplet (A,B,G),
où G⊂A× B est appelé le graphe de la relation f
Une fonction est une relation par laquelle chaque réel possède au plus une image :
La relation f =( A , B , G ) est une fonction
ssi ∀ x ∈A , ∀ y , z ∈B : [ ( x ; y ) ∈G et ( x ; z ) ∈G ] ⇒ y= z
ssi ∀ x ∈A , ∀ y , z ∈B : [ f ( x ) = y et f ( x )= z ] ⇒ y=z
Réciproque d'une fonction
La relation réciproque d'une fonction réelle est la relation qui fait correspondre à
chaque réel y le ou les réels dont y est l'image par cette fonction. TNI-30
Définition équivalente :
Soient A⊂ℝ , B⊂ℝ ,G f ⊂ A×B : la relation réciproque de la fonction f =( A , B , G f ) est
la relation g =( B , A ,G g ) telle que ( x ; y ) ∈G f ⇔ ( y ; x ) ∈G g
TNI-32
NB : Pour la facilité, nous convenons que lorsque l'on parlera de "réciproque" sans préciser,
on sous-entendra toujours "relation réciproque" et non « fonction réciproque »
Propriétés
Tout réel de dom f est appliqué sur un réel de Im f par la fonction f ; tout réel de Im f
est appliqué sur un ou plusieurs réels de dom f par la réciproque de f^.
TNI-34
En effet : tout réel de Im f est l'image d'au moins un réel de dom f, il a donc pour image par
la réciproque de f au moins un réel de dom f.
Dans un repère orthonormé, les graphes cartésiens de f et de sa réciproque sont
symétriques l'un de l'autre par rapport à la bissectrice du premier quadrant.
TNI-36
Stratégie de démonstration :
1. Démontrer que deux figures sont symétriques, cela revient à démontrer que pour
chaque point A de l'une, il y a un point de l'autre qui est le symétrique de A et
réciproquement.
2. Démontrer que deux points A et B sont symétriques par rapport à une droite d se fait
en distinguant 2 cas :
a) Les deux points sont confondus : dans ce cas, ils sont symétriques l'un
de l'autre si et seulement si ils appartiennent à d.
3/49
b) Les deux points sont distincts : dans ce cas, ils sont symétriques l'un
de l'autre si le segment qui les joint est perpenticulaire à d et si le
milieu de [AB] appartient à d.
Démonstration (selon cette stratégie):
Hypothèse :
A ( a ; b )∈G f ⇔ f ( a ) =b ⇔ A' (b ; a ) ∈Greciproque . Il est donc déjà acquis qu'à chaque
point de Gf correspond un point A' de Greciproque et réciproquement.
Thèse :
A est le symétrique de A' par rapport à d ≡ y=x , la bissectrice du premier quadrant.
Démonstration :
Si A et A' sont confondus, alors a=b, A=A' est un point de d. Il est donc son propre
symétrique.
Si A et A' sont distincts, alors a≠b :
a+b
;
: c'est donc un
( a+b
2
2 )
▪ Le milieu du segment [AA'] a pour coordonnées
point de la bissectrice du premier quadrant.
y A ' − y A a−b
=
=−1, ce qui
x A ' − x A b−a
est l'inverse de l'opposé du coefficient angulaire de d. [AA'] est donc
perpendiculaire à d.
▪ Le coefficient angulaire du segment [AA'] vaut
Comme le raisonnement s'applique à tous les points de G f , le symétrique de chaque
point de G f appartient à G reciproque et inversement.
Le graphique de la réciproque de f est donc le symétrique du graphique de f par
rapport à la bissectrice du premier quadrant.
Comment faire pour trouver la réciproque d'une fonction ?
•
Graphiquement: Dans un repère orthonormé, le graphe cartésien de la réciproque de
f est le symétrique du graphe cartésien de f par rapport à la bissectrice du premier
quadrant.
•
Algébriquement :
1. On remplace x par y et y par x.
2. On exprime (si possible), y en fonction de x pour obtenir l'expression
analytique de la réciproque de f.
3. Au cours de ce processus, on rassemble les CE et les CR éventuelles, qui
servent à déterminer le domaine de définition de la réciproque.
Exemples
f :ℝ →ℝ : x → f ( x ) =x 3:
1.
3
3
y=x devient x= y .
3
2. Isolons y : y=√ x
4/49
3. Aucune CE ni CR n'a été rencontrée.
La réciproque de f est une fonction : f
−1
:ℝ → ℝ : x → f
−1
3
( x ) =√ x
2
g :ℝ → ℝ : x → g ( x )= x :
1.
y=x 2 devient x= y 2 . On remarque donc que x≥0 (CR).
2. Isolons y : y=±√ x
3. La réciproque de g n'est pas une fonction : c'est une relation h de ℝ+ dans ℝ (on
n'écrira pas h :ℝ + → ℝ : ( ... ) , ce type de notation étant réservé aux fonctions, et on ne
la désignera pas par g-1).
Figure 1: La réciproque de
la fonction "cube" est une
fonction.
Figure 2: La réciproque de la fonction
"carré" n'est pas une fonction.
(TNI-40)
(TNI-50)
Fonctions injectives/surjectives – applications bijectives
On voit que les réciproques sont particulièrement intéressantes lorsque ce sont des fonctions, et que
cela dépend de caractéristiques de la fonction parfois délicates à exprimer clairement.
Un peu de vocabulaire pour nous comprendre...
Soit une fonction f : A → B: x → f ( x ) ( A⊂ℝ , B⊂ℝ ) :
f est injective si et seulement si chaque élément de l'ensemble d'arrivée est l'image
d'au plus 1 élément de l'ensemble de départ. TNI-61
Ou encore (attention : on choisit des élément de dom f, pas de A!) :
.... si et seulement si deux réels distincts et quelconques de son domaine de
définition ont deux images différentes.
.... si et seulement si chaque réel de l'ensemble d'arrivée possède au plus un
antécédent.
.... ssi ∀ x 1, x 2 ∈dom f : f ( x 1 )= f ( x 2 ) ⇒ x 1= x 2 .
.... ssi ∀ x 1, x 2 ∈dom f : x 1≠x 2 ⇒ f ( x 1)≠ f ( x 2 ) .
5/49
OK
(TNI-60).
OK
B
A
Figure 3: Graphe d'une fonction injective de A
dans B.
f est surjective si et seulement si tous les éléments de l'ensemble d'arrivée sont l'image
d'au moins 1 élément de l'ensemble de départ. TNI-71
Ou encore :
... si et seulement si chaque réel de l'ensemble d'arrivée possède au moins un
antécédent.
... ssi B = Im f
... ssi ∀ y∈B ,∃ x∈ A: f ( x ) = y .
OK
TNI-70
OK
A
B
Figure 4: Graphe d'unefonction surjective de A
dans B.
f est une application si et seulement si tout élément de l'ensemble de départ possède
une image. TNI-81
Ou encore :
... si et seulement si chaque réel de l'ensemble de départ est l'antécédent d'un
réel de l'ensemble d'arrivée
... ssi A = dom f
... ssi ∀ x∈ A ,∃ y ∈ B : f ( x )= y
6/49
OK
OK
TNI-80
A
B
Figure 5: Graphe d'une application de A dans B.
f est bijective1 (ou f est une bijection) si et seulement si tout réel de l'ensemble
d'arrivée possède un et un seul antécédent et tout réel de l'ensemble de départ possède
une image2. TNI-91
Ou encore :
... si et seulement f est une application à la fois injective et surjective.
... ∀ y∈B ,∃ ! x ∈ A: f ( x )= y et ∀ x∈ A ,∃ y ∈ B : f (x )= y
TNI-90
A
B
Figure 6: Graphe d'une bijection de A dans B.
Remarquez que :
• Être injectif, surjectif, bijectif n'a de sens que si on précise un ensemble de départ et
d'arrivée : f ( x ) =√ x est surjectif de ℝ dans ℝ + mais pas de ℝ dans ℝ.
• Être injectif ou surjectif n'impose jamais de conditions sur l'ensemble de départ. Si
l'on souhaite imposer que tous les éléments de l'ensemble de départ aient une image
(ils ne peuvent pas en avoir plus d'une puisque nous travaillons avec des fonctions),
on imposera que la fonction soit une application.
• Tout fonction strictement croissante ou strictement décroissante (c'est-à-dire
strictement monotone) sur A est injective. Attention, c'est une condition suffisante,
mais pas nécessaire : la fonction ci-dessous est injective, sans être monotone :
1 Les adjectifs injectif et surjectif peuvent s'appliquer à des fonctions qui ne sont pas nécessairement des applications.
Mais il faut alors bien parler de fonction injective ou surjective, et non d'injection ou de surjection. Ces deux
derniers termes sont des synonymes d'application injective ou surjective. Par contre, l'adjectif bijectif (et donc le
terme bijection) ne s'applique que à des fonctions définies partout, i.e. des applications.
2 Remarquons que si f est une bijection, alors #A=#B (le contraire serait franchement choquant). C'est d'ailleurs de
cette façon qu'on peut dire que des ensembles infinis ont même cardinalité.
7/49
TNI-100
Figure 7: Graphique d'une fonction injective, mais pas
strictement monotone.
Exemples
Prenons le cas d'une station de vacances où un groupe de touristes doit être logé dans un
hôtel. Chaque façon de répartir ces touristes dans les chambres de l'hôtel peut être
représentée par une fonction de l'ensemble des touristes, X, vers l'ensemble des chambres, Y
(chaque touriste est éventuellement associé à une chambre).
• Les touristes souhaitent que la fonction soit une application (c'est-à-dire que chaque
touriste soit associé à une chambre) et soit injective (c'est-à-dire que chaque
chambre ne soit associée qu'à un seul touriste). Cela n'est possible que si le nombre
de touristes ne dépasse pas le nombre de chambres.
• L'hôtelier souhaite que l'application soit surjective, c'est-à-dire que chaque chambre
soit occupée par au moins une personne. Cela n'est possible que s'il y a au moins
autant de touristes que de chambres.
• Ces desiderata ne sont compatibles que si le nombre de touristes est égal au nombre
de chambres. Dans ce cas, il sera possible de répartir les touristes de telle sorte que
chaque touriste ait une chambre, qu'il y en ait un seul par chambre, et que toutes les
chambres soient occupées : la fonction sera alors une application à la fois injective et
surjective ; c'est-à-dire une application bijective ou une bijection.
Fonctions réciproques
Lorsque la réciproque d'une fonction est elle-même une fonction, on la désigne par f −1, et dans ce
cas, on a dom f −1=Im f et Im f −1=dom f .
Exemple :
f ( x ) =1−√ x+2
◦ dom f =[−2 ;+∞ [ et Im f =]−∞ ; 1].
◦ Réciproque :
▪ y=1−√ x+2 devient
x=1− √ y+2⇔ √ y +2=1−x (CE : y+2≥0 ⇔ y ≥−2, CR : 1− x≥0 ⇔ x ≤1)
2
2
2
⇔ y+2=( 1− x ) ⇔ y=( 1−x ) −2=( x−1 ) −2
▪ La réciproque de f est une fonction, on écrit donc f
▪ dom f −1=]−∞ ; 1], Im f −1=[−2 ;+∞[
8/49
−1
2
( x ) =( x−1 ) −2
TNI-110/  010
Figure 8: Graphique de f ( x )=1−√ x+2 et sa
réciproque.
2
◦ Remarque importante : l'expression ( 1−x ) −2 est définie sur ℝ, mais le domaine de
définition de f -1 est plus limité, du fait des conditions qui sont apparues lors de la
définition de l'expression algébrique de la réciproque. On remarque néanmoins que
l'utilisation des CE n'est pas indispensable, puisque l'on peut tirer parti du fait que
(comme la réciproque est une fonction) dom f −1=Im f et Im f −1=dom f .
Propriétés
La réciproque d'une fonction f : A → B: x → f ( x ) est une fonction
si et seulement si f est injective de A dans B. TNI-120
En effet, si chaque réel de B n'est l'image par f que d'au plus un réel de A, chaque réel de B
n'aura qu'une image au plus par la réciproque de f.
La réciproque d'une bijection de A sur B est une bijection de B sur A.
TNI-130
En effet, une bijection possède par rapport à ses ensembles de départ et d'arrivée des
propriétés parfaitement symétriques :
f
TNI-140
A
B
Figure 9: Graphe d'une bijection de A dans B.
9/49
Si f : A → B: x → f ( x ) est une fonction injective
alors f est une bijection de dom f sur Im f. TNI-145
La propriété est évidente lorsqu'on examine la figure suivante:
f
TNI-146
Im f
dom f
B
A
Figure 10: Graphe d'une bijection de dom f
dans Im f.
Si f est une fonction injective de A dans B,
alors la composée f −1 ∘ f est la fonction identité sur dom f ⊂ A
et la composée f ∘ f −1 est la fonction identité sur Im f ⊂B (ou sur dom f −1⊂B).
TNI-150
La propriété est évidente lorsqu'on examine la figure suivante:
f
TNI-151
Im f
dom f
B
A
Figure 11: Graphique de la composée d'une fonction injective et de sa
réciproque: c'est celui de la fonction identité sur dom f ou Im f, selon
l'ordre de la composition.
Exemple 1 (où dom f et Im f sont identiques)
1
f ( x ) =− x−2,
2
f −1 ( x )=−2 ( x+2 ), dom f =Im f =ℝ. On calcule :
( f −1 ∘ f ) ( x )= f −1 ( f ( x ) )= f −1 − 1 x −2 =−2 − 1 x−2+2 =x= Id dom f
(
2
) (
2
)
( f ∘ f −1 ) ( x )= f ( f −1 ( x ) )= f (−2 ( x +2 ) )=− 1 (−2 ( x+2 ) )−2= x=Id Im f
2
f
10/49
−1
−1
∘ f =Id dom f et f ∘ f =Id Im f
Exemple 2 (où dom f et Im f sont différents)
2
Soit f :[ 1 ;+∞ [→ ℝ : x → f ( x ) =( x−1 ) . On voit aisément que dom f =[1 ;+∞[, Im f =ℝ+ ,
que cette fonction est injective et que sa réciproque est
−1
+
−1
f :ℝ →[1 ;+∞[: x → f ( x ) =√ x+1
On voit ensuite que :
( f −1 ∘ f ) ( x )= √( x+1 ) 2+1=∣x−1∣+1= x sur dom f =[1 ;+∞[
( f ∘ f −1 ) ( x )=( √ x+1−1)2= x sur dom f −1=Im f =ℝ+ .
Remarque : le fait que
√ x 2≠ x est-il en contradiction avec cette propriété ?
Non car la fonction f 1 : ℝ →ℝ : x → f 1 ( x )= x 2 n'est pas une fonction injective. Sa réciproque
n'est donc pas une fonction et donc certainement pas la fonction g :ℝ → ℝ : x → g ( x )= √ x (la
réciproque de f 1 est la relation h, telle que h ( x ) =±√ x) !
2
La fonction k ( x ) =√ x n'est pas la composée d'une fonction et de sa réciproque, et cette
propriété ne s'applique donc pas. Il n'y a aucune raison de s'attendre à obtenir la fonction
identité.
Par contre, si on considère la fonction f 2 :ℝ+ →ℝ : x → f 2 ( x ) =x 2 , qui est injective et dont la
réciproque est la fonction g, on constate bien que la composée des deux est la fonction
2
identité sur ℝ + ce qui est bien cohérent avec √ x =∣x∣, puisque ∀ x ∈ℝ + :∣x∣= x
Quelques propriétés complémentaires (dépassement) sont énoncées et démontrées à la
section.
Exercices
11/49
Fonctions cyclométriques
Lors de la résolution d'équations trigonométriques, nous devons trouver les angles qui ont un sinus,
un cosinus, une tangente ou une cotangente qui ont une valeur particulière.
En cherchant un angle dont le sinus vaut k, nous avons utilisé la réciproque de la fonction sinus... Il
n'est pas difficile de constater que les réciproques des fonctions trigonométriques ne sont pas
des fonctions : aucune des fonctions trigonométriques n'est injective (il est possible de trouver 2
amplitudes d'angles qui ont le même sinus, le même cosinus, la même tangente...).
Figure 12: Réciproque de la fonction sinus.
Figure 13: Réciproque de la fonction
cosinus.
TNI-200abc -  013
Figure 14: Réciproques de la fonction
tangente.
Comme nous disposons d'outils beaucoup plus riches et nombreux pour manipuler les fonctions que
pour manipuler les relations, nous souhaiterons disposer de réciproques qui sont des fonctions, ce
qui impose aux fonctions de départ d'être injectives.
Il faudra donc partir non pas des fonctions circulaires, mais de fonctions similaires obtenues en
faisant pour chacune une restriction du domaine, sur laquelle la fonction est strictement monotone
(donc injective), tout en conservant son ensemble-image.
Les réciproques des fonctions trigonométriques ainsi restreintes sont des fonctions, appelées
fonctions cyclométriques.
Remarque : Tout comme les fonctions trigonométriques, les fonctions cyclométriques n'ont de sens
que si l'on travaille en radians.
12/49
Définitions
Fonction arc sinus
Pour obtenir une fonction strictement monotone, sans restreindre l'ensemble-image, on
limite le domaine de définition à − π ; π . (graphique dans le manuel p.145).
2 2
[
]
(TNI-200/  12)
Figure 15: Fonction arc sinus.
arcsin : [−1 ; 1 ] → − π ; π : x →arcsin x tel que
2 2
arcsin x= y ⇔ x=sin y et − π ≤ y≤ π
(TNI-205)
2
2
[
]
Remarques et propriétés :
•
La restriction de sin x est une bijection de − π ; π sur [-1;1].
2 2
π
π
arcsin x est une bijection de [-1;1] sur − ; .
2 2
π
π .
−
;
dom arcsin x=[-1;1], Im arcsin x =
2 2
[
[
[
]
]
]
•
arcsin x est aussi noté sin-1 x (sur les calculatrices uniquement) mais cette notation est
anormale : f −1 désigne la fonction réciproque de f, et sinus n'en possède pas !
•
Ne confondons pas : même sur les calculatrices, sin x≠( sin x ) =
−1
−1
1
, alors que
sin x
sin 2 x =( sin x ) 2!
•
Comme sin x, arcsin x est une fonction impaire.
•
On admet que arcsin x est continue sur son domaine.
•
La présence d'une fonction arcsinus dans une expression introduit un nouveau type de
condition d'existence : arcsin x n'existe que si x ∈ [−1 ; 1 ].
15/51
•
A la calculatrice :
◦ On travaille en radians.
◦ ASIN ou ARC SIN ou SIN-1 selon les modèles.
Fonction arc cosinus
Pour obtenir une fonction strictement monotone, sans restreindre l'ensemble-image, on
limite le domaine de définition à [ 0 ;π ] (manuel p.146).
(TNI-220/GGB13)
Figure 16: Fonction arc cosinus.
arccos : [−1 ; 1 ] → [ 0 ; π ] : x → arccos x tel que
arccos x= y ⇔ x =cos y et 0≤ y≤π (TNI-225)
Remarques et propriétés :
•
La restriction de cos x est une bijection de [ 0 ; π ] sur [-1;1].
•
arccos x est une bijection de [-1;1] sur [ 0 ; π ] .
•
dom arccos x=[-1;1], Im arccos x = [ 0 ; π ] .
•
arccos x n'est ni paire, ni impaire.
•
On admet que arccos x est continue sur son domaine.
•
La présence d'une fonction arccos dans une expression introduit un nouveau type de
condition d'existence : arccos x n'existe que si x ∈ [−1 ; 1 ].
Fonction arc tangente
Pour obtenir une fonction strictement monotone, sans restreindre l'ensemble-image, on
limite le domaine de définition à − π ; π (attention au sens des crochets...).
2 2
]
16/51
[
(TNI-240/-14)
Figure 17: Fonction arc tangente.
arctan :ℝ → − π ; π : x → arctan x tel que arctan x= y ⇔ x=tan y et − π < y< π
2
2
2 2
(inégalités strictes!) (TNI-245)
]
[
Remarques et propriétés :
•
•
•
La restriction de tan x est une bijection de à − π ; π sur ℝ.
2 2
arctan x est une bijection de ℝ sur − π ; π .
2 2
dom arctan x=ℝ, Im arctan x = − π ; π .
2 2
]
]
]
[
[
[
•
arctan x est impaire.
•
On admet que arctan x est continue sur son domaine.
•
La présence d'une fonction arctan dans une expression n'introduit aucune condition
d'existence : arctan x existe ∀ x ∈ℝ.
•
Le graphique de arctan x admet deux asymptotes horizontales :
lim arctan x= π ⇔ AH à droite≡ y= π et lim arctan x=− π ⇔ AH à gauche≡ y =− π
2
2 x →−∞
2
2
x →+∞
Et arc cotangente ?
On pourrait définir cette fonction, mais il est tellement facile de convertir les cotangentes en
tangentes, que l'on préfère procéder de cette façon, et s'économiser la quatrième fonction
cyclométrique...
Exercices
17/51
Dérivation
Dérivation de arcsin x
Si f ( x )=arcsin x , alors∀ x ∈]−1 ; 1 [: f ' ( x )=
1
√ 1−x 2
(TNI-210)
Hypothèses
f ( x ) =arcsin x
f est dérivable sur ]-1;1[ (admis).
Thèse
∀ x ∈]−1 ; 1[ : f ' ( x ) =
1
√1−x 2
Démonstration
f ( x ) =arcsin x, donc,
∀ x∈]−1 ; 1[ , f (x )∈ −π ; π et cos f ( x)>0
2 2
]
[
sin ( f ( x ) ) =sin ( arcsin x ) =x
On prend le sinus des deux
membres, et on tire parti du
fait que
∀ f ∀ x : f ( f −1 ( x ) )= x.
⇒
( sin ( f ( x ) ) )'= x '=1
On dérive les 2 membres.
⇔
cos ( f ( x ) ) . f ' ( x ) =1
Dérivation d'une composée
⇔
f ' ( x )=
⇒
4
1
cos ( f ( x ) )
Isolons f'(x) (cos ( f ( x ) ) ≠0,
voir plus haut)
2
2
Or : sin f 2( x )+cos f ( x )2=1
⇔ cos f ( x ) =1−sin f ( x )
Relation fondamentale
2
2
2
2
Et :sin f ( x ) =(sin f ( x ) ) =( sin ( arcsin x ) ) =x
Par définition de f(x)
2
2
2
Donc : cos f ( x )=1−x ⇔ cos f ( x ) =±√1−x
car cos f ( x)>0 (cf. plus haut)
Dès lors : f ' ( x )=
1
√ 1−x 2
Remarques
•
dom d f =]−1 ; 1[≠dom f =[ −1 ; 1 ] (en x=±1, arcsin x admet des tangentes verticales,
symétriques des tangentes horizontales de sin x).
•
On constate que la dérivée de arcsin x est une fonction strictement positive sur ]-1 ; 1[, ce
4 Remarquons le sens des implications : la seconde ligne est une conséquence de la première, mais la réciproque n'est
pas vraie : il y a d'autres amplitudes que f(x) qui ont un sinus qui vaut x. De même, deux fonctions égales ont même
dérivée, mais la réciproque n'est pas vraie : deux fonctions qui ont même dérivée peuvent différer (d'une constante).
18/51
qui prouve que arcsin x est une fonction strictement croissante sur ]-1;1[.
Exemples
1
2x
'
. ( x 2) =
•
Soit à dériver f ( x ) =arcsin x 2 : f ' ( x )=
•
3
Soit à dériver f ( x ) =(arcsin x ) : f ' ( x )=3 ( arcsin x ) . ( arcsin x ) =
√ 1−( x )
2 2
√ 1−x 4
2
'
3 ( arcsin x )2
√1−x 2
Dérivation de arccos x
Si f ( x )=arccos x , alors ∀ x ∈]−1 ; 1[: f ' ( x ) =
−1
√ 1− x 2
(TNI-230)
Hypothèses
f ( x ) =arccos x
f est dérivable sur ]-1;1[ (admis).
Thèse
∀ x ∈]−1 ; 1[ : f ' ( x ) =
−1
√1−x 2
Démonstration
f ( x ) =arccos x donc
∀ x∈]−1 ; 1[ , f (x )∈]0 ;π[ , et sin f ( x )>0
cos ( f ( x ) ) =cos ( arccos x ) =x
On prend le cosinus des deux
membres, et on tire parti du
fait ∀ f ∀ x : f ( f −1 ( x ) )= x
que .
⇒
( cos ( f ( x ) ) ) '=x '=1
On dérive les 2 membres.
⇔
−sin ( f ( x ) ) . f ' ( x )=1
Dérivation d'une composée
⇔
f ' ( x )=
⇒
5
Isolons f'(x) (sin f ( x ) ≠0, cf.
plus haut)
−1
sin ( f ( x ) )
2
2
Or : sin f 2( x )+cos f ( x )2=1
⇔sin f ( x )=1−cos f ( x )
Relation fondamentale
2
2
2
2
Et :cos f ( x )=( cos f ( x ) ) =( cos ( arccos x ) ) =x Par définition de f(x)
2
2
2
Donc : sin f ( x ) =1− x ⇔sin f ( x ) =±√ 1−x
car sin f ( x )>0 (cf. plus haut)
Dès lors : f ' ( x )=
−1
√ 1−x 2
5 Remarquons le sens des implications : la seconde ligne est une conséquence de la première, mais la réciproque n'est
19/51
Remarques
•
domd f =]−1 ; 1[≠dom f =[ −1 ; 1 ] (en x=±1, arccos x admet des tangentes verticales,
symétriques des tangentes horizontales de sin x).
•
On constate que la dérivée de arccos x est une fonction négative sur ]-1 ; 1[, ce qui prouve
que arccos x est une fonction strictement décroissante sur ]-1;1[.
Exemples
•
Soit à dériver f ( x ) =arccos (1−x 2 ) : f ' ( x )=
2 2
−1
√ 1−( 1−x )
4
2x
'
2 2
2
. ( 1−x ) =
2
1−( 1+x −2 x )>0
domd f ? CE : 1 – ( 1−x4 ) >0⇔
2
⇔− x +2 x >0 ⇔ x 2 ( 2− x 2 )>0
√1−(1−x )
2 2
dom d f =]−√ 2 ; √ 2[∖ { 0 }
Dérivation de arctan x
Si f ( x )=arctan x , alors∀ x ∈ℝ: f ' ( x ) =
1
1+x 2
(TNI-250)
Hypothèses
f ( x ) =arctan x
f est dérivable sur ℝ (admis).
Thèse
∀ x ∈ℝ : f ' ( x ) =
1
1+x 2
Démonstration
f ( x ) =arctan x
⇒ 6 tan ( f ( x ) ) =tan ( arctan x ) =x
On prend la tangente des deux
membres, et on tire parti du fait que
∀ f : f ( f −1 ( x ) )= x.
⇒ ( tan ( f ( x ) ) ) '=x '=1
On dérive les 2 membres.
⇔ ( 1+tan 2 ( f ( x ) ) ) . f ' ( x )=1
Dérivation d'une composée
⇔ f ' ( x )=
1
1+tan 2 ( f ( x ) )
2
2
2
Or : tan f ( x ) =( tan ( arctan x ) ) =x
Dès lors : f ' ( x )=
Isolons f'(x)
∀ f : f ( f −1 ( x ) )= x
1
1+ x 2
pas vraie : il y a d'autres amplitudes que f(x) qui ont un cosinus qui vaut x. De même, deux fonctions égales ont
même dérivée, mais la réciproque n'est pas vraie : deux fonctions qui ont même dérivée peuvent différer (d'une
constante).
6 Remarquons le sens des implications : la seconde ligne est une conséquence de la première, mais la réciproque n'est
20/51
Remarques
•
domd f =ℝ=dom f .
•
On constate que la dérivée de arctan x est une fonction positive sur ℝ, ce qui prouve que
arctan x est une fonction strictement croissante sur ℝ.
•
On constante que lim f ' ( x ) =0 , ce qui prouve que le graphique de f(x) admet des
x →±∞
asymptotes horizontales à gauche et à droite.
Exemples
•
Soit à dériver f ( x ) =
1
:
arctan 3 x 2
CE : arctan 3 x 2≠0 ⇔3 x 2≠0⇔ x≠0. dom f =ℝ o
−1
−1
1
2 '
2 '
f ' ( x )=
. ( arctan 3 x ) =
.
.(3 x )
2
2
2
( arctan 3 x 2 )
( arctan 3 x 2 ) 1+( 3 x 2 )
−6 x
=
2
( 1+9 x 4 )( arctan 3 x 2 )
domd f =ℝ o
Exercices
Quelques identités fondamentales...
sin(arcsin x)
sin(arcsin x) est défini sur [-1;1].
Sur ce domaine, par définition, arcsin x et sin x sont deux fonctions réciproques l'une de
l'autre. Dès lors,
∀ x ∈[ −1 ; 1 ] ,sin ( arcsin x )= x TNI-260
TNI-270
Figure 18: sin(arcsin x) est la fonction identité
restreinte sur [-1;1].
arcsin(sin x)
Soit f ( x ) =arcsin ( sin x ). dom f =ℝ
pas vraie : il y a d'autres amplitudes que f(x) qui ont une tangente qui vaut x. De même, deux fonctions égales ont
même dérivée, mais la réciproque n'est pas vraie : deux fonctions qui ont même dérivée peuvent différer (d'une
constante).
21/51
•
f est périodique de période 2 π. En effet,
∀ x ∈ℝ , arcsin ( sin ( 2 π+ x ) ) sinest périodique
= de période 2 π arcsin ( sin x )
•
Sur [−π/ 2 ; π /2 ], arcsin(sin x) = x, par définition
•
Sur [ π / 2 ;3 π / 2 ], arcsin(sin x) donnera l'amplitude comprise entre -π /2 et π /2 de
l'angle qui possède le même sinus que x. Dès lors arcsin ( sin x ) =π – x .
TNI-280  025
Figure 19: Dans le quadrant
II, arcsin ( sin x ) =π− x.
Figure 20: Dans le quadrant
III, arcsin ( sin x ) =π− x.
Conclusion :
•
{
x
si x∈ [−π /2 ; π /2 ]
(
)
arcsin sin x = π− x si x∈ [ π/2 ; 3 π /2 ]
...
arcsin ( sin x ) est périodique de période 2 π
TNI-285
Figure 21: Contrairement à ce que l'on pourrait penser arcsin(sin x) n'est pas la
fonction identité!
TNI-290
cos(arccos x)
cos(arccos x) est défini sur [-1;1].
Sur ce domaine, par définition, arccos x et cos x sont deux fonctions réciproques. Dès lors :
∀ x ∈[ −1 ; 1 ] , cos ( arccos x ) =x
22/51
TNI-295
TNI-300
Figure 22: cos(arcos x) est la fonction identité restreinte
sur [-1;1].
arccos(cos x)
Soit f ( x ) =arccos ( cos x ). dom f =ℝ
•
f est périodique de période 2 π. En effet,
∀ x ∈ℝ , arccos ( cos ( 2 π+x ) ) cos est périodique
= de période 2 π arccos ( cos x )
•
Sur [ 0 ;π ], arccos(cos x) = x, par définition.
•
Sur [ π ;2 π ], arccos(cos x) donnera l'amplitude comprise entre 0 et π de l'angle qui
possède le même cosinus que x. Dès lors arccos ( cos x ) =2 π – x.
TNI-310  026
Figure 23: Dans le
quadrant III,
arccos ( cos x )= 2π− x .
•
Figure 24: Dans le
quadrant IV,
arccos ( cos x )= 2 π− x .
Conclusion :
{
x
si x ∈ [ 0 ; π ]
arccos ( cos x ) = 2 π− x si x ∈ [ π ;2 π ]
...
arccos ( cos x ) est périodique de période 2 π
TNI-320
Figure 25: Contrairement à ce que l'on pourrait penser, arccos(cos x) n'est pas la
fonction identité!
TNI-325
23/51
Lien entre arcsin x, arcsin(-x), arccos x, arccos(-x)
TNI-330  020
On voit que arccos x et arcsin x sont complémentaires (puisque le cosinus de l'un est égal au sinus
de l'autre) :
• arcsin x= π −arccos ( x )
(1)
2
• arccos x= π −arcsin ( x )
(2).
2
Comme 2 angles qui ont des cosinus opposés sont supplémentaires ou antisupplémentaires, et que
arccos ( x ) et arccos (−x ) sont des amplitudes comprises entre 0 et π, arccos ( x ) est le
supplémentaire de arccos (−x ). Comme leurs amplitudes sont comprises entre 0 et π, on peut
écrire :
• arccos x=π−arccos ( −x ) .
(3)
De même, comme 2 angles compris entre −π/2 et π /2 , et qui ont des sinus opposés sont opposés,
arcsin (−x ) est l'opposé de arcsin x. Comme leurs amplitudes sont comprises dans l'intervalle
− π ; π , on peut écrire :
2 2
• arcsin x=−arcsin (−x )
(4)
[
]
En substituant dans (3) dans (1), il vient :
• arcsin x= π −( π−arccos ( −x ) ) ⇔arcsin x=arccos ( −x ) − π
2
2
En substituant dans (4) dans (2), il vient :
• arccos x= π −( −arcsin ( −x ) ) ⇔arccos x=arcsin (−x ) + π
2
2
24/51
(5)
(6)
cos(arcsin x) et sin(arccos x)
•
cos(arcsin x) est une fonction de [−1 ; 1 ] → − π ; π → [ 0 ; 1 ] ( 030)
2 2
•
sin(arccos x) est une fonction de [−1 ; 1 ] → [ 0 ; π ] → [ 0 ; 1 ] ( 040)
[
Figure 26: cos(arcsin x) et
sin(arccos x) dans le quadrant I.
]
Figure 27: cos(arcsin x) et
sin(arccos x) dans le quadrant II.
TNI-340
Figure 28: cos(arcsin x) et
sin(arccos x) dans le quadrant III.
Figure 29: cos(arcsin x) et
sin(arccos x) dans le quadrant IV.
1. En raisonnant géométriquement :
•
Si x≠0, en appliquant Pythagore dans le triangle rectangle dont les côtés mesurent
respectivement 1, |x| et cos(arcsin x) et 1, |x| et sin(arccos x), et en observant que le
résultat est toujours positif (puisqu'on prend le cosinus d'un angle compris entre − π
2
et π , ou le sinus d'un angle compris entre 0 et π), on voit donc immédiatement que :
2
cos ( arcsin x )= √1− x 2
•
Si x = 0,on voit immédiatement que ces égalités sont vérifiées aussi, car arcsin 0 = 0
et arccos 0 = π ,
2
d'où cos(arcsin 0) = cos(0) = 1 et sin(arccos 0) = sin( π ) = 1.
2
2. En raisonnant trigonométriquement :
Soit :
25/51
sin ( arccos x ) =√ 1− x 2
α=arc sin x
Alors :
sin ( α ) =x et − π ≤α≤ π
2
2
Et donc :
cos α≥0
On a :
sin α+cos α=1 ⇔cos α=1−sin α
Relation fondamentale
Donc :
cos α=+√ 1−sin 2 α
(On prend uniquement la racine
carrée positive puisque cos α≥0)
2
2
par définition de arcsin
2
2
Ou encore : cos ( arc sin x ) =+√ 1− x 2
Semblablement :
α=arc cos x
Soit :
Alors :
cos ( α )= x et 0≤α≤π
Et donc :
sin α≥0
On a :
sin 2 α+cos2 α=1 ⇔sin 2 α=1−cos2 α
Relation fondamentale
Donc :
sin α=+√1−cos 2 α
(On prend uniquement la racine
carrée positive puisque sin α≥0)
par définition de arccos
Ou encore : sin ( arccos x ) =+√ 1−x 2
sin(arctan x)
Il s'agit d'une fonction de ℝ → ℝ → [−1 ; 1 ] ( 050).
TNI-345
Figure 30: sin(arctan x) dans le
quadrant I.
Figure 31: sin(arctan x) dans le
quadrant IV.
1. En raisonnant géométriquement :
◦ Si x≠0, on voit que les triangles OAC et OBD sont semblables. Dès lors :
∣OA∣ ∣AC∣
1
∣sin ( arctan x )∣
=
⇔
=
∣OB∣ ∣BD∣ √ 1+ x 2
∣x∣
Comme on voit que sin(arc tan x) est du même signe que x :
sin ( arctan x )
si x≥0
∣sin ( arctan x )∣
x
=
∣x∣
−sin ( arctan x ) sin ( arctan x )
=
si x<0
−x
x
{
◦ Les valeurs absolues sont inutiles, et donc :
∣OA∣ ∣AC∣
1
sin ( arctan x )
x
=
⇔
=
⇔sin ( arctan x ) =
2
∣OB∣ ∣BD∣ √ 1+ x
x
√ 1+x 2
26/51
◦ Si x=0, on voit immédiatement que ce résultat est vérifié aussi, car arctan 0 = 0, d'où
sin(arctan 0) = sin(0) = 0.
2. En raisonnant trigonométriquement :
Soit :
α=arc tan x
Alors :
tan ( α )= x et − π <α< π donc cos α≠0
2
2
par définition de arctan
Exprimons sin α en fonction de tan α :
On a :
sin 2 α+cos 2 α=1⇔sin 2 α=1−cos 2 α (1)
Et :
sin α+cos α=1
(2)
1
1
⇔ tan 2 α+1=
⇔ cos 2 α=
2
2
cos α
1+tan α
Donc :
sin 2 α=1−
Et :
2
2
Relation fondamentale
Relation fondamentale et
division par cos 2 α (qui n'est
pas nul).
2
1
tan α
=
2
2
1+tan α 1+tan α
sin 2 ( arctan x )=
x2
1+ x 2
En vertu du calcul précédent.
x
√ 1+ x 2
∣
⇔∣sin ( arctan x )∣=
En substituant (2) dans (1).
∣
Comme on voit que sin(arctan x) est du même signe que x, les valeurs absolues sont inutiles
(cf. ci-dessus) :
Donc :
sin ( arctan x ) =
x
√1+x 2
tan(arccos x)
Il s'agit d'une fonction de ℝ → [ 0 ; π ] →ℝ ( 060)
TNI-350
Figure 32: tan(arccos x) dans le
quadrant I.
Figure 33: tan(arccos x) dans le
quadrant II.
1. En raisonnant géométriquement :
◦ Si x= 0, l'expression tan(arccos x) n'a pas de sens. En effet, arccos 0= π , et la fonction
2
π
tan n'est pas définie en
.
2
27/51
◦ Si x≠0, on voit que les triangles OAC et OBD sont semblables. De plus, tan(arc cos x)
est du même signe que x.Dès lors :
∣BD∣ ∣AC∣ tan ( arccos x ) √ 1−x 2
=
⇔
=
∣OD∣ ∣OC∣
1
x
2
1−x
⇔ tan ( arccos x ) = √
x
2. En raisonnant trigonométriquement :
28/51
sin ( arccos x )
CE : arccos x≠ π +k π⇔ x≠0
(
)
2
cos arccos x
On a :
tan ( arccos x ) =
Or :
sin ( arccos x ) =+√ 1−x 2
et :
cos ( arccos x ) =x
Donc :
tan ( arccos x ) = √
1− x 2
x
Résumé en un coup d'oeil....
arcsin x
arccos x
sin ( arcsin x ) =x
(cf. ci-avant)
sin ( arccos x ) =√ 1− x 2
(cf. ci-avant)
arcsin ( sin x )
x si x ∈ − π ; π
2 2
sin x
=
3π
π−x si x ∈ π ;
2 2
Période: 2 π
{
[
]
]
[
arctan x
arccos ( sin x )
π −x si x ∈ − π ; π
2
2 2
(n°9)
=
3π
x− π si x ∈ π ;
2
2 2
Période: 2 π
{
[
]
]
[
sin ( arctan x ) =
x
√1+x 2
(cf. ci-avant)
arctan ( sin x ) =?
(pas d'expression
simple)
(cf. ci-avant)
cos ( arcsin x )= √1− x
(cf. ci-avant)
2
cos ( arc cos x ) =x (n°9)
(cf. ci-avant)
cos x arc sin ( cos x )
arccos ( cos x )
x
si x ∈[ 0 ; π ] (n°9)
x si x ∈[ 0 ; π ]
π
=
2
π−
x
si x ∈[ π ; 2 π ]
= x+ si x ∈ ]−π ; 0 [
2
Période 2 π
Période: 2 π
(cf. ci-avant)
{
{
tan ( arcsin x ) =
tan x
x
√ 1− x
(n°21 4), 30 5),
exemple 2 au §)
arcsin ( tan x ) =?
(pas d'expression
simple)
2
1− x 2
√
tan ( arccos x ) =
x
1
√ 1+x 2
(n°31, 1), 10 3),
exemple 4 au §)
cos ( arctan x )=
arctan ( cos x )=?
(pas d'expression
simple)
tan ( arctan x )= x
(cf. ci-avant)
arccos ( tan x ) =?
(pas d'expression simple)
arctan ( tan x )
x si x ∈ − π ; π
=
2 2
Période: π
{
]
[
Exercices
Équations cyclométriques
Principe de résolution
Face à une équation cyclométrique, l'objectif est toujours de se débarrasser des fonctions
cyclométriques qui y apparaissent, en les composant avec une fonction circulaire : nous faisons de
cette manière apparaître la fonction identité, exactement comme nous le faisions avec une équation
irrationnelle, pour faire disparaître un radical.
29/51
Prenons une équation élémentaire et appliquons cette tactique, sans trop nous poser de questions:
√ 2 x=−x CE : x≥0
x
arccos =− π
2
3
Débarrassons-nous de la racine carrée en
élevant les deux membres au carré.
Débarrassons-nous de l'arccos, prenant le cosinus
des deux membres.
2
( √ 2 x ) =(−x ) 2
2
⇔ 2 x= x
⇔ x 2−2 x=0
⇔ x ( x−2 )=0
⇐ x=0 ou x=2 (CE ok)
S ={ 0 ; 2 }
(ceci est faux, bien sûr !)
x
CE :−1≤ ≤1 ⇔−2≤x≤2
2
x
=cos − π
2
3
x
1
⇔ =cos π =
2
3 2
⇔ x=1 (CE ok)
S = {1 }
(ceci est faux, bien sûr!)
(
cos arccos
)
( )
L'erreur saute aux yeux :
•
Pour l'équation irrationnelle :
Il manque la CR −x ≥0, qui aurait éliminé la valeur 2 qui n'est pas une solution. La
raison pour laquelle cette CR est nécessaire, c'est que la fonction « carré » et la fonction
« racine carrée » ne sont pas réciproques l'une de l'autre sur ℝ (et ne peuvent pas l'être car
la fonction « carré » sur ℝ n'est pas injective). La fonction « racine carrée » n'est la
réciproque de la fonction « carré » que si on la restreint à ℝ +. De ce fait, on perd une
information à cette étape : le fait que le membre de droite doit être positif, et on ajoute une
solution parasite.
•
Pour l'équation cyclométrique :
C'est la même chose : cosinus et arccos ne sont pas réciproques l'une de l'autre, arccos n'est
la réciproque que de la restriction de cosinus sur [ 0 ; π ] . De ce fait, on perd une
information en prenant le cosinus des deux membres (celle qui impose que le membre de
droite soit compris entre 0 et π).
En résolvant l'équation cos ( membre 1)=cos ( membre 2 ) on obtient toutes les valeurs de x
telles que les deux membres de l'équation aient le même cosinus. Parmi celles-ci, on
retrouvera :
◦ les valeurs qui donnent aux deux membres la même valeur (ce sont les solutions de
l'équation membre 1=membre 2)
◦ les valeurs qui donnent aux deux membres des valeurs opposées : ce sont des solutions
de l'équation cos ( membre 1)=cos ( membre 2 ), mais pas de l'équation originale. Une CR
est donc indispensable pour les éliminer.
30/51
TNI-400/100
Figure 34: On voit que l'équation de
départ n'a aucune solution, aucune
valeur de x ne donne aux deux
membres la même valeur. On voit par
contre que pour x=1, les deux
membres ont des valeurs opposées.
Figure 35: Sans surprise, nous
constatons qu'en x=1, les deux
membres de l'équation ont le même
cosinus. L'équation que nous
résolvons en prenant le cosinus des
deux membres possède donc une
solution, qui ne vérifie pas l'équation
de départ.
Corrigeons donc nos résolutions :
√ 2 x=−x CE : x≥0
x
arc cos =− π
2
3
x
CE :−1≤ ≤1⇔−2≤x≤2
2
Débarrassons-nous de la racine carrée en
la composant avec la fonction « carré »
sans oublier la CR.
Débarrassons-nous de l'arccos, en le composant
avec la fonction cosinus, sans oublier la CR.
2
2
x
⇒ (√ 2 x ) =( −x ) CR:− x≥0
⇒
cos
arc
cos
=cos − π
2
2
3
⇔ 2 x= x
π
CR: 0≤− ≤π (CR impossible!)
⇔ x 2−2 x=0
3
⇔ x ( x−2 )=0
S =∅
⇔ x=0 ou x=2 (CE ok)
x=2 ne vérifie pas la CR.
S ={ 0 }
Le noeud du problème est donc de repérer quand il faut exprimer une CR, de l'exprimer
correctement, et de l'utiliser comme il convient pour valider les résultats obtenus.
(
)
( )
Méthode de résolution
Remarque générale: il convient de toujours simplifier les solutions obtenues ! On ne souhaite pas
d'expressions constantes dans lesquelles apparaissent encore des fonctions cyclométriques (du type
« tan ( arcsin 0,5 ) »), mais on souhaite néanmoins chaque fois que possible des solutions exactes ce
0,5
3
qui impose de calculer par exemple que tan ( arcsin 0,5 ) :
= √ , plutôt que de faire une
2
√1−(0,5 ) 3
approximation à la calculatrice.
Écrire correctement la CR d'une équation cyclométrique
La détermination de la CR d'une équation cyclométrique n'est pas aussi simple que pour les
31/51
équations irrationnelles pour deux raisons :
1. Une contrainte peut s'appliquer sur les valeurs des deux membres de l'équation. Lorsque
l'équation est vérifiée, les deux membres prennent la même valeur, et la CR imposera donc
que les deux membres vérifient les deux contraintes pour toute solution.
arccos x∈[0 ; π [
2
arccos x =arctan
x
Exemple A : ⏟
CR :
⏟
π
π
π
arctan x ∈[ 0 ; [
∈[ 0 ; π ]
∈ ]− ; [
2 2
2
⏟
[ 0 ;π ] ∩[− π ; π [=[0 ; π [
2 2
2
Exemple B :
2 arcsin x =arccos
⏟
⏟x CR :
[
]
[
]
⏟
∈ −π; π
∈ 0 ;π
{
{
2 arcsin x∈ [ 0 ; π ]
arccos x∈ [ 0 ; π ] (tjs vrai)
[ −π ;π ] ∩ [ 0 ; π ] = [ 0 ; π ]
2. Une fois correctement écrite, la CR pourrait être impossible à résoudre de manière pratique.
arctan x +arctan 2 x∈]− π ; π [
2 2
arctan x+arctan 2 x =arctan
3 x CR :
Exemple C : ⏟
⏟
π
π
arctan 3 x ∈]− ; [ ( tjs vrai )
∈ ]−π ;π[
∈]− π ; π [
2 2
2 2
⏟
{
]−π ;π[∩]− π ; π [=]− π ; π [
2 2
2 2
La condition − π <arctan x+arctan 2 x< π ne se résout pas facilement en x, et ne sera donc
2
2
utilisable pratiquement qu'en replaçant x par la valeur que l'on veut valider.
3. Une fois correctement écrite, la CR pourrait n'être pas suffisante, et ne pas exclure toutes les
valeurs parasites. Reprenons les exemples ci-dessus :
Exemple A : Résolvons cos ( arccos x ) =cos ( arctan x )
(1)
La CR (ci-dessus) impose que les deux membres soient dans le
premier quadrant. S'ils ont le même cosinus en étant dans le même
quadrant, ils sont forcément égaux. La CR est suffisante : elle garantit
que les solutions de (1) vérifient l'équation de départ.
Exemple B : Résolvons7 sin ( 2 arcsin x )=sin ( arccos x )
(2)
La CR (ci-dessus) impose que les deux membres soient compris entre
0 et π. Il est possible que deux valeurs différentes comprises entre 0 et
π aient même sinus. La CR n'est pas suffisante : même si elle est
vérifiée, elle ne garantit pas que les solutions de (1) vérifient l'équation
de départ.
Si on résout (2), on trouve comme solutions -1, 0,5 et 1 (voir §). Si on
se contentait de vérifier la CR, on éliminerait -1 uniquement. Pourtant
1 doit être rejeté également : 2 arcsin 1=π et arccos 1=0. Comme 0 et
π ont le même sinus, x=1 est bien une solution de (2), mais ce n'est pas
une solution de l'équation originale 2 arcsin x=arccos x.
Dans un tel cas, il est vital de remarquer que la CR n'est pas suffisante.
L'utiliser pour valider les solutions ne sert à rien : il faut vérifier dans
l'équation de départ.
7 On aurait évidemment pu résoudre l'équation en prenant le cosinus des deux membres, ce qui aurait rendu la CR
suffisante, puisqu'entre 0 et π on ne peut trouver deux valeurs distinctes qui ont le même cosinus.
32/51
TNI-410/110
Figure 36: Exemple 2: Il est clair que
l'équation ne possède qu'une seule solution
(x=0.5). On voit déjà que pour x=1 et x=−1
les deux membres ont le même sinus. Ces
valeurs sont solution de (2) mais pas de
l'équation de départ.
Figure 37: Exemple 2: La
résolution de (2) donne les 3
solutions auxquelles on s'attend,
mais la CR n'exclut que x=−1 ,
alors que x=1 n'est pas une
solution non plus.
Équations en arcsin et arccos
1. Exprimer les conditions d'existence.
2. Prendre le sinus ou le cosinus des deux membres, en étant attentif à :
a) Écrire la CR (cf. ). Si elle devait être impossible, la résolution serait déjà
terminée : S=∅.
b) Valider que la CR est suffisante, c'est-à-dire qu'elle exclut toute solution
parasite. Si ce n'est pas le cas, il sera indispensable de valider chaque
solution en la replaçant dans l'équation de départ.
c) N'écrire qu'une implication de gauche à droite : si deux nombres sont
égaux, ils ont le même sinus (ou cosinus), mais si deux nombres ont le
même sinus (ou cosinus), ils ne sont pas nécessairement égaux8.
d) Résoudre l'équation obtenue.
e) Vérifier que les CE sont respectées.
f) Si la CR est suffisante, vérifier qu'elle est respectée. Sinon valider les
solutions en les replaçant dans l'équation de départ.
8 En fait, si la CR est suffisante, on pourrait écrire une équivalence entre l'équation de départ et l'équation d'arrivée
combinée avec la CR. Pour éviter d'écrire l'équivalence à tort, ou de l'écrire entre les deux équations, écrire toujours
l'implication de gauche à droite est plus prudent.
33/51
Équations en arctan
Ces équations imposent une précaution supplémentaire, car prendre la tangente des deux membres
ne permettra de trouver que les solutions qui ne donnent à aucun des deux membres la valeur
π +k π . Il y aura donc une étape supplémentaire pour trouver d'éventuelles autres solutions (tout le
2
reste est inchangé) :
1. Exprimer les conditions d'existence.
2. Pour trouver les solutions qui ne donnent à aucun des deux membres la valeur
π +k π , prendre la tangente des deux membres, en étant attentif à :
2
a) Écrire la CR (cf. ). Si elle devait être impossible, l'étape 2 serait déjà
terminée.
b) Valider que la CR est suffisante, c'est-à-dire qu'elle exclut toute solution
parasite. Si ce n'est pas le cas, il sera indispensable de valider chaque
solution en la replaçant dans l'équation de départ.
c) N'écrire qu'une implication de gauche à droite : si deux nombres sont
égaux, ils ont la même tangente, mais si deux nombres ont la même
tangente, ils ne sont pas nécessairement égaux.
d) Résoudre l'équation obtenue.
e) Vérifier que les CE sont respectées.
f) Si la CR est suffisante, vérifier qu'elle est respectée. Sinon valider les
solutions en les replaçant dans l'équation de départ.
3. [Etape supplémentaire] Si la CR permet aux deux membres de prendre la
valeur π +k π, égaler un des deux membres (de préférence le plus simple) à
2
π +k π , résoudre cette nouvelle équation et déterminer si les valeurs obtenues
2
sont solutions de l'équation de départ.
Exemples
x
Exemple 1 : arccos = π
⏟2 3
∈[ 0 ; π ]
x
1. CE : −1≤ ≤1⇔−2≤x ≤2
2
{
x
0≤arccos ≤π
2
2. CR :
0≤ π ≤π
3
x
⇒ cos arccos =cos
2
(
34/51
)
(toujours vrai)
(toujours vrai)
( π3 )
(CR suffisante, toujours vraie)
x
1
⇔ =cos π =
2
3 2
⇔ x=1 (CE et CR OK)
Donc : S ={1 }
4
( EM6 n°10 3).
⏟5
Exemple 2 : arctan
⏟x =arcsin
∈]− π ; π [
2 2
∈] π ; π [
4 2
∈]− π ; π [∩] π ; π [=] π ; π [
2 2
4 2
4 2
⏟
1. CE : -2. Pour trouver les solutions qui ne donnent à aucun des deux membres la valeur π +k π , on
2
prend la tangente des deux membres :
π <arcsin 4 < π (tjs vrai)
5 2
CR : 4
(CR suffisante).
π <arctan x < π
4
2
{
(
)
Nous pouvons écrire:
) ⇔ x=tan (arcsin 45 )
4
4
La CR est évidemment vérifiée puisque arctan ( tan ( arcsin ))=arcsin
5
5
(
⇒ tan ( arctan x ) =tan arcsin
3.
4
5
Il n'y a pas de solutions qui donnent au deux membres la valeur π +k π puisque cette valeur
2
est exclue par la CR.
Avant de conclure, il reste à simplifier la solution.
35/51
Méthode géométrique ( 070) TNI-360
Figure 38: tan(arc sin x) dans le
quadrant I.
Figure 39 : tan(arc sin x) dans le
quadrant IV.
∣tan ( arcsin x )∣ ∣x∣
= .
∣y∣
1
∣x∣
2
Comme y= √1 – x (Pythagore), il vient : ∣tan ( arcsin x )∣=
.
√ 1−x 2
Le résultat est bien un nombre du même signe que x, les valeurs absolues sont dès lors
inutiles.
Les triangles OBD et OAE étant semblables,
(
On calcule donc : tan arcsin
4
:
5
)
4
5
√
4 1
4 5 4
= .
= . = .
5
9 5 3 3
4
1−
25
5
2
()
√
Nous pouvons conclure que S= 4
3
{}
4
(
5)
⏟
Exemple 3 : arctan
⏟x =2 arcsin
∈]− π ; π [
2 2
⏟
∈]−π ;π]
]− π ; π [∩]−π ;π ]=]− π ; π [
2 2
2 2
1. CE : -2. Pour trouver les solutions qui ne donnent à aucun des deux membres la valeur π +k π, on
2
prend la tangente des deux membres.
36/51
{
4
− π <2 arcsin < π
5 2 (CR suffisante)
CR : 2
− π <arctan x< π
2
2
On voit cette fois que la CR n'est jamais vérifiée, même sans calculatrice : arcsin
donc 2 arcsin
( 54 )> π4 et
ici.
( 45 )> π2 . Il n'y a aucune solution à trouver
π π
3. Sachant que les deux membres appartiennent à ]− ; [ , il est inutile de chercher d'autres
2 2
solutions.
Dès lors : S=∅
Exemple 4 : arccos
⏟x =arctan
⏟x
∈ ]− π ; π [
2 2
[ 0 ;π ] ∩[− π ; π [=[0 ; π [
2 2
2
[
]
⏟
∈ 0; π
1. CE : −1≤x≤1
2. Prenons le cosinus des deux membres :
arccos x∈[0 ; π [
x ∈]0 ; 1 ]
2
⇔ x ∈]0 ; 1 ]
CR1 :
(CR suffisante) ⇔
π
x ∈ℝ+
arctan x ∈[ 0 ; [
2
⇒ cos ( arccos x )=cos ( arctan x )
⇔ x=cos ( arctan x ).
Il faut donc déterminer l'expression analytique de cos ( arctan x ), ce qui impose une petite
parenthèse :
{
{
}
Méthode trigonométrique
Pour nous débarrasser de l'arctan, il faut en prendre la tangente : nous devons donc
exprimer le cosinus en fonction de la tangente :
sin 2 x 1−cos2 x
1
1
±1
tan 2 x=
=
=
−1 ⇔
=tan 2 x+1 ⇔cos x=
2
2
2
2
cos x
cos x
cos x
cos x
√ tan2 x+1
±1
±1
= 2
Donc : cos ( arctan x )=
2
( arctan x ) +1 √ x +1
√ tan
π
π
Comme arctan x ∈]− ; [, cos ( arc tan x ) >0, il faut donc choisir le signe positif.
2 2
Dès lors : x=
1
√ x 2+1
1
CR29 : x≥0
x +1
2
2
(
⇔ x x +1 )−1=0
⇔ x 4+ x 2−1=0
Équation bicarrée : posons y= x 2, CR3 : y≥0
⇒ x 2=
2
9 Dans ce cas-ci, la CR2 est une conséquence immédiate de la CR1, mais il n'est pas garanti que ce soit toujours le
cas : nous la faisons donc apparaître systématiquement, de manière à acquérir le réflexe : si l'on compose avec une
fonction non-injective (ici la fonction « carré »), il faut sauvegarder l'information perdue en écrivant une CR. Il est
toujours temps ensuite de remarquer qu'elle est éventuellement redondante avec une précédente.
37/51
⇔ y 2 + y−1=0
ρ=1+4=5, Valeur négative à exclure (CR3).
−1± √ 5
⇔ y=
2
−1+ √ 5
−1+√ 5
⇔ y=
⇔ x=±
Valeur négative à exclure (CR2).
2
2
−1+√ 5
≈arctan 0,789≈0,666≤1
La CR1 et la CE sont vérifiées : arctan
2
√
donc S=
{√
−1+√ 5
2
}
√
NB : Plutôt que de vérifier la CR1 et la CE, on pouvait aussi visualiser les graphiques de
arccos x et de arctan x pour se convaincre que l'équation possède une et une seule solution.
Comme il n'en reste qu'une, elle doit forcément être valable...
2 arcsin x =arccos
Exemple 5 : ⏟
⏟x
[
]
[
]
⏟
∈ 0 ;π
∈ −π; π
[ −π ;π ] ∩ [ 0 ; π ] = [ 0 ; π ]
1. CE : −1≤x≤1
2. Prenons le sinus des deux membres :
[
]
CR : 2 arcsin x∈ 0 ; π
[
]
arccos x∈ 0 ; π (tjs vrai)
(CR non suffisante : entre 0 et π, plusieurs valeurs ont le même sinus).
⇒ sin ( 2arcsin x ) =sin ( arccos x )
⇔ 2 sin ( arcsin x ) cos ( arcsin x )=sin ( arccos x )
⇔ 2. x. √1−x 2= √1− x 2
⇔ ( 2 x −1 ) √ 1−x 2=0
1
⇔ x=±1 ou x=
2
Les CE sont vérifiées.
Vérifier la CR ne servirait à rien, elle n'est pas suffisante. On remplace donc dans
l'équation :
2 arcsin −1=−π≠arccos−1=π : à rejeter.
1
1
2 arcsin =2. π = π =arccos : OK !
2
6 3
2
2 arcsin 1=π≠arccos 1=−π : à rejeter.
Dès lors : S= 1
2
{
{}
38/51
x
3
=2 arcsin ( √ x )
(
)
2 ⏟
2
⏟
Exemple 6 : arcsin x+arcsin −
[
]
⏟
∈ −π ;π
∈[−π ;π]
[−π ;π ]∩[−π ;π ]=[−π ;π]
{
}
−1≤x≤1
x
−1≤− ≤1⇔−2≤ x≤2
1. CE :
⇔−1≤ x≤1
2
√ 3 x≤1⇔−2 √ 3 ≤x≤2 √ 3
−1≤
2
3
3
2. Prenons le sinus des deux membres :
x
arcsin x+arcsin − ∈[−π ; π ]
2
CR :
3
2 arcsin √ x ∈[ −π ; π ]
2
(CR non suffisante : entre 0 et π, plusieurs valeurs ont le même sinus).
x
3
⇒ sin arcsin x+arcsin −
=sin 2 arcsin √ x
2
2
Appliquons la formule d'addition et de duplication :
x
x
⇔sin ( arcsin x ) cos arcsin −
+sin arcsin −
.cos ( arcsin x )
2
2
3
3
=2sin arcsin √ x cos arcsin √ x
2
2
x2
x
3
3
⇔ x 1− + − √ 1−x 2 =2 √ x . 1− x 2
4
2
2
4
x
x
3
2
2
√ x √ 4−3 x 2
⇔ √ 4− x − √ 1−x =
2
2
2
x
x
3
⇔ √ 4− x 2− √ 1−x 2 −x √ √ 4−3 x 2=0
2
2
2
1
⇔ x ( √ 4− x 2−√ 1− x 2−√ 3 √ 4−3 x 2 )=0
2
⇔ x=0 ou
√ 4− x 2−√ 1−x 2 −√ 3 √ 4−3 x 2=0
⇔ √ 4− x 2=√ 1− x 2+√ 3 √ 4−3 x 2
CR2 : -- (2 membres positifs)
2
2
2
(
)
⇔ 4−x =1−x +3 4−3 x +2 √ 3 √ 1−x 2 √ 4−3 x 2
⇔−9+9 x 2=2 √ 3 √ 1− x 2 √ 4−3 x 2
⇔ 9 ( x 2 −1 )=2 √ 3 √1− x 2 √ 4−3 x 2 CR3 : x 2 −1≥0
⇔81 ( x 4−2 x 2+1 )=4.3 ( 1− x 2 )( 4−3 x 2 )
4
2
2
2
4
⇔ 27 ( x −2 x +1 )=4 ( 4−4x −3 x +3 x )
⇔15 x 4−26 x 2+11=0
ρ=262−4.15.11=16
26±4
11
x 2=
⇐ x 2=1 ou x 2= (Rejeté cf. CR3)
30
15
⇔ x=±1
Les CE sont vérifiées.
Vérifier la CR ne servirait à rien, elle n'est pas suffisante. On remplace donc dans
l'équation :
{
( )
( )
( )) (
(
√
39/51
)
(
(
( )) (
) (
( )
√
( ))
)
arcsin (−1 )+arcsin
( 12 )=− π2 + π6 =− π3 ≠2 arcsin (− √23 )=− 23π : à rejeter.
arcsin 0+arcsin 0=0=2 arcsin 0 OK.
1
3
2π
: à rejeter.
arcsin ( 1 ) +arcsin − = π +− π = π ≠2 arcsin √ =
2
2
6 3
2
3
Conclusion : S= {0 }
( )
( )
TNI-450/ 120
Figure 40: Exemple 6: 0 est la seule
solution de l'équation.
Figure 41: Exemple 6: en prenant le
sinus des deux membres on trouve
trois solutions. Comme pour x=1 et
x=-1, les deux membres prennent des
valeurs comprises en −π et π , la CR
n'élimine pas les valeurs parasites.
Exercices
Cas particulier : sommes et différences d'arc tangentes
Une transformation utile
Considérons une égalité de la forme arctan a+arctan b=arctan c. Moyennant quelques conditions
bien choisies, on peut écrire :
arctan a+arctan b=arctan c
⇒ tan (arctan a+arctan b )=tan ( arctan c )
tan ( arctan a )+tan ( arctan b )
⇔
=tan ( arctan c )
1−tan ( arctan a ) . tan ( arc tan b )
a+b
⇔
=c
1−a b
On peut ensuite isoler l'inconnue (a, b ou c) pour résoudre l'équation.
La méthode s'applique bien sûr à des cas moins simples ou a, b ou c peuvent être des expressions de
3
la variable (du type arctan 2 x+arctan x=arctan x), voire à des égalités entre sommes ou
2
différences (du type arctan a+2arctan b=arctan c−arctan d ).
Le développement ci-dessus demande néanmoins quelques précautions supplémentaires par rapport
à la méthode décrite au § : la formule d'addition (ou de soustraction) impose en effet des
précautions supplémentaires car elle n'est valable que si les 2 angles additionnés et leur somme,
40/51
sont différents de π +k π.
2
Le développement proposé ci-dessus ne donnera donc que les solutions pour lesquelles
arctan a≠ π +k π , arctan b≠ π +k π et ( arctan a+arctan b )≠ π +k π . Dans cet exemple, c'est parfait
2
2
2
car tous ces éléments sont effectivement toujours différents de π +k π mais cela n'est pas toujours
2
le cas, comme l'illustreront les exemples de la section .
La démarche de résolution doit donc être complétée pour traiter le cas dans lequel la formule
d'addition (ou de soustraction) ne s'applique pas.
Méthode complétée
1. Exprimer les conditions d'existence.
2. Pour trouver les solutions qui ne donnent à aucun des deux membres la valeur
π +k π , prendre la tangente des deux membres, en étant attentif à :
2
a) Écrire la CR (cf. ). Si elle devait être impossible, l'étape 2 serait déjà
terminée.
b) Valider que la CR est suffisante, c'est-à-dire qu'elle exclut toute solution
parasite. Si ce n'est pas le cas, il sera indispensable de valider chaque
solution en la replaçant dans l'équation de départ.
c) N'écrire qu'une implication de gauche à droite : si deux nombres sont
égaux, ils ont la même tangente, mais si deux nombres ont la même
tangente, ils ne sont pas nécessairement égaux.
d) [Nouvelle restriction] Pour trouver les solutions qui ne donnent à aucun
terme de la somme (ou différence) de tangentes la valeur de π +k π ,
2
utiliser la formule d'addition (ou soustraction).
e) Résoudre l'équation obtenue.
f) Vérifier que les CE sont respectées.
g) Si la CR est suffisante, vérifier qu'elle est respectée. Sinon valider les
solutions en les replaçant dans l'équation de départ.
h) [Nouvelle étape] Pour trouver les autres solutions, identifier les valeurs qui
donnent à l'un ou l'autre des termes de l'addition (ou soustraction) la valeur
de π +k π , et vérifier si elles sont solution de l'équation de départ.
2
3. Si la CR permet aux deux membres de prendre la valeur π +k π, égaler un des
2
deux membres (de préférence le plus simple) à π +k π , résoudre cette nouvelle
2
équation et déterminer si les valeurs obtenues sont solutions de l'équation de
départ.
41/51
Remarque :
Pourrait-on utiliser une méthode similaire avec des sinus (ou des cosinus), par exemple pour
l'équation arcsin a+arcsin b=arcsin c ? Pas directement car on ne dispose pas de formule
donnant sin(a+b) en fonction de sin a et sin b, mais, si l'on se rappelle que
cos ( arcsin a )= √1−a 2, ça devient possible :
arcsin a+arcsin b=arcsin c
⇒ sin ( arcsin a+arcsin b )=sin ( arcsin c )
⇔sin ( arcsin a ) . cos ( arcsin b ) +sin ( arcsin b ) . cos ( arcsin a )=c
⇔ a √ 1−b 2+b √ 1−a 2=c
Voyez un exemple au §.
Notez que contrairement au cas de la tangente, il n'y a pas de conditions associées à la
formule d'addition dont il faille se préoccuper.
Astuce de calcul bien pratique
Lorsqu'il s'agira de chercher les valeurs de l'inconnue qui rendent les deux membres égaux à
π +k π , on utilisera comme d'habitude le membre le plus simple, mais si les deux membres sont
2
des sommes d'arctan, il pourra être nécessaire de résoudre une équation du type
( arctan a±arctan b )= π +k π, potentiellement difficile ou longue à traiter.
2
On peut dans ce cas la remplacer par une équation équivalente bien plus simple à résoudre.
En effet :
x+ y= π +k π ⇔ y= π − x+k π
2
2
⇔ tan y=cot x ⇔ tan x . tan y=1⇔ 1−tan x . tan y=0
De même :
x− y= π +k π ⇔ y= π + x+k π
2
2
⇔ tan y=−cot x ⇔ tan x . tan y =−1 ⇔1+tan x . tan y=0
Si x=arctan a et y = arctan b comme dans notre exemple, la version de gauche est nettement plus
compliquée à utiliser que la version de droite, qui se réduit à 1 – a.b=0 .
Remarque :
Résoudre 1−tan x . tan y=0 au lieu de x+ y= π +k π revient à évaluer le cas où la condition
2
d'existence sur le dénominateur n'est pas vérifiée dans la formule d'addition ou de
soustraction :
tan x+tan y
tan x−tan y
tan ( x+ y ) =
tan ( x− y ) =
⏟
⏟
1−tan x tan y
1+tan x tan y
⏟
⏟
CE : x + y≠ π +k π
CE : x − y≠ π +k π
2
42/51
x≠ π +k π
2
CE : y≠ π +k π
2
1−tan x .tan y≠0
{
2
x≠ π +k π
2
CE : y≠ π +k π
2
1+tan x .tan y≠0
{
Exemples
(−x √ 2 )
Exemple 1 : ⏟
arctan x+arctan 2 x =arctan
⏟
∈]− π ; π [
2 2
]−π ;π[∩]− π ; π [=]− π ; π [
2 2
2 2
⏟
∈]−π; π[
1. CE : /
2. Y a-t-il des solutions pour lesquelles les deux membres de l'équation sont différents de
π +k π ? Pour répondre à cette question, nous pouvons prendre la tangente des deux
2
membres :
arctan x +arctan 2 x∈]− π ; π [
2 2
CR :
(CR suffisante)
arctan (−x √ 2 ) ∈]− π ; π [ ( tjs vrai )
2 2
⇒ tan ( arctan x+arctan ( 2 x ) ) =tan ( arctan (−x √ 2 ))
◦ Y a-t-il des solutions pour lesquelles arctan x et arctan(2x) sont différents de π +k π ?
2
Pour répondre à cette question, nous pouvons utiliser la formule d'addition :
x +2 x
2
⇔
=−x √2 1−2 x ≠0, puisque la somme des angles≠ π +k π
2
2
1−2 x
2
3 x+ x √ 2 ( 1−2 x )
⇔
=0
1−2 x 2
⇔−2 √ 2 x 3+(3+√ 2 ) x=0
⇔ x (−2 √ 2 x 2+3+√ 2 )=0
3+√ 2 3 √ 2+2
± 3 √ 2+2
2
=
⇔ x= √
Donc : x=0 ou x =
4
2
2 √2
Vérifions la CR:
arctan 0+arctan 0=0+0=0, OK.
3 2+2
arctan √ √
+arctan √3 √ 2+2≈0,896+1,190=2,0856> π
2
2
3 2+2
arctan− √ √
+arctan−√ 3 √ 2+2≈−0,896−1,190=−2,0856<− π
2
2
Les deux autres solutions doivent donc être éliminées.
◦ Y a-t-il des solutions pour lesquelles arctan x ou arctan 2x sont égaux à π +k π ? Bien
2
sûr que non (CR).
3. La CR ne permet pas que les deux membres soient égaux à π +k π , il n'y a donc pas d'autres
2
solutions à chercher.
{
(
)
Conclusion : S= {0 }
Exemple 2 : ⏟
arctan x+arctan 2 x =2⏟
arctan ( x √ 2 )
⏟
∈]−π; π[
∈]−π ;π [
]−π ;π[∩]−π ;π[=]−π ;π [
1. CE : /
2. Y a-t-il des solutions pour lesquelles les deux membres de l'équation sont différents de
43/51
π +k π ?
2
arctan x +arctan 2 x∈]−π ; π[ (tjs vrai)
CR :
(CR non suffisante)
2 arctan ( x √ 2 )∈]−π ; π[
(tjs vrai)
⇒ tan ( arctan x+arctan ( 2 x ) )=tan ( 2 arctan ( x √ 2 ))
{
◦ Y a-t-il des solutions pour lesquelles arctan x et arctan(2x) sont différents de π +k π ?
2
(
(
))
x +2 x
2 tan arctan x √ 2
⇔
=
2
1−2 x 1−tan 2 ( arctan ( x √ 2 ))
x +2 x 2 x √ 2
⇔
=
1−2 x 2≠0, puisque la somme des angles≠ π +k π
2
2
2
1−2 x 1−2 x
⇔ 3 x=2 x √ 2
⇔ x=0
0 est-il solution de l'équation de départ ? Vérifier la CR ne servirait à rien, elle n'est pas
suffisante. On remplace donc dans l'équation de départ : 0+0=0 : OK.
◦ Y a-t-il des solutions pour lesquelles arctan x ou arctan 2x sont égaux à π +k π ? Bien
2
sûr que non.
3. Y a-t-il des solutions pour lesquelles les deux membres de l'équation sont égaux à π +k π ?
2
La CR limite la valeur de k à 0 ou -1.
(
)
2
◦ Si k = 0 : 2 arctan (−x √ 2 )= π ⇔ arctan (−x √ 2 )= π ⇔− x √ 2=1⇔ x=− √
2
4
2
2
◦ Si k = -1 : 2 arctan (−x √ 2 )=− π ⇔arctan (−x √ 2 )=− π ⇔−x √ 2=−1⇔ x= √
2
4
2
Vérifions si ce sont des solutions de l'équation de départ :
2
2
arctan − √ +arctan (−√ 2 )=− π =2 arctan − √ √ 2 OK.
2
2
2
√ 2 +arctan (√ 2 )= π =2 arctan √ 2 √ 2 OK.
arctan
2
2
2
( )
( )
Conclusion : S= − √ 2 ; 0 ; √ 2
{ 2 2}
(
(
)
)
(−x √ 2 )
Exemple 3 : ⏟
arctan x+2 arctan 2 x =arctan
⏟
3π 3π
;
[
2 2
∈]− π ; π [
2 2
⏟
∈ ]−
]−
3π 3π
;
[∩]− π ; π [=]− π ; π [
2 2
2 2
2 2
1. CE : /
2. Y a-t-il des solutions pour lesquelles les deux membres de l'équation sont différents de
π +k π ?
2
arctan x +2 arctan 2 x ∈]− π ; π [
2 2
CR :
(CR suffisante)
arctan (−x √ 2 ) ∈]− π ; π [ (tjs vrai)
2 2
⇒ tan ( arctan x+2 arctan ( 2 x ) )=tan ( arctan (−x √ 2 ))
{
44/51
◦ Y a-t-il des solutions pour lesquelles arctan x et 2 arctan(2x) sont différents de π +k π ?
2
x+tan ( 2 arctan ( 2 x ) )
⇔
=−x √ 2
1− x tan ( 2 arctan ( 2 x ) )
2 tan ( arctan ( 2 x ) )
4x
Or tan ( 2 arctan ( 2 x ) ) =
=
2
1−tan ( arctan ( 2 x ) ) 1−4 x 2
(arctan(2 x) est bien entendu différent de π +k π)
2
4x
x+
2
1−4 x
⇔
=−x √ 2
2
4x
1−
2
1−4 x
x−4 x 3+4 x
−4 x 3+5 x
=−x
2⇔
+ x √ 2=0
√
1−4 x 2−4 x 2
1−8 x 2
⇔−4 x 3+5 x+x √ 2−8 x 3 √ 2=0⇔ x (−x 2 ( 4+8 √ 2 )+5+ √ 2 )=0
⇔ x=0 ou
x 2 ( 4+8 √ 2 )=5+√ 2
5+√ 2
1 9 √ 2−1
⇔ x=±
=±
2
7
4+8 √ 2
La CR est-elle vérifiée?
arctan 0+arctan 0=0 : OK
Les deux autres valeurs doivent être rejetées.
⇔
√
[ √
]
◦ Y a-t-il des solutions pour lesquelles arctan x ou 2 arctan 2x sont égaux à π +k π ?
2
π
arctan x≠ +k π ,∀ x ∈ℝ
2
2 arctan ( 2 x ) = π +k π
2
⇔ arctan ( 2 x ) = π +k π ( k ∈ℤ )
4
2
Cette équation ne peut avoir de solutions que pour k=0 ou k=-1.
⇔ arctan ( 2 x ) = π ou arctan ( 2 x ) =− π
4
4
⇔
2 x=1
2 x=−1
1
1
⇔
x=
x=−
2
2
Ces valeurs sont-elles solutions de l'équation de départ ?
1
1
arctan +2
arctan 1≈2,034≠arctan − √ 2 ≈−0,615
⏟
2
2
π
(
)
1
1
arctan (− )+2⏟
arctan (−1 ) ≈−2,034≠arctan (− √ 2 )≈0,615
2
2
2
−π
2
Ces deux valeurs sont donc à rejeter.
3. Y a-t-il des solutions pour lesquelles les deux membres de l'équation sont égaux à π +k π ?
2
Non (cf. CR).
45/51
Conclusion : S= {0 }
arctan x+arctan 2 x =arctan
( 3 x ) −arctan ( 4 x )
Exemple 4 : ⏟
⏟
∈]−π ;π[
∈]−π ;π[
1. CE : /
2. Y a-t-il des solutions pour lesquelles les deux membres de l'équation sont différents de
π +k π ?
2
CR : arctan x +arctan 2 x∈]−π ; π[
(CR non suffisante)
arctan 3 x−arctan ( 4 x ) ∈]−π ; π [
⇒ tan ( arctan x+arctan ( 2 x ) ) =tan ( arctan ( 3 x ) −arctan ( 4 x ) )
{
◦ Y a-t-il des solutions pour lesquelles arctan x, arctan(2x), arctan(3x) et arctan(4x) sont
différents de π +k π ?
2
x +2 x 3 x−4 x
⇔
=
1−2 x 2 1+12 x 2
⇔ 3 x ( 1+12 x 2 )=−x ( 1−2 x 2 )
x ( 38 x 2+4 )=0
2
x=0 ou x 2 =−
(impossible)
19
0 est-il solution de l'équation de départ ? Vérifier la CR ne servirait à rien, elle n'est pas
suffisante. On remplace donc dans l'équation : 0+0=0+0 : OK.
◦ Y a-t-il des solutions pour lesquelles arctan x, arctan(2x), arctan(3x) et arctan(4x) sont
égaux à π +k π ? Non.
2
3. Y a-t-il des solutions pour lesquelles les deux membres de l'équation sont égaux à π +k π ?
2
Il n'y a pas de membre « plus simple » que l'autre :
Astuce!
√2
arctan ( x ) +arctan ( 2 x ) = π +k π ⇔ 1−x ( 2 x )=0⇔ x=±
2
2
Ces valeurs sont-elles solutions de l'équation de départ ? Non :
2
3 2
arctan √ +arctan (√ 2 )≠arctan √ −arctan ( 2 √ 2 )
2
2
√ 2 +arctan (−√ 2 )≠arctan − 3 √ 2 −arctan (−2 √ 2 )
arctan −
2
2
( )
( )
( )
( )
Conclusion : S= {0 }
Exercices
Démonstration d'identités cyclométriques
Méthode
La démonstration d'une identité cyclométrique demande une démarche analogue à celle de la
résolution d'équations, et la validité de l'identité doit être évaluée dans chaque cas.
46/51
•
Identités en arc sinus et arc cosinus :
1. Exprimer les CE.
2. Prendre le sinus (ou le cosinus) des deux membres en ayant soin de n'écrire qu'une
implication de gauche à droite, et vérifier si l'égalité résultante est vérifiée. Cela prouve
que les deux membres de l'identité ont même sinus (ou cosinus), c'est-à-dire qu'ils sont
égaux ou supplémentaires (égaux ou opposés).
Il faut donc vérifier ensuite qu'il s'agit bien d'une égalité. Dans le cas contraire, l'identité
est invalidée.
•
Identités en arc tangente :
1. Exprimer les CE.
2. Prendre la tangente des deux membres en ayant soin de n'écrire qu'une implication de
gauche à droite, et vérifier si l'égalité résultante est vérifiée. Cela prouve que les deux
membres de l'identité ont même tangente, c'est-à-dire qu'ils sont égaux ou antisupplémentaires lorsqu'ils sont différents de π +k π .
2
Il faut donc vérifier ensuite qu'il s'agit bien d'une égalité. Dans le cas contraire, l'identité
est invalidée.
3. Vérifier que l'identité est également vérifiée lorsque les deux membres sont égaux à
π +k π (pour peu que ce soit possible, bien sûr)
2
•
Identités contenant des sommes ou différences d'arc tangentes :
1. Exprimer les CE.
2. Prendre la tangente des deux membres en ayant soin de n'écrire qu'une implication de
gauche à droite, et vérifier si l'égalité résultante est vérifiée, en faisant usage de la
formule calculant la tangente d'une somme/différence. Cela prouve que les deux
membres de l'identité ont même tangente, c'est-à-dire qu'ils sont égaux ou antisupplémentaires lorsqu'ils sont différents de π +k π et que tous les termes des sommes et
2
différences de tangentes sont différents de π +k π .
2
Il faut donc vérifier ensuite qu'il s'agit bien d'une égalité. Dans le cas contraire, l'identité
est invalidée.
3. Vérifier que l'identité est également vérifiée lorsque les deux membres sont égaux à
π +k π (pour peu que ce soit possible, bien sûr). Dans le cas contraire, l'identité est
2
invalidée.
4. Vérifier que l'identité est également vérifiée lorsqu'un ou plusieurs termes des sommes et
différences de tangentes vaut π +k π .
2
Exercices
47/51
Règles de « de l'Hospital »
Lors du calcul de limites (en un réel ou en l'infini), certains cas d'indétermination ne peuvent être
levés que par l'usage d'une technique développée par Bernouilli10 et publiée par Guillaume de
l'Hospital11 et qui porte depuis lors abusivement le nom de « règle de de l'Hospital ».
Limite en un réel
Soient f et g deux fonctions numériques d'une variable réelle et a un point d'accumulation12 de leurs
domaines :
Si :
•
•
f (x)
0
présente un cas d'indétermination " " ou " ±∞
±∞ " ;
0
x → a g ( x)
il existe un intervalle ouvert I centré en a sur lequel :
1. f et g sont dérivables, sauf éventuellement en a,
2. g' ne s'annule pas sur I ∖ {a}
f ' (x)
3. lim
existe (qu'elle soit réelle ou infinie)
x→a g ' ( x)
lim
Alors :
lim
x →a
f (x)
f ' (x)
=lim
g ( x ) x →a g ' ( x )
Remarques :
1. On se limitera pour ce sujet à la mise en pratique.
2. Ne confondez pas la relation ci-dessus avec le calcul de la dérivée d'une quotient :
f ' ( x)
f (x) '
(en général, '
)
≠
g( x)
g ( x)
3. La condition « f' et g' ne s'annulent pas sur I ∖ {a} » n'exclut en pratique que le cas de
fonctions :
1. constantes au voisinage de a. Dans de tels cas, les limites sont élémentaires à calculer, et
la règle est inutile.
1
2. dont les dérivées sont des cas « rares » du type f ( x ) =sin
qui ont une infinité de
x −a
racines dans tout intervalle centré sur a.
Nous pouvons donc raisonnablement faire l'hypothèse, dans le cadre de notre cours, que
cette condition est toujours satisfaite (exemples de limites auxquelles la règle ne s'applique
pas pour cette raison en annexe ).
f ' ( x)
4. La règle n'est valable que si lim
existe : si l'application de la règle lève
x →a g ' (x )
f ' ( x)
l'indétermination mais arrive à la conclusion que la lim
n'existe pas, il est erroné de
g
' (x )
x→a
conclure que la limite de départ n'existe pas : il faut simplement conclure que la règle ne
( )
( )
10 Jean Bernouilli, mathématicien suisse, 1667-1748.
11 Guillaume de l'Hospital, mathématicien français, 1661-1704.
12 Il est impossible de se prononcer sur l'appartenance de a au domaines de f et g : a n'appartient pas nécessairement au
domaine dans un cas d'indétermination « 0/0 » (appartient dans un cas tel que f ( x )= x , g ( x ) =sin x et n'appartient
pas dans un cas tel que
f ( x ) =x .sin x . sin
dans le cas « infini/infini ».
48/51
1
1
2
, g ( x )= x sin ) alors qu'il n'y appartient nécessairement pas
x
x
s'applique pas et que le résultat est sans valeur.
Limite en l'infini
La règle précédente s'étend au cas où x tend vers l'infini. Dans ce cas :
• On remplace a par −∞ ou +∞.
• On remplace l'intervalle centré par la demi-droite ] −∞;k[ si x tend vers −∞ ou par la demidroite ]k ; +∞[ si x tend vers +∞.
Exemples et remarques
•
•
1
arcsin ( x )
0 L' Hospital
1−x 2
lim
=" " = lim √
=1
x
0
1
x →0
x→0
π −arc tan x
2
0
lim x π −arc tan x ="+∞ . 0"= lim
=" "
2
1
0
x →+∞
x →+∞
x
−1
L' Hospital
1+ x 2
x2
L' Hospital
2x
=
lim
= lim
=" ∞
" =
lim
=1
2
∞
x →+∞ −1
x →+∞ 1+x
x→ +∞ 2 x
x2
(
)
◦ On peut transformer une indétermination du type "0 .±∞" pour se ramener à un cas
d'indétermination que l'on peut traiter avec la règle de L'Hospital.
◦ On peut appliquer la règle plusieurs fois, tant que les conditions sont remplies.
•
lim
x →π
•
+
sin x
0 LH
=" " = lim
√ x−π 0 x → π
+
cos x
=lim 2 cos x √ x−π=0
1
x →π
2 √ x−π
+
La règle de de L'Hospital n'est pas toujours efficace. L'exemple suivant est un cas où elle est
parfaitement inutile:
x
2
1+ x
LH
√ 1+x 2 = lim x =" ∞ "= lim 1 = lim √ 1+ x 2
lim √
=" ∞
"=
lim
∞
∞ x →+∞
2
x
1
x
x
x →+∞
x →+∞
x →+∞ √ 1+x
x →+∞
2
√ 1+x
alors qu'il suffisait de faire une simple mise en évidence:
∣x∣. 12 +1
2
1+ x
x
lim √
= lim
=1
x
x
x →+∞
x →+∞
√
•
49/51
On pourrait essayer d'appliquer la règle dans le cas suivant :
2
x sin
lim
( 1x )=" 0 . fonction bornée "=" 0 "
0
0
1
1
−1
1
1
2 x sin + x 2 cos
2 x sin
−cos
2
x
x
LH
x
x
x
= lim
=lim
−cos x
−cos x
x →0
x →0
1
1
1
2 x sin
cos
lim cos
x
x
0 . fonction bornée x→ 0
x
=lim
+lim
=
+
−cos x
−1
1
x →0
x→ 0 cos x
⏟ ⏟
x →0
sin x
( )( )
()
() ()
()
()
0
n'existe pas
La limite du quotient des dérivées n'existe donc pas. On ne peut donc en tirer aucune
conclusion concernant la limite de départ, même pas qu'elle n'existe pas.
Il faut donc calculer différemment :
x 2 sin
lim
x →0
( 1x )=lim
sin x
x →0
x
1
. lim x sin
sin x x →0
x
()
=1. ( 0 . fonction bornée ) =0
NB : Le « 0.fonction bornée » = 0 est une raccourci pour le raisonnement rigoureux suivant :
1
1
−1≤sin ≤1⇔−∣x∣≤ x sin ≤∣x∣ (ne pas oublier les valeurs absolues!)
x
x
Or lim ( −∣x∣)=lim ∣x∣=0
x →0
x →0
Dès lors, par le théorème du sandwich : lim x sin
x →0
Exercices
50/51
( 1x )=0
Etudes de fonctions cyclométriques
L'étude complète d'une fonction cyclométrique est désormais à notre porte : elle demandent en
effet :
• De résoudre une équation cyclométrique (recherche des racines) ;
• De calculer des limites de fonctions cyclométriques (pour déterminer les points creux et les
asymptotes)
• De calculer et d'étudier les dérivées de fonctions cyclométriques.
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